摘要：簡述了有限元法的起源、基本理論及發(fā)展現(xiàn)狀。有限元法自1943年首次提出以來，有限元理論及其應(yīng)用得到了迅速發(fā)展。發(fā)展至今，已由二維問題擴(kuò)展到三維問題、板殼問題，由靜力學(xué)問題擴(kuò)展到動力學(xué)問題、穩(wěn)定性問題，由線性問題擴(kuò)展到非線性問題。重點(diǎn)總結(jié)了有限元法在激光超聲研究、機(jī)電工程、汽車產(chǎn)品開發(fā)、建筑等多個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用。

一、引言

有限元法(FEM)，是計(jì)算力學(xué)中的一種重要的方法，它是20世紀(jì)50年代末60年代初興起的應(yīng)用數(shù)學(xué)、現(xiàn)代力學(xué)及計(jì)算機(jī)科學(xué)相互滲透、綜合利用的邊緣科學(xué)。有限元法最初應(yīng)用在工程科學(xué)技術(shù)中，用于模擬并且解決工程力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)等物理問題。對于過去用解析方法無法求解的問題和邊界條件及結(jié)構(gòu)形狀都不規(guī)則的復(fù)雜問題，有限元法則是一種有效的分析方法。

有限元法的基本思想是先將研究對象的連續(xù)求解區(qū)域離散為一組有限個(gè)且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元組合體。由于單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模擬成不同幾何形狀的求解小區(qū)域；然后對單元(小區(qū)域)進(jìn)行力學(xué)分析，最后再整體分析。這種化整為零，集零為整的方法就是有限元的基本思路。

二、有限元法的發(fā)展現(xiàn)狀

有限元法是R . Courant于1943年首先提出的。自從提出有限元概念以來，有限元理論及其應(yīng)用得到了迅速發(fā)展。過去不能解決或能解決但求解精度不高的問題，都得到了新的解決方案。

傳統(tǒng)的FEM假設(shè)：分析域是無限的；材料是同質(zhì)的，甚至在大部分的分析中認(rèn)為材料是各向同性的；對邊界條件簡化處理。但實(shí)際問題往往是分析域有限、材料各向異性或邊界條件難以確定等。

在FEM應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)展、求解精度不斷提高的同時(shí)，F(xiàn)EM也從分析比較向優(yōu)化設(shè)計(jì)方向發(fā)展。印度Mahanty博士用ANSYS對拖拉機(jī)前橋進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果不但降低了約40%的前橋自重，還避免了在制造過程中的大量焊接工藝，降低了生產(chǎn)成本。

FEM在國內(nèi)的應(yīng)用也十分廣泛。自從我國成功開發(fā)了國內(nèi)第一個(gè)通用有限元程序系統(tǒng)JIGFEX后，有限元法滲透到工程分析的各個(gè)領(lǐng)域中，從大型的三峽工程到微米級器件都采用FEM進(jìn)行分析，在我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展中擁有廣闊的發(fā)展前景。

目前在進(jìn)行大型復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)中的物理場分析時(shí)，為了估計(jì)并控制誤差，常用基于后驗(yàn)誤差估計(jì)的自適應(yīng)有限元法。基于后處理法計(jì)算誤差，與傳統(tǒng)算法不同，將網(wǎng)格自適應(yīng)過程分成均勻化和變密度化2個(gè)迭代過程。

在均勻化迭代過程中，采用均勻網(wǎng)格尺寸對整體區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，以便得到一個(gè)合適的起始均勻網(wǎng)格；在變密度化迭代過程中只進(jìn)行網(wǎng)格的細(xì)化操作，并充分利用上一次迭代的結(jié)果。

在單元所在的曲邊三角形區(qū)域內(nèi)部進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化，保證了全局網(wǎng)格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的網(wǎng)格能光滑銜接，從而提高網(wǎng)格質(zhì)量。整個(gè)方案簡單易行，穩(wěn)定可靠，數(shù)次迭代即可快速收斂，生成的網(wǎng)格布局合理，質(zhì)量高。

三、 有限元法的應(yīng)用

有限元法最初應(yīng)用在求解結(jié)構(gòu)的平面問題上，發(fā)展至今，已由二維問題擴(kuò)展到三維問題、板殼問題，由靜力學(xué)問題擴(kuò)展到動力學(xué)問題、穩(wěn)定性問題，由結(jié)構(gòu)力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、電磁學(xué)、傳熱學(xué)等學(xué)科，由線性問題擴(kuò)展到非線性問題。

由彈性材料擴(kuò)展到彈塑性、塑性、粘彈性、粘塑性和復(fù)合材料，從航空技術(shù)領(lǐng)域擴(kuò)展到航天、土木建筑、機(jī)械制造、水利工程、造船、電子技術(shù)及原子能等，由單一物理場的求解擴(kuò)展到多物理場的耦合，其應(yīng)用的深度和廣度都得到了極大的拓展。

3.1  有限元方法在激光超聲研究中的應(yīng)用

在激光熱彈機(jī)制激發(fā)超聲的理論研究工作中，大部分工作在求解熱傳導(dǎo)和熱彈方程過程中采用解析計(jì)算方法，在數(shù)值計(jì)算中主要采用顯式或隱式有限差分法，而這些文獻(xiàn)工作都局限在板材上，當(dāng)脈沖激光非軸對稱地照射到管狀材料表面時(shí)，用這些方法求解都非常困難。

另外，在激光作用過程中，由于溫度的變化，材料的熱物理性能也隨之發(fā)生變化，以上所有的解析方法都無法應(yīng)用于實(shí)際情況。而在數(shù)值計(jì)算中，有限元方法能夠靈活處理復(fù)雜的幾何模型并且能夠得到全場數(shù)值解，另外有限元模型能夠考慮材料參數(shù)隨溫度變化的實(shí)際情況。

3.2  有限元法在機(jī)電工程上的應(yīng)用

在電機(jī)中，電流會使繞組發(fā)熱，渦流損耗和磁滯損耗會使鐵芯發(fā)熱。溫度分布不均造成的局部過熱，會危及電機(jī)的絕緣和安全運(yùn)行；在瞬態(tài)過程中，巨大的電磁力有可能損壞電機(jī)的端部繞組。為了準(zhǔn)確地預(yù)測并防止這些不良現(xiàn)象的產(chǎn)生，都需要進(jìn)行電磁場的計(jì)算，有限元法正是計(jì)算電磁場的一種有力工具。

3.3 有限元法在汽車產(chǎn)品開發(fā)中的應(yīng)用

作為制造業(yè)的中堅(jiān)，汽車工業(yè)一直是以有限元為主的CAE技術(shù)應(yīng)用的先鋒。有限元法在汽車零部件結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度的分析中最顯著的應(yīng)用是在車架、車身設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。車架和車身有限元分析的目的在于提高其承載能力和抗變形能力、減輕其自身重量并節(jié)省材料。就整個(gè)汽車而言，當(dāng)車架和車身重量減輕后，整車重量也隨之降低，從而改善整車的動力性和經(jīng)濟(jì)性等性能。

應(yīng)用有限元法對整車結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，可在產(chǎn)品設(shè)計(jì)初期對其剛度和強(qiáng)度有充分認(rèn)識，使產(chǎn)品在設(shè)計(jì)階段就可保證使用要求，縮短設(shè)計(jì)試驗(yàn)周期，節(jié)省大量的試驗(yàn)和生產(chǎn)費(fèi)用，是提高產(chǎn)品可靠性既經(jīng)濟(jì)又實(shí)用的方法之一。它在汽車設(shè)計(jì)及產(chǎn)品開發(fā)中的應(yīng)用使得汽車在輕量化、舒適性和操縱穩(wěn)定性方面得到改進(jìn)和提高。

3.4 有限元法在建筑方面的應(yīng)用

現(xiàn)今有限元技術(shù)在建筑業(yè)也凸顯了它的重大作用。天津大學(xué)從事有限元的研究人員對河北古寺塔進(jìn)行了地震反應(yīng)分析。研究發(fā)現(xiàn)，水平地震作用下，塔結(jié)構(gòu)在下部會出現(xiàn)拉應(yīng)力區(qū)域，更易開裂、破壞，而且強(qiáng)烈地震的鞭梢效應(yīng)會導(dǎo)致塔剎破壞，因此提出對塔體抗震加固時(shí)可采用塔體加箍、碳纖維布加固等措施。

3　結(jié)束語

有限元法在制造業(yè)、醫(yī)學(xué)、物流、建筑等各領(lǐng)域中都得到了廣泛應(yīng)用，但是由于計(jì)算能力等條件的限制，國內(nèi)有限元法的應(yīng)用相比于國外而言還有一定的差距。不過隨著我國高性能計(jì)算機(jī)和計(jì)算技術(shù)的日益發(fā)展，計(jì)算能力逐步提高，有限元法將成為更有效的一種分析方法。