傅里葉變換
關(guān)注創(chuàng)建者：化身孤島的鯨 創(chuàng)建時(shí)間：2019-02-20
傅里葉變換的視頻教程
傅里葉變換頻譜分析及MATLAB程序視頻
主要內(nèi)容包括：傅里葉變換（FT）有關(guān)概念及傅里葉逆變換與重構(gòu)信號(hào)，傅里葉變換（FT）應(yīng)用于提取信號(hào)特征（頻率、幅值和初始相位），傅里葉變換（FT）應(yīng)用于信號(hào)降噪及建立優(yōu)良降噪光滑算法，2維傅里葉變換（FT2）應(yīng)用于構(gòu)建不同濾波器及指紋圖像壓縮，傅里葉變換（FT）存在3個(gè)問(wèn)題及其解決辦法，短時(shí)傅里葉變換（STFT）及加窗效果與2維3維作圖，傅里葉變換（FFT）比對(duì)靜態(tài)離散小波變換（SWT）和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解
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1-117基于matlab的短時(shí)傅里葉變換（STFT）、小波變換（WT）、同步壓縮變換（SST）、瞬態(tài)提取變換（TET）進(jìn)行時(shí)頻分析
基于matlab的短時(shí)傅里葉變換（STFT）、小波變換（WT）、同步壓縮變換（SST）、瞬態(tài)提取變換（TET）進(jìn)行時(shí)頻分析。程序已調(diào)通，可直接運(yùn)行。 購(gòu)買后可下載視頻中的源程序文件。
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傅里葉變換的實(shí)例教程
Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統(tǒng)的不同平面上，電磁場(chǎng)分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學(xué)建模中的頻繁操作。我們介紹一個(gè)場(chǎng)所謂的幾何區(qū)域，在該區(qū)域中傅里葉變換可以在不進(jìn)行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數(shù)值方式得到。在幾何場(chǎng)域中，場(chǎng)由波前相位控制，因此允許我們將穩(wěn)定相位的概念應(yīng)用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項(xiàng)技術(shù)被證明是快速物理光學(xué)的基礎(chǔ)支柱。
1.光學(xué)傅立葉變換
在物理光學(xué)中，我們處理電磁場(chǎng)的六個(gè)復(fù)數(shù)場(chǎng)分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號(hào)
(3)
方程2中積分的數(shù)值評(píng)估需要對(duì)a和k域中的場(chǎng)進(jìn)行取樣，我們用N表示采樣點(diǎn)的數(shù)量，所得的離散傅里葉變換構(gòu)成了N2運(yùn)算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學(xué)建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學(xué)中，我們通常有強(qiáng)梯度的相位函數(shù)，從而導(dǎo)致很大的N值，只有在十分對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學(xué)上遇到N太大而不能進(jìn)行快速計(jì)算傅里葉變換的問(wèn)題，這是快速物理光學(xué)概念的嚴(yán)重阻礙。
展開 Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統(tǒng)的不同平面上，電磁場(chǎng)分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學(xué)建模中的頻繁操作。我們介紹一個(gè)場(chǎng)所謂的幾何區(qū)域，在該區(qū)域中傅里葉變換可以在不進(jìn)行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數(shù)值方式得到。在幾何場(chǎng)域中，場(chǎng)由波前相位控制，因此允許我們將穩(wěn)定相位的概念應(yīng)用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項(xiàng)技術(shù)被證明是快速物理光學(xué)的基礎(chǔ)支柱。
1.光學(xué)傅立葉變換
在物理光學(xué)中，我們處理電磁場(chǎng)的六個(gè)復(fù)數(shù)場(chǎng)分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號(hào)
(3)
方程2中積分的數(shù)值評(píng)估需要對(duì)a和k域中的場(chǎng)進(jìn)行取樣，我們用N表示采樣點(diǎn)的數(shù)量，所得的離散傅里葉變換構(gòu)成了N2運(yùn)算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學(xué)建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學(xué)中，我們通常有強(qiáng)梯度的相位函數(shù)，從而導(dǎo)致很大的N值，只有在十分對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學(xué)上遇到N太大而不能進(jìn)行快速計(jì)算傅里葉變換的問(wèn)題，這是快速物理光學(xué)概念的嚴(yán)重阻礙。
展開 在光學(xué)中，當(dāng)場(chǎng)不在苛性區(qū)時(shí)，通常滿足這種條件，穩(wěn)定相位的概念也揭示出來(lái)
(8)
由φ(p)的勒讓變換
(9)
復(fù)函數(shù)
(10)
權(quán)重因子取決于φ(p)的二階導(dǎo)數(shù)，該結(jié)果通過(guò)將空間域中的場(chǎng)值映射到具有附加權(quán)重因子的k域來(lái)表示傅里葉變換，其僅作為映射本身而依賴于波前相位。因此，傅里葉變換主要執(zhí)行場(chǎng)分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。
我們已經(jīng)開發(fā)了一個(gè)數(shù)值算法來(lái)執(zhí)行幾何傅里葉變換。它利用場(chǎng)的混合采樣。相比于函數(shù) ，波前相位φ(p)本身可以通過(guò)少量N(φ)的非等距分布值而參數(shù)化。樣條插值的節(jié)點(diǎn)是可能的候選項(xiàng)。
而且，我們必須用等距分布的采樣點(diǎn)N(U)來(lái)處理函數(shù)U(p)的采樣。一般來(lái)說(shuō)，我們有，幾何傅里葉變換的數(shù)值主要基于 中的線性運(yùn)算，因此速度非常快；N(U)中U值的智能包也可以快速完成，V的采樣可以完全避免。總之，當(dāng)幾何傅立葉變換足夠精確時(shí)，由此產(chǎn)生的數(shù)值算法能夠?qū)崿F(xiàn)非常快速的傅里葉變換，對(duì)于強(qiáng)波前相位來(lái)說(shuō)就是這種情況。
對(duì)于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數(shù)值上對(duì)于非常弱的波前相位有效的常規(guī)FFT，我們獲得了一個(gè)強(qiáng)大的三元組來(lái)處理所有相關(guān)傅里葉變換的情況。它在VirtualLab Fusion的第二代技術(shù)更新中得以實(shí)現(xiàn)，構(gòu)成了其快速物理光學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)[3]，例如古伊相移就是用這個(gè)概念來(lái)研究的[4]。
3 衍射、幾何和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域
我們來(lái)考慮平面z中的一個(gè)場(chǎng)，它可以通過(guò)幾何傅立葉變換以足夠的精度（由質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)指定）進(jìn)行變換。那么我們說(shuō)該平面位于幾何區(qū)域（GFZ），否則場(chǎng)在其衍射區(qū)（DFZ） 。自然地，衍射場(chǎng)區(qū)域位于焦點(diǎn)區(qū)域附近，而GFZ出現(xiàn)在距焦點(diǎn)區(qū)域較遠(yuǎn)處。
展開 圖1 時(shí)域頻域關(guān)系圖
這就是傅里葉變換的最基本最簡(jiǎn)單的應(yīng)用，當(dāng)然這是從數(shù)學(xué)的角度去看傅立葉變換。在信號(hào)分析過(guò)程中，傅里葉變換的作用就是將組成這個(gè)回波信號(hào)的所有輸入源在頻域中按照頻率的大小來(lái)表示出來(lái)。傅里葉變換之后，信號(hào)的幅度譜可表示對(duì)應(yīng)頻率的能量，而相位譜可表示對(duì)應(yīng)頻率的相位特征。經(jīng)過(guò)傅立葉變換可以在頻率中很容易的找出雜亂信號(hào)中各頻率分量的幅度譜和相位譜，然后根據(jù)需求，進(jìn)行高通或者低通濾波處理，最終得到所需要頻率域的回波。
傅里葉變換在圖像處理過(guò)程中也有非常重要的作用，設(shè)信號(hào)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)，則其傅里葉變換就表示信號(hào)f的頻譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅里葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的。從物理效果看，傅里葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說(shuō)，傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)。傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，其意義是指圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小。一般來(lái)講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過(guò)觀察傅里葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們就可以直觀地看出圖像的能量分布：如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的，這是因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對(duì)較小；反之，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的、邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。
以信號(hào)處理過(guò)程中的一個(gè)例子來(lái)詳細(xì)說(shuō)明FFT的效果：假設(shè)采樣頻率為Fs，信號(hào)頻率為F，采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT處理之后的結(jié)果就是一個(gè)點(diǎn)數(shù)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)，而每個(gè)點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性。
展開 在本文中，我們將通過(guò)不同實(shí)例的討論來(lái)示范如何對(duì)VirtualLab Fusion中有三種傅里葉變換算法進(jìn)行設(shè)置。
2. 三種傅里葉變換
? 快速傅里葉變換(FFT)
- 對(duì)于不同數(shù)值計(jì)算，一種標(biāo)準(zhǔn)而高效的算法。
? 半解析傅里葉變換(SFT)
- 一種無(wú)需近似的高效重構(gòu)。
- 二次相的解析處理，類似chirp-z變換。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 27, 15335-15350 (2019)
? 逐點(diǎn)傅里葉變換(PSF)
- 受靜態(tài)相位理論啟發(fā)的一種近似方法，但采用純粹的數(shù)學(xué)形式來(lái)表達(dá)。
- 對(duì)強(qiáng)波前相位是一種高效而精準(zhǔn)的方法。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 28, 10552-10571 (2020)
3. 每個(gè)元件的設(shè)置
? 傅立葉變換設(shè)置
- 對(duì)于每個(gè)元件和探測(cè)器，都可以使用 “傅立葉變換”選項(xiàng)卡。
- VirtualLab Fusion自動(dòng)選擇所有激活的傅立葉變換選項(xiàng)；不選擇未激活的選項(xiàng)。
- 傅立葉變換的組合影響自由空間中向前傳播過(guò)程的建模。(這意味著不僅適用于元件前面的自由空間——它也適用于具有復(fù)雜通道配置的情況)
4. 每個(gè)元件的設(shè)置
? 傅里葉變換設(shè)置
?
5. 默認(rèn)的傅里葉變換設(shè)置
? 光源模式和探測(cè)器的設(shè)置
- 對(duì)于光源模式和探測(cè)器，默認(rèn)情況下將激活所有三個(gè)傅里葉變換選項(xiàng)。
- 在特殊情況下，對(duì)于光源模式或探測(cè)器而言，衍射可能無(wú)關(guān)緊要。
展開 
傅里葉變換的相關(guān)專題、標(biāo)簽、搜索
傅里葉變換的最新內(nèi)容
原始文獻(xiàn)：《An elasto-viscoplastic formulation based on fast Fourier transforms for the prediction of micromechanical fields in polycrystalline materials》
DOI：10.1016/j.ijplas.2011.12.005
在計(jì)算微觀力學(xué)領(lǐng)域，如何高效預(yù)測(cè)多晶體內(nèi)部的異質(zhì)應(yīng)力場(chǎng)量一直是核心難題
</p><p>利用邁克爾遜干涉儀或傅里葉變換重構(gòu)光譜，通過(guò)對(duì)探測(cè)器得到的干涉圖進(jìn)行傅里葉變換獲得待測(cè)光譜。
?
逐點(diǎn)傅里葉變換（Pointwise Fourier Transform，PFT）：近似的傅里葉變換方法。對(duì)具有平滑相位的光場(chǎng)進(jìn)行評(píng)估并逐點(diǎn)的轉(zhuǎn)換到目標(biāo)域。主要用于處理強(qiáng)波前相位。不考慮衍射。
?
半解析傅里葉變換（Semi-Analytical Fourier Transform，Semi-FT）：嚴(yán)格的傅里葉變換方法。
論文中提到的GS算法、混合遺傳迭代爬山算法等，均可在專業(yè)設(shè)計(jì)工具中實(shí)現(xiàn)集成應(yīng)用：
仿真流程：輸入入射與目標(biāo)輸出光場(chǎng)參數(shù)，依托論文相關(guān)傅里葉變換理論，通過(guò)專業(yè)設(shè)計(jì)工具調(diào)用對(duì)應(yīng)迭代算法，優(yōu)化DOE相位分布并仿真對(duì)比不同算法的整形效果。
球形陣列的四大核心優(yōu)勢(shì)
全向三維采集：能夠有效捕捉來(lái)自 360° 所有方向的三維空間聲場(chǎng)信息，特別適合封閉空間測(cè)量
信號(hào)處理高效：不同類型的球形陣列可以用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式描述，算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單
無(wú)傳統(tǒng)陣列誤差：由于球面是閉合曲面，球面傅里葉變換不存在傳統(tǒng)陣列的有限孔徑誤差和窗效應(yīng)，也沒有卷繞誤差
便攜易部署：球形陣列尺寸通常較小，現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量和移動(dòng)都非常方便
空心
薄元近似(TEA)與傅里葉模態(tài)法(FMM)的光柵建模1個(gè)月前
[圖片]
JCMsuite應(yīng)用：孤立線柵1個(gè)月前
后處理傅里葉變換計(jì)算散射場(chǎng)在上半空間的傅里葉變換。
JCMsuite應(yīng)用：孤立線柵1個(gè)月前
下圖顯示了當(dāng)波長(zhǎng)為193nm時(shí)，平面波從襯底側(cè)垂直入射到結(jié)構(gòu)內(nèi)的近場(chǎng)強(qiáng)度
S偏振光照明的近場(chǎng)強(qiáng)度
P偏振光照明的近場(chǎng)強(qiáng)度
后處理傅里葉變換計(jì)算散射場(chǎng)在上半空間的傅里葉變換。
在實(shí)驗(yàn)中，遠(yuǎn)場(chǎng)通常由成像的光學(xué)裝置來(lái)收集。后處理光學(xué)成像允許描述一個(gè)通用光學(xué)成像系統(tǒng)。我們通過(guò)一個(gè)沒有像差的簡(jiǎn)單2X放大工具來(lái)演示這一點(diǎn)。
JCMsuite應(yīng)用：一維周期線柵1個(gè)月前
S偏振光照明的近場(chǎng)強(qiáng)度
P偏振光照明的近場(chǎng)強(qiáng)度
后處理傅里葉變換計(jì)算透射衍射級(jí)次的振幅。
參數(shù)掃描
Matlab?腳本data_analysis/run_scan_illumination.m提供對(duì)入射角的掃描。
[VirtualLab] 高數(shù)值孔徑物鏡焦斑分析1個(gè)月前
在VirtualLab Fusion中提供了三種傅里葉算法：快速傅里葉變換（FFT）、半解析傅里葉變換（SFT）和逐點(diǎn)傅里葉變換（PFT）。利用逐點(diǎn)傅里葉變換、逆向快速傅里葉變換和逆向半解析傅里葉變換便可以實(shí)現(xiàn)從高數(shù)值孔徑物鏡到探測(cè)器的廣義德拜積分，如圖4所示。
圖4. 廣義德拜積分設(shè)置
結(jié)果呈現(xiàn)
高數(shù)值孔徑物鏡的光線追跡結(jié)果如圖5所示
圖5.
