隱式有限差分法的案例
使用隱式有限差分法求解沒有時間步長限制的問題
網(wǎng)格點(diǎn)
在傳統(tǒng)的有限差分法或格式中，網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)量是固定的。傳統(tǒng)的有限差分法需要大量的內(nèi)存和計算時間。為了減少內(nèi)存需求和計算時間，采用可變網(wǎng)格方案。此外，可以實(shí)現(xiàn)計算成本的降低。在數(shù)值網(wǎng)格的不同部分引入時間采樣不僅可以最大限度地減少計算時間，還可以優(yōu)化網(wǎng)格大小。
根據(jù)為問題域制定的方程的性質(zhì)，有限差分法分為顯式和隱式有限差分法。
區(qū)分顯式和隱式有限差分法
在有限差分法的變體中，總是使用顯式和隱式有限差分法。
顯式有限差分法
求解方程時，若直接從已知值求出某一時間層次的因變量，則構(gòu)成顯式有限差分法。考慮等式：
在此等式中，時間點(diǎn) (n+1) 處的 y 值取決于時間 n 處的變量 x 和時間步長 n 處的 y 函數(shù)。該等式意味著執(zhí)行計算是為了使用先前時間步長的數(shù)量及時獲得前向值。這種類型的有限差分格式被稱為顯式的。
然而，在某些表達(dá)式中，向前時間步的輸出取決于它自己。隱式有限差分法用于解決此類問題。
隱式有限差分法
如果將未來時間水平的未知量用該時間水平的變量和過去、現(xiàn)在、未來時間的變量來表示，就形成了隱式有限差分法。
注意：隱式有限差分方程中會有不止一個未知數(shù)。
考慮等式：
這里，第 (n+1)個時間步的y取決于第 n個時間步的 x 值和第 (n+1) 個時刻的 f(y) 的函數(shù)。等式中沒有明確的關(guān)系。這需要隱式有限差分法。
使用隱式有限差分法解決問題
隱式有限差分法一般用于求解對時間步長沒有限制的問題。該方法用于求解熱傳導(dǎo)方程、定常和非定常無粘性和粘性可壓縮流、擴(kuò)散方程、電磁問題和計算渦流尾流。
展開 有限元法，有限差分法和有限體積法的區(qū)別 附有限體積法基礎(chǔ)文檔下載
有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。它以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。這是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
展開 [有限元原理]有限差分法與有限單元法的區(qū)別
1 有限差分方法(FDM)是計算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
2 有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。
展開 有限差分、有限元及有限體積法概述
有限差分方法(FDM)是計算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等， 其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分 方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式 ，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。
展開 
FDTD講義（時域有限差分法）
FDTD講義（時域有限差分法）3.rar
FDTD講義（時域有限差分法）1.rar
FDTD講義（時域有限差分法）2.rar
CFD學(xué)習(xí)：使用有限差分法求解泊松方程
要點(diǎn)
有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。
有限差分法將偏微分方程轉(zhuǎn)換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。
使用有限差分法獲得泊松方程的解，將具有無限自由度的連續(xù)場問題替換為有限正則模態(tài)的離散場。
最實(shí)用、最常用的偏微分方程是泊松方程
在工程領(lǐng)域，工程師必須應(yīng)對各種物理情況。大多數(shù)情況都可以使用數(shù)學(xué)方程來描述。泊松方程就是這樣的方程之一，它控制擴(kuò)散、引力和靜電等物理情況。泊松方程可以使用各種數(shù)值方法求解。使用有限差分法(FDM)獲得泊松方程的解很受工程師歡迎。在本文中，我們將進(jìn)一步探討泊松方程和有限差分法。
工程中的泊松方程
在工程中，物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)建模很常見。大多數(shù)物理現(xiàn)象（當(dāng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時）都會形成偏微分方程 (PDE)。最實(shí)用且最常用的偏微分方程是泊松方程。
泊松方程是一個橢圓偏微分方程，它控制著電磁、靜電、引力和擴(kuò)散問題等的數(shù)學(xué)建模。有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。問題可以是與時間無關(guān)的、與時間相關(guān)的、線性的或非線性的。
有限差分法適用于求解狄利克雷、諾伊曼等不同邊界條件的問題，適用于不同邊界形狀或由不同材料組成的區(qū)域的問題域。
讓我們看幾個物理情況的例子，其中數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出泊松方程。
用泊松方程表示的物理現(xiàn)象的例子
擴(kuò)散方程 -在擴(kuò)散問題中，通量以化學(xué)溶質(zhì)的量和擴(kuò)散率 (k) 表示。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散可以用泊松方程的形式描述如下，其中S(x)是溶質(zhì)源：
熱擴(kuò)散方程 -熱擴(kuò)散方程用可能的熱源和熱擴(kuò)散系數(shù)來表示。
展開 CFD學(xué)習(xí)：用時域有限差分法求解麥克斯韋方程組
FDTD 和 FDFD
時域有限差分法是求解麥克斯韋方程組最通用、最有效的技術(shù)。可以使用傅里葉變換將時域解變換到頻域。然而，這需要大量的時間步長或插值來實(shí)現(xiàn)正確的分辨率或在結(jié)果中選擇特殊頻率。
以對特定問題感興趣的頻率求解模型非常簡單。對于這種情況，頻域比時域更自然，可用于解決問題。此類問題的一個例子是模擬高 Q 諧振器的品質(zhì)因數(shù)和諧振頻率。頻域有限差分 (FDFD) 也是基于 Yee 單元并且也很簡單。可以概括地說，F(xiàn)DFD是從FDTD衍生而來的。
時域有限差分法是用于求解麥克斯韋方程組的最先進(jìn)方法，尤其是在復(fù)雜幾何形狀中。FDTD 技術(shù)的應(yīng)用廣泛且不限于太陽能電池、LED、光開關(guān)、傳感器和非線性器件。
Cadence 提供 3D FDTD 電磁仿真工具來應(yīng)對電子、汽車和高性能計算系統(tǒng)中的電磁挑戰(zhàn)。訂閱我們的時事通訊以獲取最新的 CFD 更新或?yàn)g覽 Cadence 的CFD 軟件套件（包括Fidelity和Fidelity Pointwise），以了解有關(guān) Cadence 如何為您提供解決方案的更多信息。
文章來源：cadence博客
展開 218基于matlab的有限差分法求解泊松方程 ￥1
基于matlab的有限差分法求解泊松方程，采用SOR超松弛迭代法。模型采用方形區(qū)域，劃分網(wǎng)格數(shù)為100*100，網(wǎng)格數(shù)可以很方便的更改。程序已調(diào)通，可直接運(yùn)行。
技術(shù) | 有限元法的發(fā)展現(xiàn)狀及應(yīng)用
自從我國成功開發(fā)了國內(nèi)第一個通用有限元程序系統(tǒng)JIGFEX后，有限元法滲透到工程分析的各個領(lǐng)域中，從大型的三峽工程到微米級器件都采用FEM進(jìn)行分析，在我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展中擁有廣闊的發(fā)展前景。
目前在進(jìn)行大型復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)中的物理場分析時，為了估計并控制誤差，常用基于后驗(yàn)誤差估計的自適應(yīng)有限元法。基于后處理法計算誤差，與傳統(tǒng)算法不同，將網(wǎng)格自適應(yīng)過程分成均勻化和變密度化2個迭代過程。
在均勻化迭代過程中，采用均勻網(wǎng)格尺寸對整體區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，以便得到一個合適的起始均勻網(wǎng)格；在變密度化迭代過程中只進(jìn)行網(wǎng)格的細(xì)化操作，并充分利用上一次迭代的結(jié)果。
在單元所在的曲邊三角形區(qū)域內(nèi)部進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化，保證了全局網(wǎng)格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的網(wǎng)格能光滑銜接，從而提高網(wǎng)格質(zhì)量。整個方案簡單易行，穩(wěn)定可靠，數(shù)次迭代即可快速收斂，生成的網(wǎng)格布局合理，質(zhì)量高。
三、 有限元法的應(yīng)用
有限元法最初應(yīng)用在求解結(jié)構(gòu)的平面問題上，發(fā)展至今，已由二維問題擴(kuò)展到三維問題、板殼問題，由靜力學(xué)問題擴(kuò)展到動力學(xué)問題、穩(wěn)定性問題，由結(jié)構(gòu)力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、電磁學(xué)、傳熱學(xué)等學(xué)科，由線性問題擴(kuò)展到非線性問題。
由彈性材料擴(kuò)展到彈塑性、塑性、粘彈性、粘塑性和復(fù)合材料，從航空技術(shù)領(lǐng)域擴(kuò)展到航天、土木建筑、機(jī)械制造、水利工程、造船、電子技術(shù)及原子能等，由單一物理場的求解擴(kuò)展到多物理場的耦合，其應(yīng)用的深度和廣度都得到了極大的拓展。
3.1 有限元方法在激光超聲研究中的應(yīng)用
在激光熱彈機(jī)制激發(fā)超聲的理論研究工作中，大部分工作在求解熱傳導(dǎo)和熱彈方程過程中采用解析計算方法，在數(shù)值計算中主要采用顯式或隱式有限差分法，而這些文獻(xiàn)工作都局限在板材上，當(dāng)脈沖激光非軸對稱地照射到管狀材料表面時，用這些方法求解都非常困難。
展開 