幾何傅里葉變換
關注創建者：匿名 創建時間：2025-12-08
幾何傅里葉變換的視頻教程
1-117基于matlab的短時傅里葉變換（STFT）、小波變換（WT）、同步壓縮變換（SST）、瞬態提取變換（TET）進行時頻分析
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1-12 基于MATLAB的短時傅里葉變換(STFT),連續小波變換(CWT)
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幾何傅里葉變換的實例教程
Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學建模中的頻繁操作。我們介紹一個場所謂的幾何區域，在該區域中傅里葉變換可以在不進行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩定相位的概念應用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項技術被證明是快速物理光學的基礎支柱。
1.光學傅立葉變換
在物理光學中，我們處理電磁場的六個復數場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號
(3)
方程2中積分的數值評估需要對a和k域中的場進行取樣，我們用N表示采樣點的數量，所得的離散傅里葉變換構成了N2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學中，我們通常有強梯度的相位函數，從而導致很大的N值，只有在十分對稱的光學系統中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學上遇到N太大而不能進行快速計算傅里葉變換的問題，這是快速物理光學概念的嚴重阻礙。
展開 一般來說，我們有，幾何傅里葉變換的數值主要基于 中的線性運算，因此速度非常快；N(U)中U值的智能包也可以快速完成，V的采樣可以完全避免。總之，當幾何傅立葉變換足夠精確時，由此產生的數值算法能夠實現非常快速的傅里葉變換，對于強波前相位來說就是這種情況。
對于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數值上對于非常弱的波前相位有效的常規FFT，我們獲得了一個強大的三元組來處理所有相關傅里葉變換的情況。它在VirtualLab Fusion的第二代技術更新中得以實現，構成了其快速物理光學技術的基礎[3]，例如古伊相移就是用這個概念來研究的[4]。
3 衍射、幾何和遠場區域
我們來考慮平面z中的一個場，它可以通過幾何傅立葉變換以足夠的精度（由質量標準來指定）進行變換。那么我們說該平面位于幾何區域（GFZ），否則場在其衍射區（DFZ） 。自然地，衍射場區域位于焦點區域附近，而GFZ出現在距焦點區域較遠處。如果場進一步傳播，則可達到形成幾何區域子集的遠場區。在幾何區域中，我們不限制波前相位 ，這意味著我們也包括像差。如果幾何傅立葉變換為球面的 提供準確的結果，則已經達到遠場區域，如表1中概括。對于一個衍射受限場，幾何場和遠場區是相同的，應該強調的是，在每個平面上，場的區域特征可以通過幾何傅里葉變換來研究，這構成了一個純粹的數學概念。事實證明，在場的幾何區域中的物理光學建模可以很快地執行，因為數值上其主要涉及相對較小的波前相位樣本數量 。
表1 場域的定義
參考文獻
[1] Z. Wang, S. Zhang, and F. Wyrowski, "The semi-analytical Fast Fouruer Transform," in Proc. DGaO, vol. 118, p.
展開 在光學中，當場不在苛性區時，通常滿足這種條件，穩定相位的概念也揭示出來
(8)
由φ(p)的勒讓變換
(9)
復函數
(10)
權重因子取決于φ(p)的二階導數，該結果通過將空間域中的場值映射到具有附加權重因子的k域來表示傅里葉變換，其僅作為映射本身而依賴于波前相位。因此，傅里葉變換主要執行場分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。
我們已經開發了一個數值算法來執行幾何傅里葉變換。它利用場的混合采樣。相比于函數 ，波前相位φ(p)本身可以通過少量N(φ)的非等距分布值而參數化。樣條插值的節點是可能的候選項。
而且，我們必須用等距分布的采樣點N(U)來處理函數U(p)的采樣。一般來說，我們有，幾何傅里葉變換的數值主要基于 中的線性運算，因此速度非常快；N(U)中U值的智能包也可以快速完成，V的采樣可以完全避免。總之，當幾何傅立葉變換足夠精確時，由此產生的數值算法能夠實現非常快速的傅里葉變換，對于強波前相位來說就是這種情況。
對于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數值上對于非常弱的波前相位有效的常規FFT，我們獲得了一個強大的三元組來處理所有相關傅里葉變換的情況。它在VirtualLab Fusion的第二代技術更新中得以實現，構成了其快速物理光學技術的基礎[3]，例如古伊相移就是用這個概念來研究的[4]。
3 衍射、幾何和遠場區域
我們來考慮平面z中的一個場，它可以通過幾何傅立葉變換以足夠的精度（由質量標準來指定）進行變換。那么我們說該平面位于幾何區域（GFZ），否則場在其衍射區（DFZ） 。自然地，衍射場區域位于焦點區域附近，而GFZ出現在距焦點區域較遠處。
展開 如果我們考慮Hirchhoff邊界條件下的孔徑效應，空間域中算子B則變成簡單的因子形式，繼而我們可以在x域中通過選擇合適的傅里葉變化來模擬這個效應，這在圖1中通過第一個B算子解釋了。當然光學的主要任務是研究電磁場傳播通過兩種介質間的一般表面，例如透鏡模型。
3.幾何算子
一般表面對場的影響可以通過有限元法（FEM）來計算，但是對于大多數情況來說，數值計算成本太高。如果表面的結構不是很小，在大多數實際情況中通過所謂的局部平面近似（LPIA）方法計算B算子可以得到足夠的精度[5]。在這種近似中，電磁場的邊界條件利用分層介質的已知解進行局部計算。圖2比較了正弦表面光柵時FMM和LPIA的計算結果，結果顯示LPIA對該效應預測的很好，即使是表面上非常小的特征。事實上，我們發現LPIA是計算公式3中B(k,k')包括矢量效應（公式2）的有力手段。需要注意的是，著名的薄元近似（TEA）方法是LPIA的簡化特例。盡管LPIA可以計算雙向算子，我們仍然需要進行公式3中大量的數值積分計算。這導致了LPIA和幾何傅里葉變換的結合[3]。如果我們假設輸入場和輸出場在它們的幾何場域，它們遵循幾何傅里葉變換理論
(4)
公式3中的積分再一次簡化為簡單的乘積，其中包括了坐標變換k(k')。根據幾何傅里葉變換理論，這個變換由輸入場的波陣面相位計算得到。我們將公式4中的算子稱為幾何算子。這個結果已經于VirtualLab Fusion中實現。如果場處于其幾何或衍射區域，則可以在任何平面進行數值測試。根據結果，應用了不同的傅里葉變換，也以不同的方式應用了B算子。這造成了基于純數學論證的衍射和幾何模型自然而然地應用。建模始終完全基于物理光學并在數值效率方面進行了優化。
參考文獻
[1] M. Kuhn, F. Wyrowski, and C.
展開 如果我們考慮Hirchhoff邊界條件下的孔徑效應，空間域中算子B則變成簡單的因子形式，繼而我們可以在x域中通過選擇合適的傅里葉變化來模擬這個效應，這在圖1中通過第一個B算子解釋了。當然光學的主要任務是研究電磁場傳播通過兩種介質間的一般表面，例如透鏡模型。
3.幾何算子
一般表面對場的影響可以通過有限元法（FEM）來計算，但是對于大多數情況來說，數值計算成本太高。如果表面的結構不是很小，在大多數實際情況中通過所謂的局部平面近似（LPIA）方法計算B算子可以得到足夠的精度[5]。在這種近似中，電磁場的邊界條件利用分層介質的已知解進行局部計算。圖2比較了正弦表面光柵時FMM和LPIA的計算結果，結果顯示LPIA對該效應預測的很好，即使是表面上非常小的特征。事實上，我們發現LPIA是計算公式3中B(k,k')包括矢量效應（公式2）的有力手段。需要注意的是，著名的薄元近似（TEA）方法是LPIA的簡化特例。盡管LPIA可以計算雙向算子，我們仍然需要進行公式3中大量的數值積分計算。這導致了LPIA和幾何傅里葉變換的結合[3]。如果我們假設輸入場和輸出場在它們的幾何場域，它們遵循幾何傅里葉變換理論
(4)
公式3中的積分再一次簡化為簡單的乘積，其中包括了坐標變換k(k')。根據幾何傅里葉變換理論，這個變換由輸入場的波陣面相位計算得到。我們將公式4中的算子稱為幾何算子。這個結果已經于VirtualLab Fusion中實現。如果場處于其幾何或衍射區域，則可以在任何平面進行數值測試。根據結果，應用了不同的傅里葉變換，也以不同的方式應用了B算子。這造成了基于純數學論證的衍射和幾何模型自然而然地應用。建模始終完全基于物理光學并在數值效率方面進行了優化。
參考文獻
[1] M. Kuhn, F. Wyrowski, and C.
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幾何傅里葉變換的最新內容
傅里葉變換光譜法是一種光學計量方法，可用于用邁克爾遜干涉儀測量光源的光譜，是一種眾所周知的技術，通常用于從研究空氣或水質到藥物分析的廣泛應用。
為了幫助光學設計師了解在這些設備中可以發揮作用的所有效果，快速物理光學軟件VirtualLab Fusion提供了所有必要的工具，可以在這些系統中進行全面傳播。這自然包括在探測器平面上發生的所有相干和干涉效應。此外，通過我們新的探測器附加組件，用戶可以訪問所有感興趣的物理量
摘要
眾所周知，在干涉儀中，條紋對比度可能取決于光源的相干性。例如，在配有一定帶寬源的邁克爾遜干涉儀中，干涉條紋對比度隨著兩臂之間的光程差的增加而減小。通過測量可移動反射鏡在不同位置的干涉圖對比度，可以得出光源的相干長度。典型的傅立葉變換光譜學通常是基于這類光學裝置。
建模任務
非序列追跡
探測器附加組件
參數運行
總結-組件…
這導致了LPIA和幾何傅里葉變換的結合[3]。如果我們假設輸入場和輸出場在它們的幾何場域，它們遵循幾何傅里葉變換理論
(4)
公式3中的積分再一次簡化為簡單的乘積，其中包括了坐標變換k(k')。根據幾何傅里葉變換理論，這個變換由輸入場的波陣面相位計算得到。我們將公式4中的算子稱為幾何算子。這個結果已經于VirtualLab Fusion中實現。
我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
1.簡介
物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數量近似成線性關系
準確有效地模擬電磁場的自由空間傳播是物理光學建模和設計的基礎。VirtualLab Fusion有一個統一的自由空間傳播概念，它是基于空間-頻率域(k域)分析的。結合不同的傅里葉變換技術，給出了不同自由空間傳播情況下的數值有效解，根據實際情況自動選擇合適的傅里葉變換。
摘要
摘要
準確有效地模擬電磁場的自由空間傳播是物理光學建模和設計的基礎。VirtualLab Fusion有一個統一的自由空間傳播概念，它是基于空間-頻率域(k域)分析的。結合不同的傅里葉變換技術，給出了不同自由空間傳播情況下的數值有效解，根據實際情況自動選擇合適的傅里葉變換。
自由空間傳播算子的概念
VirtualLab
1. 摘要
VirtualLab Fusion包含了多種場求解器和函數。它們可以在空間(x)域或空間頻率(k)域工作。為了將不同的求解器和函數簡建立連接，實現復雜系統的建模，x域和k域之間的轉換是至關重要的一步。 在本文中，我們將通過不同實例的討論來示范如何對VirtualLab Fusion中有三種傅里葉變換算法進行設置。
2. 三種傅里葉變換
因此，傅里葉變換主要執行場分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。
我們已經開發了一個數值算法來執行幾何傅里葉變換。它利用場的混合采樣。相比于函數 ，波前相位φ(p)本身可以通過少量N(φ)的非等距分布值而參數化。樣條插值的節點是可能的候選項。
而且，我們必須用等距分布的采樣點N(U)來處理函數U(p)的采樣。
幾何傅里葉變換8個月前
因此，傅里葉變換主要執行場分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。
我們已經開發了一個數值算法來執行幾何傅里葉變換。它利用場的混合采樣。相比于函數 ，波前相位φ(p)本身可以通過少量N(φ)的非等距分布值而參數化。樣條插值的節點是可能的候選項。
而且，我們必須用等距分布的采樣點N(U)來處理函數U(p)的采樣。
簡介
傅里葉變換光譜儀（FTS）是利用干涉儀與一個平移反射鏡來產生干涉圖樣的光學儀器。干涉圖的傅里葉變換提供了光源的頻譜。由于FTS提高了測量速度、分辨率的提升和簡潔的機械結構性[1]，FTS方法通常優于單色儀。在FRED中模擬FTS并不復雜。在本案例中，在FRED中將會使用一個嵌入式腳本來創建和運行FTS模型。將會使用該模型分析三種不同的光譜。
在FRED中建立光譜儀
為了簡化過程，
