隱式有限差分法
關(guān)注創(chuàng)建者：Cadence CFD學習 創(chuàng)建時間：2023-06-14
隱式有限差分法的實例教程
網(wǎng)格點
在傳統(tǒng)的有限差分法或格式中，網(wǎng)格點的數(shù)量是固定的。傳統(tǒng)的有限差分法需要大量的內(nèi)存和計算時間。為了減少內(nèi)存需求和計算時間，采用可變網(wǎng)格方案。此外，可以實現(xiàn)計算成本的降低。在數(shù)值網(wǎng)格的不同部分引入時間采樣不僅可以最大限度地減少計算時間，還可以優(yōu)化網(wǎng)格大小。
根據(jù)為問題域制定的方程的性質(zhì)，有限差分法分為顯式和隱式有限差分法。
區(qū)分顯式和隱式有限差分法
在有限差分法的變體中，總是使用顯式和隱式有限差分法。
顯式有限差分法
求解方程時，若直接從已知值求出某一時間層次的因變量，則構(gòu)成顯式有限差分法。考慮等式：
在此等式中，時間點 (n+1) 處的 y 值取決于時間 n 處的變量 x 和時間步長 n 處的 y 函數(shù)。該等式意味著執(zhí)行計算是為了使用先前時間步長的數(shù)量及時獲得前向值。這種類型的有限差分格式被稱為顯式的。
然而，在某些表達式中，向前時間步的輸出取決于它自己。隱式有限差分法用于解決此類問題。
隱式有限差分法
如果將未來時間水平的未知量用該時間水平的變量和過去、現(xiàn)在、未來時間的變量來表示，就形成了隱式有限差分法。
注意：隱式有限差分方程中會有不止一個未知數(shù)。
考慮等式：
這里，第 (n+1)個時間步的y取決于第 n個時間步的 x 值和第 (n+1) 個時刻的 f(y) 的函數(shù)。等式中沒有明確的關(guān)系。這需要隱式有限差分法。
使用隱式有限差分法解決問題
隱式有限差分法一般用于求解對時間步長沒有限制的問題。該方法用于求解熱傳導方程、定常和非定常無粘性和粘性可壓縮流、擴散方程、電磁問題和計算渦流尾流。
展開 有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。它以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。這是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結(jié)構(gòu)力學，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學的數(shù)值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
展開 1 有限差分方法(FDM)是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
2 有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。
展開 有限差分方法(FDM)是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等， 其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分 方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式 ，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結(jié)構(gòu)力學，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學的數(shù)值模擬。
展開 要點
有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。
有限差分法將偏微分方程轉(zhuǎn)換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。
使用有限差分法獲得泊松方程的解，將具有無限自由度的連續(xù)場問題替換為有限正則模態(tài)的離散場。
最實用、最常用的偏微分方程是泊松方程
在工程領(lǐng)域，工程師必須應對各種物理情況。大多數(shù)情況都可以使用數(shù)學方程來描述。泊松方程就是這樣的方程之一，它控制擴散、引力和靜電等物理情況。泊松方程可以使用各種數(shù)值方法求解。使用有限差分法(FDM)獲得泊松方程的解很受工程師歡迎。在本文中，我們將進一步探討泊松方程和有限差分法。
工程中的泊松方程
在工程中，物理現(xiàn)象的數(shù)學建模很常見。大多數(shù)物理現(xiàn)象（當進行數(shù)學建模時）都會形成偏微分方程 (PDE)。最實用且最常用的偏微分方程是泊松方程。
泊松方程是一個橢圓偏微分方程，它控制著電磁、靜電、引力和擴散問題等的數(shù)學建模。有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。問題可以是與時間無關(guān)的、與時間相關(guān)的、線性的或非線性的。
有限差分法適用于求解狄利克雷、諾伊曼等不同邊界條件的問題，適用于不同邊界形狀或由不同材料組成的區(qū)域的問題域。
讓我們看幾個物理情況的例子，其中數(shù)學模型導出泊松方程。
用泊松方程表示的物理現(xiàn)象的例子
擴散方程 -在擴散問題中，通量以化學溶質(zhì)的量和擴散率 (k) 表示。穩(wěn)態(tài)擴散可以用泊松方程的形式描述如下，其中S(x)是溶質(zhì)源：
熱擴散方程 -熱擴散方程用可能的熱源和熱擴散系數(shù)來表示。
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隱式有限差分法的最新內(nèi)容
基于matlab的有限差分法求解泊松方程，采用SOR超松弛迭代法。模型采用方形區(qū)域，劃分網(wǎng)格數(shù)為100*100，網(wǎng)格數(shù)可以很方便的更改。程序已調(diào)通，可直接運行。
要點
FDTD技術(shù)直接離散化麥克斯韋方程的時域偏微分形式。
頻域有限差分（FDFD）源自FDTD。
時域有限差分法是求解麥克斯韋方程組的最先進方法，尤其是在復雜幾何形狀中。
FDTD方法可以解決與天線相關(guān)的問題
我們經(jīng)常使用基于電流、電荷和場變化產(chǎn)生的電場和磁場的電器或設備。為了以數(shù)學方式表達所產(chǎn)生的電場和磁場
要點
有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。
有限差分法將偏微分方程轉(zhuǎn)換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。
使用有限差分法獲得泊松方程的解，將具有無限自由度的連續(xù)場問題替換為有限正則模態(tài)的離散場。
最實用、最常用的偏微分方程是泊松方程
在工程領(lǐng)域，工程師必須應對各種物理情況
隱式有限差分法用于解決此類問題。
隱式有限差分法
如果將未來時間水平的未知量用該時間水平的變量和過去、現(xiàn)在、未來時間的變量來表示，就形成了隱式有限差分法。
注意：隱式有限差分方程中會有不止一個未知數(shù)。
有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。它以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。這是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學概念直觀
3.1 有限元方法在激光超聲研究中的應用
在激光熱彈機制激發(fā)超聲的理論研究工作中，大部分工作在求解熱傳導和熱彈方程過程中采用解析計算方法，在數(shù)值計算中主要采用顯式或隱式有限差分法，而這些文獻工作都局限在板材上，當脈沖激光非軸對稱地照射到管狀材料表面時，用這些方法求解都非常困難。
1 有限差分方法(FDM)是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式
有限差分方法(FDM)是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法
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