位錯(cuò)密度的案例
馬普所&川大《Nature Commun》：金屬強(qiáng)度與位錯(cuò)密度和應(yīng)變速率的關(guān)系
在模擬中，研究了位錯(cuò)密度(9個(gè)數(shù)量級(jí)以上)和應(yīng)變速率(10個(gè)數(shù)量級(jí)以上)，對(duì)銅鋁單晶塑性變形行為的影響。因此，研究者提出了材料強(qiáng)度、位錯(cuò)密度、應(yīng)變率和位錯(cuò)遷移率之間的解析關(guān)系，該關(guān)系與目前的模擬和已發(fā)表的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。結(jié)果表明：隨著位錯(cuò)密度的增大，材料強(qiáng)度呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)。因此，隨著應(yīng)變速率的增加，強(qiáng)度呈現(xiàn)出一種應(yīng)變速率無關(guān)的狀態(tài)，隨后是應(yīng)變速率硬化狀態(tài)。所有的結(jié)果都可以用一個(gè)單一的尺度函數(shù)表示，該函數(shù)將尺度強(qiáng)度與位錯(cuò)密度和應(yīng)變率之間的耦合參數(shù)聯(lián)系了起來。這種耦合參數(shù)也控制了塑性的局部化、位錯(cuò)流的波動(dòng)和位錯(cuò)速度的分布。
圖1 根據(jù)當(dāng)前DDD/MD模擬預(yù)測(cè)的屈服應(yīng)力。
圖2 當(dāng)前DDD模擬預(yù)測(cè)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線和平均位錯(cuò)速度。
圖3 研究者模型，模擬數(shù)據(jù)和公布的實(shí)驗(yàn)比較。
圖4 不同初始位錯(cuò)密度和應(yīng)變率下的塑性應(yīng)變輪廓
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圖5 相同初始位錯(cuò)密度但不同應(yīng)變率下的位錯(cuò)構(gòu)型。更多精彩專業(yè)視頻抖音搜索：材料科學(xué)網(wǎng)。
圖6 DDD模擬中位錯(cuò)速度分布的平方變異系數(shù)。
圖7 DDD模擬中位錯(cuò)速度的概率分布。
綜上所述，研究者提供了一個(gè)在迄今為止前所未有的尺度范圍內(nèi)，應(yīng)變率和位錯(cuò)密度依賴的集體位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)的統(tǒng)一圖像。在相對(duì)低應(yīng)變率或高位錯(cuò)密度的情況下，大多數(shù)實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)都是這樣進(jìn)行的，位錯(cuò)的集體動(dòng)力學(xué)表現(xiàn)為高度湍流流動(dòng)過程。一旦足夠高的外加應(yīng)力使位錯(cuò)排列失去亞穩(wěn)性，復(fù)雜的弛緩過程會(huì)導(dǎo)致具有尺度自由位錯(cuò)速度譜的高度不規(guī)則動(dòng)力學(xué)，并強(qiáng)烈傾向于形成非均勻應(yīng)變和位錯(cuò)模式。
展開 基于位錯(cuò)密度的晶體塑性u(píng)mat程序
（原因是位錯(cuò)密度模型提供了位錯(cuò)之間更合理的相互作用形式）
作者的研究思路
一，通過實(shí)驗(yàn)獲得兩種取向的單晶在不同應(yīng)變率下的流動(dòng)應(yīng)力，并發(fā)現(xiàn)了單晶變形的流動(dòng)應(yīng)力與應(yīng)變率和取向是強(qiáng)相互影響的
二，為了捕捉這種應(yīng)變率響應(yīng)，作者在huang經(jīng)典程序的技術(shù)上進(jìn)行了修改，提出了兩類新的流動(dòng)和硬化的晶體塑性模型，三類模型分別如下：
類型一：經(jīng)典單晶唯象本構(gòu)方程
類型二：應(yīng)變率修正的單晶唯象本構(gòu)方程（類似于JC的修改形式，考慮溫度和應(yīng)變率）
類型三：考慮熱激活和位錯(cuò)密度的物理本構(gòu)模型
作者詳細(xì)探討了三種模型的差異性和預(yù)測(cè)能力，并對(duì)物理模型的參數(shù)給出了大概的區(qū)間以及參數(shù)的影響，對(duì)于使用位錯(cuò)密度模型提供了很好的范例
三類模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如下所示：
模型一的預(yù)測(cè)結(jié)果
模型二的預(yù)測(cè)結(jié)果
模型三的預(yù)測(cè)結(jié)果
作者認(rèn)為模型三對(duì)單晶變形的預(yù)測(cè)能力最好，因?yàn)槠洳蹲搅烁嗟奈锢硖卣鳌?作者的模型基于huang程序修改。對(duì)位錯(cuò)密度模型感興趣的需要獲取程序的可以私聊我！！！
展開 利用abaqus基于位錯(cuò)密度模型進(jìn)行切削過程中位錯(cuò)密度和晶粒尺寸仿真（VUSDFLD）
位錯(cuò)密度模型基于Hongtao Ding的論文；
耦合溫度損傷位錯(cuò)密度的顯式晶體塑性模型
溫度場(chǎng)通過初始溫度以及塑性產(chǎn)熱計(jì)算，同時(shí)忽視局部的熱傳導(dǎo)，準(zhǔn)靜態(tài)加載速率下的泰勒-昆尼系數(shù)η為0.0，1000 s加載速率下為0.95?1及以上(塑性功轉(zhuǎn)化為熱的比例)
通過經(jīng)典的熱激活模型，將溫度效應(yīng)引入流動(dòng)方程，并考慮溫度對(duì)剛度的退化
位錯(cuò)密度模型演化遵循經(jīng)典的KM模型，同時(shí)考慮位錯(cuò)之間的相互作用，即考慮了位錯(cuò)的產(chǎn)生和湮滅，以及湮滅半徑與溫度的關(guān)系。因此有利于由實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)照分析。
損傷基于經(jīng)典的JC損傷，并等效的對(duì)應(yīng)力進(jìn)行退化
拉伸模型
網(wǎng)格劃分（每個(gè)單元表示一個(gè)單獨(dú)取向的晶粒，即初始的取向不同）
局部斷裂時(shí)溫度場(chǎng)分布（初始293K，假設(shè)taylor-Q系數(shù)為0.95）
局部斷裂時(shí)局部位錯(cuò)密度分布（僅考慮統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度）
局部斷裂時(shí)損傷分布
局部斷裂時(shí)等效塑性應(yīng)變分布
局部斷裂時(shí)mises等效應(yīng)力分布
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晶體塑性每日文章推薦（十五）
文章doi：10.1016/j.actamat.2018.01.024
推薦理由：作者通過考慮晶界效應(yīng)（晶界處的高位錯(cuò)儲(chǔ)存），對(duì)傳統(tǒng)的KM位錯(cuò)密度模型進(jìn)行擴(kuò)展。用于分析FCC結(jié)構(gòu)的晶粒尺寸效應(yīng)，并以Cu為例進(jìn)行分析，其研究表明，晶粒內(nèi)部的初始位錯(cuò)密度在晶粒尺寸效應(yīng)中起主導(dǎo)作用，同時(shí)對(duì)于較大的初始位錯(cuò)密度和晶粒尺寸大于40um的結(jié)構(gòu)，流動(dòng)應(yīng)力與晶粒尺寸的平方根反比定律被打破。
作者的理論框架：
基于超彈性的本構(gòu)框架建立的KM位錯(cuò)密度模型
流動(dòng)模型為：
其中硬化模型偽為：
位錯(cuò)密度的演化遵循經(jīng)典的KM模型：
L表示位錯(cuò)的平均自由程：
為了考慮晶界效應(yīng)，作者為位錯(cuò)的平均自由程進(jìn)行修改
Ks表示晶界處存儲(chǔ)系數(shù)。dg表示該滑移系統(tǒng)距離最臨近晶界的距離，對(duì)于FCC-Cu，ks根據(jù)位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬獲得約為5，其余參數(shù)如下
作者的案例模型：
相同位錯(cuò)密度不同晶粒尺寸以及相同晶粒尺寸不同位錯(cuò)密度的流動(dòng)應(yīng)力結(jié)果如下：
相同位錯(cuò)密度不同晶粒尺寸的累計(jì)滑移云圖為：
相同位錯(cuò)密度不同晶粒尺寸的位錯(cuò)密度分布云圖：
相同位錯(cuò)密度不同晶粒尺寸的等效應(yīng)力分布云圖：
流動(dòng)應(yīng)力和晶粒尺寸關(guān)系云圖：
不同初始位錯(cuò)密度下，晶粒尺寸與流動(dòng)應(yīng)力關(guān)系
可以看到，盡管作者只對(duì)KM模型進(jìn)行了簡單的唯象修改，但很好的表現(xiàn)了晶界的應(yīng)力，位錯(cuò)密度集中現(xiàn)象以及對(duì)晶粒尺寸效應(yīng)的影響，并且相關(guān)參數(shù)均來源于位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)的模擬，具有真實(shí)的物理含義。
數(shù)值模擬結(jié)果表明，屈服應(yīng)力受初始位錯(cuò)密度的控制，與晶粒尺寸無關(guān)。然而，應(yīng)變硬化率表現(xiàn)出對(duì)平均晶粒尺寸的強(qiáng)烈影響，這主要?dú)w因于位錯(cuò)在晶界處的儲(chǔ)存。
同時(shí)兩個(gè)主要因素決定了多晶晶界提供的強(qiáng)化：平均晶粒尺寸和初始位錯(cuò)密度。
展開 非局部晶體塑性本構(gòu)模型實(shí)現(xiàn)與案例演示
臨界分辨剪切應(yīng)力是確定晶體滑移開始的標(biāo)準(zhǔn)，而FCC金屬材料塑性變形主要由位錯(cuò)滑移貢獻(xiàn)。以位錯(cuò)為內(nèi)變量的本構(gòu)方程可以對(duì)多晶材料的塑性變形做出更加物理的描述和預(yù)測(cè)，并與微尺度的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比分析。
Ma和Roters引入的基于位錯(cuò)密度的本構(gòu)模型（Ma和Roter，2004；Ma、Roters和Raabe，2006a，b）使用移動(dòng)位錯(cuò)ρmα，沿著滑移系統(tǒng)α滑動(dòng)，以適應(yīng)部分外部塑性變形，在基于位錯(cuò)的模型中，Orowan方程通常代替唯象的冪律流動(dòng)方程
其中ρm是統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度，b是伯格斯矢量，v是可移動(dòng)位錯(cuò)密度平均速度，統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度表示為初始統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度和變形過程中統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度增量之和，統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度演化表示為
其中dαβ是位錯(cuò)增殖相互作用張量，kc和knc分別作為控制共面和非共面滑移系統(tǒng)相互作用系數(shù)大小的常數(shù)。量rαc是位錯(cuò)湮滅的位錯(cuò)捕獲半徑，并隨溫度和變形速率的變化（Kocks，1976），通常使用考慮統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度的本構(gòu)模型，即從一個(gè)材料點(diǎn)的加載歷史可以充分描述本構(gòu)行為。對(duì)于多晶體的應(yīng)力-應(yīng)變曲線和織構(gòu)預(yù)測(cè)，溫度效應(yīng)，局部位錯(cuò)模型已被證明是強(qiáng)大和有效的。
然而，如果模擬規(guī)模變小，例如在專注于納米壓痕（Zaafarani et al.，20082006）和微柱壓縮（Raabe，Ma和Roters，2007a）的研究中，則局部模型可能由于無法描述尺寸效應(yīng)而不足，較小晶粒尺寸的強(qiáng)化效應(yīng)是由于晶界附近非均勻塑性變形的體積分?jǐn)?shù)較高。文獻(xiàn)中有幾種基于位錯(cuò)機(jī)制的解釋，如晶界前移動(dòng)位錯(cuò)的堆積，導(dǎo)致應(yīng)力集中，從而增加晶界附近的滑移阻力或應(yīng)變梯度，從而產(chǎn)生額外的位錯(cuò)密度增量，從而增加滑移阻力（Evers等人，2002）。
展開 非局部晶體塑性本構(gòu)模型實(shí)現(xiàn)與案例演示
臨界分辨剪切應(yīng)力是確定晶體滑移開始的標(biāo)準(zhǔn)，而FCC金屬材料塑性變形主要由位錯(cuò)滑移貢獻(xiàn)。以位錯(cuò)為內(nèi)變量的本構(gòu)方程可以對(duì)多晶材料的塑性變形做出更加物理的描述和預(yù)測(cè)，并與微尺度的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比分析。
Ma和Roters引入的基于位錯(cuò)密度的本構(gòu)模型（Ma和Roter，2004；Ma、Roters和Raabe，2006a，b）使用移動(dòng)位錯(cuò)ρmα，沿著滑移系統(tǒng)α滑動(dòng)，以適應(yīng)部分外部塑性變形，在基于位錯(cuò)的模型中，Orowan方程通常代替唯象的冪律流動(dòng)方程
其中ρm是統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度，b是伯格斯矢量，v是可移動(dòng)位錯(cuò)密度平均速度，統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度表示為初始統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度和變形過程中統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度增量之和，統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度演化表示為
其中dαβ是位錯(cuò)增殖相互作用張量，kc和knc分別作為控制共面和非共面滑移系統(tǒng)相互作用系數(shù)大小的常數(shù)。量rαc是位錯(cuò)湮滅的位錯(cuò)捕獲半徑，并隨溫度和變形速率的變化（Kocks，1976），通常使用考慮統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度的本構(gòu)模型，即從一個(gè)材料點(diǎn)的加載歷史可以充分描述本構(gòu)行為。對(duì)于多晶體的應(yīng)力-應(yīng)變曲線和織構(gòu)預(yù)測(cè)，溫度效應(yīng)，局部位錯(cuò)模型已被證明是強(qiáng)大和有效的。
然而，如果模擬規(guī)模變小，例如在專注于納米壓痕（Zaafarani et al.，20082006）和微柱壓縮（Raabe，Ma和Roters，2007a）的研究中，則局部模型可能由于無法描述尺寸效應(yīng)而不足，較小晶粒尺寸的強(qiáng)化效應(yīng)是由于晶界附近非均勻塑性變形的體積分?jǐn)?shù)較高。文獻(xiàn)中有幾種基于位錯(cuò)機(jī)制的解釋，如晶界前移動(dòng)位錯(cuò)的堆積，導(dǎo)致應(yīng)力集中，從而增加晶界附近的滑移阻力或應(yīng)變梯度，從而產(chǎn)生額外的位錯(cuò)密度增量，從而增加滑移阻力（Evers等人，2002）。
展開 一類非局部GTN模型------考慮應(yīng)變梯度效應(yīng)GTN模型
在GTN模型中通過使用包含應(yīng)變梯度效應(yīng)的應(yīng)變硬化，可以明顯提高GTN模型在微納尺度下模型的斷裂預(yù)測(cè)能力，并可以引入微觀內(nèi)變量更好的與微觀理論和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比分析，目前應(yīng)用最廣泛的方式是使用2004huang提出的基于機(jī)制的應(yīng)變梯度塑性（CMSG）的傳統(tǒng)理論，并與泰勒位錯(cuò)模型相關(guān)聯(lián)，但不涉及高階應(yīng)力，因此不需要高階邊界條件，使得在通用商業(yè)求解器的實(shí)現(xiàn)成本大大降低。并被證明與高階應(yīng)變理論具有相近的預(yù)測(cè)能力
理論框架如下：
根據(jù)taylor位錯(cuò)理論，位錯(cuò)密度與剪切流動(dòng)應(yīng)力的關(guān)系可以表示為
其中μ為剪切模量，b是伯格斯矢量，α是取值在0.3和0.5之間的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。位錯(cuò)密度包括統(tǒng)計(jì)存儲(chǔ)位錯(cuò)的密度ρS和幾何必要位錯(cuò)的密度ρG之和：
其中ρG與有效塑性應(yīng)變梯度的關(guān)系表示為
r為nye位錯(cuò)張量，對(duì)于FCC材料通常為1.9，拉伸流動(dòng)應(yīng)力與剪切應(yīng)力關(guān)系表示為
M為taylor因子，對(duì)于FCC材料通常為3.06
因此流動(dòng)應(yīng)力可以通過統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度和幾何必須位錯(cuò)密度進(jìn)行表征，其中幾何必須位錯(cuò)密度使用有效塑性應(yīng)變梯度進(jìn)行代替
假設(shè)單軸拉伸應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系表示為：
則統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度可以計(jì)算為：
通常稱L為材料內(nèi)稟長度，為材料的特征參數(shù)，對(duì)于銅通常為0.004mm，鎳為0.006mm，其計(jì)算方式為
通過gao等人的理論，有效應(yīng)變梯度的計(jì)算為
值得注意的是huang的CMSG理論僅適用于比平均位錯(cuò)間距大得多的尺度。對(duì)于金屬中位錯(cuò)密度的常見值，基于泰勒位錯(cuò)模型的SGP理論的物理有效性下限約為100nm。
展開 晶體塑性每日文章推薦（十六）
文章doi：10.1016/j.ijplas.2019.04.009
推薦理由：作者通過原位拉伸實(shí)驗(yàn)和基于位錯(cuò)密度的晶體塑性模型研究了圓柱形孔以及不同取向?qū)τ趩尉ф嚮邷睾辖鹱冃涡袨榈挠绊懀髡哐芯拷沂玖丝椎奶砑訒?huì)導(dǎo)致多軸應(yīng)力狀態(tài)，有利于塑性變形和各向異性塑性，而對(duì)于多孔試樣，孔隙之間相互作用會(huì)引起某些區(qū)域滑移，從而增強(qiáng)側(cè)孔附近的塑性滑移而抑制中心孔周圍塑性滑移，從而造成孔隙之間的非均勻變形造成裂紋出現(xiàn)。
作者的理論框架：
基于亞彈性的運(yùn)動(dòng)學(xué)框架
其中流動(dòng)模型為經(jīng)典的冪律流動(dòng)模型
硬化模型基于taylor位錯(cuò)理論模型
與傳統(tǒng)Km位錯(cuò)密度不同的是，為了更全面理解位錯(cuò)產(chǎn)生和湮滅的演化特征，作者使用了Zikry等人提出的位錯(cuò)模型概念，將總位錯(cuò)密度進(jìn)一步細(xì)分為固定位錯(cuò)密度和可移動(dòng)位錯(cuò)密度，其演化遵循
其中G_sour表示由于位錯(cuò)導(dǎo)致的移動(dòng)位錯(cuò)密度增加的系數(shù)，g_minter是林位錯(cuò)相互作用障礙物之間交叉滑移或位錯(cuò)相互作用而引起移動(dòng)位錯(cuò)的捕捉效用系數(shù)，g_immob是與移動(dòng)位錯(cuò)密度固定相關(guān)的系數(shù)，g_recov是與固定位錯(cuò)密度重排列和湮滅相關(guān)的系數(shù)
作者的研究對(duì)象是單晶鎳基DD413，使用這種更加復(fù)雜的單晶本構(gòu)模型可以更加準(zhǔn)確的捕捉單晶的變形特征，其材料參數(shù)如下：
滑移帶標(biāo)定的原位實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果（在原位SEM觀察中，滑移帶的強(qiáng)度用于評(píng)估局部變形的程度，在模擬中，累積塑性滑移用于評(píng)估塑性變形場(chǎng)）??哦?于評(píng)估局部塑性變形場(chǎng)）
孔隙周圍的晶格旋轉(zhuǎn)和滑移系統(tǒng)激活的異質(zhì)性
晶格旋轉(zhuǎn)角度的計(jì)算：
作者分析得到的結(jié)論是
孔的加入在單晶樣品中引起多軸應(yīng)力條件，有利于塑性變形并促進(jìn)孔周圍的各向異性塑性變形。
展開 晶體塑性每日文章推薦（二十四）
時(shí)間積分方案策略：
過程為：
通過線性方程組單次迭代求解滿足收斂判據(jù)的pk2應(yīng)力以及位錯(cuò)密度
收斂判據(jù)
為了避免位錯(cuò)密度波動(dòng)對(duì)數(shù)值穩(wěn)定性的影響，修正收斂判據(jù)為：
收斂之后更新柯西應(yīng)力：
一致性切線模量：
數(shù)值模型驗(yàn)證：
材料參數(shù)：
不同取向單晶鋁合金拉伸模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比：
不同取向單晶鋁合金納米模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比：
多晶鋁合金剪切模擬：
DIC結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果：
表面粗糙度對(duì)比：
可以看到作者使用的模型可以很好的得到不同情況下鋁合金的變形特征，且作者認(rèn)為這類方案相較于以往的雙重迭代方案計(jì)算更加高效。
感興趣的同學(xué)可以嘗試采用這類積分方案與以往傳統(tǒng)積分方案進(jìn)行對(duì)比
這里首先嘗試了該類本構(gòu)方程的傳統(tǒng)的積分方案求解，發(fā)現(xiàn)，兩類模擬結(jié)果在數(shù)值上無明顯差異。之后推文中會(huì)進(jìn)行簡單對(duì)比。
傳統(tǒng)積分方案計(jì)算多晶模型案例：
包含200個(gè)晶粒的鋁合金（參數(shù)使用文章提供的參數(shù)）拉伸變形10%的結(jié)果：
應(yīng)力分布
總位錯(cuò)密度分布：
刃位錯(cuò)密度分布：
螺位錯(cuò)密度分布：
展開 VPSC 8.0 新版本使用介紹
同時(shí)新版本引入了重結(jié)晶和更通用的位錯(cuò)密度的本構(gòu)框架（如鎂，鈦，鋯，鋅），其中
Nye-Kroner model：這是一種描述晶體中位錯(cuò)密度變化的本構(gòu)模型，通過計(jì)算位錯(cuò)密度的變化和流動(dòng)，來預(yù)測(cè)材料的宏觀塑性變形行為。
Dynamic recovery model：這是一種描述動(dòng)態(tài)回復(fù)過程的本構(gòu)模型，通過考慮位錯(cuò)密度、晶粒尺寸和應(yīng)變速率等因素，來預(yù)測(cè)材料的塑性變形行為。
Elasto-viscoplastic self-consistent (EVPSC) model：這是一種綜合考慮彈性、塑性和粘性變形的本構(gòu)模型，通過考慮位錯(cuò)密度、晶粒方向性和應(yīng)變速率等因素，來預(yù)測(cè)材料的宏觀塑性變形行為和重結(jié)晶行為。
Grain-size sensitive (GSS) model：這是一種考慮晶粒尺寸變化對(duì)材料力學(xué)性能影響的本構(gòu)模型，通過將晶粒尺寸變化引入到材料的塑性變形模型中，來模擬材料的重結(jié)晶過程。
這些本構(gòu)模型可以用于模擬和預(yù)測(cè)材料在不同應(yīng)變條件下的變形行為和重結(jié)晶行為，為材料科學(xué)和工程領(lǐng)域的研究和應(yīng)用提供了有力的工具和支持。
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每日文章推薦（二十二）
文章doi：10.1016/j.ijsolstr.2015.02.010
推薦理由：
作者利用泰勒位錯(cuò)模型建立的應(yīng)變梯度塑性理論，分析了塑性尺寸效應(yīng)對(duì)金屬材料斷裂過程的影響。所選SGP理論的數(shù)值框架是為允許大應(yīng)變和旋轉(zhuǎn)而開發(fā)的。材料模型通過用戶子程序在商業(yè)有限元（FE）代碼中實(shí)現(xiàn)，作者有限元結(jié)果顯示，當(dāng)考慮有限應(yīng)變時(shí)，SGP和傳統(tǒng)塑性理論的應(yīng)力場(chǎng)之間的差異幅度和程度顯著增加。由于在考慮大應(yīng)變時(shí)，與應(yīng)變梯度顯著改變應(yīng)力場(chǎng)的裂紋尖端的距離可能高出一個(gè)數(shù)量級(jí)。
作者數(shù)值模型的理論源于huang在2004年提出的低階應(yīng)變梯度塑性框架，但不涉及高階應(yīng)力。因此，塑性應(yīng)變梯度僅出現(xiàn)在本構(gòu)模型中，平衡方程和邊界條件與傳統(tǒng)的連續(xù)體理論相同。
基本框架如下：
硬化模型（Taylor（1938）的位錯(cuò)模型）：
其中μ是剪切模量，b是burger矢量，α是唯象的擬合系數(shù)區(qū)間（0.3，0.5），位錯(cuò)密度由兩部分組成，即統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度SSD和幾何必須位錯(cuò)密度GND:
幾何必須位錯(cuò)密度與有效應(yīng)變梯度直接相關(guān)聯(lián)：
其中r是nye因子，對(duì)于FCC結(jié)構(gòu)通常為1.90
統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度計(jì)算方程為：
其中σref是參考應(yīng)力。
展開 基于VPSC 8.0的密排六方金屬Zr的塑性變形過程模擬
如下，采用的是鋯Zr合金作為研究材料，變形工藝為室溫壓縮至應(yīng)變?yōu)?.0，模型采用VPSC8.0進(jìn)行計(jì)算，分別獲得了變形后的極圖、滑移激活以及位錯(cuò)密度等數(shù)據(jù)。可以發(fā)現(xiàn)，原始材料的合金取向趨向于<0001>//Z方向的基面纖維織構(gòu)，當(dāng)材料經(jīng)過室溫大變形后，已經(jīng)不在是典型的織構(gòu)，不過根據(jù)反極圖來看，主要為(10-11)<11-20>織構(gòu)等。
密排六方金屬由于需要孿晶進(jìn)行協(xié)調(diào)變形，下圖給出了4個(gè)滑移/孿生系的激活比例，mode1到mode4分別對(duì)應(yīng)Prismatic <a>、Pyramidal <c+a>、Tensile Twin {10-12}和Compressive Twin {11-22}，可以看到，整個(gè)變形過程中Prismatic <a>和Pyramidal <c+a>滑移占據(jù)主導(dǎo)地位，不過Prismatic <a>滑移的比例逐漸降低然后緩慢增加，而Tensile Twin {10-12}一開始逐漸增加隨后降低至較小值后趨于不變，整個(gè)過程Compressive Twin {11-22}極少被激活。右側(cè)圖片中Twin表示為一次孿晶，Twin2為二次孿晶，可以看到，整個(gè)變形過程主要出現(xiàn)一次孿生。
下圖為變形過程中Prismatic <a>和Pyramidal <c+a>滑移產(chǎn)生的位錯(cuò)密度以及總的位錯(cuò)密度變化，可以看到Pyramidal <c+a>滑移產(chǎn)生的位錯(cuò)密度與總的位錯(cuò)密度基本相當(dāng)，也側(cè)面反應(yīng)出該滑移激活對(duì)于整個(gè)塑性變形的貢獻(xiàn)極大，此外，在變形初期由于孿生的誘發(fā)，導(dǎo)致初期的位錯(cuò)密度增殖速率較慢。右側(cè)為變形過程中的Lankford值隨RD到TD之間不同角度的變化，可以看到，在接近RD和TD處的Lankford值均較小，最大值處于25°附近。
展開 晶體塑性每日文章推薦（十九）
這里使用三角形和四面體單元類型為例進(jìn)行展示，模擬案例和結(jié)果如下：
二維三角形單元：
幾何模型為100*20um，施加2%的X方向拉伸載荷
應(yīng)力分布情況
滑移系統(tǒng)的平均強(qiáng)度
滑移系統(tǒng)的幾何必須位錯(cuò)密度
滑移系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度
三維四面體單元：
幾何模型為1*1*1mm，施加3%的X方向拉伸載荷
應(yīng)力分布情況
滑移系統(tǒng)的平均強(qiáng)度
滑移系統(tǒng)的幾何必須位錯(cuò)密度
滑移系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度
UMAT 雙材料模型的實(shí)現(xiàn)
并利用不同本構(gòu)之間的建立跨尺度橋梁，為了驗(yàn)證umat的能力，在同一次計(jì)算中使用兩類晶體本構(gòu)（唯象與基于位錯(cuò)密度的本構(gòu)模型）建立包含30個(gè)晶粒的多晶模型，承受X方向5%的工程應(yīng)變，其中晶粒1-15使用基于位錯(cuò)密度的晶體塑性模型，16-30使用唯象的晶體塑性模型采用Voce硬化理論，變形后結(jié)果展示。
整體應(yīng)力分布情況：
位錯(cuò)密度部分模型應(yīng)力分布情況：
唯象部分模型應(yīng)力分布情況：
整體應(yīng)變分布情況：
位錯(cuò)密度部分模型應(yīng)變應(yīng)力分布情況：
唯象部分模型應(yīng)變分布情況：
基于位錯(cuò)本構(gòu)模型的位錯(cuò)密度分布：
基于唯象本構(gòu)模型的累計(jì)剪切應(yīng)變分布情況：
同時(shí)比較了只使用同一種模型的情況，應(yīng)力分布與該情況類似。類似的方法可以應(yīng)用于宏觀彈塑性→唯象晶體塑性→位錯(cuò)密度晶體塑性三種模型的混合使用
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