振型求解
關注創建者：匿名 創建時間：2021-07-29
振型求解的實例教程
一、寫在文前
【前言】子空間迭代法可同時求解幾個極端特征值和相應的特征向量，但它有收斂較慢，運算量較大，積累誤差的缺點；隨后，人們對其作了進一步的研究，出現了預處理子空間迭代法，這種方法的運算量較之子空間迭代法有所減小，但還是比較大，另外，當要求的特征值與不要求的特征值之間的間隔較大時，預處理子空間迭代法收斂也比較慢。因此需要有一種更高效的方法來求解，今天給大家帶來的是蘭索斯法(Lanczos法)振型求解思路方法。
關于子空間迭代法可以觀看下列文章：
【JY】振型求解之子空間迭代
【JY|STR】求解器之三維結構振型分析
目前科學計算、理論研究、科學實驗并列為當今世界科學活動的三種主要方式。許多科學和工程領域如果沒有科學計算不可能有一流的研究成果。而在工程領域，矩陣計算具有舉足輕重的地位。
矩陣計算的基本問題有三個：
其一，求解線性方程組問題；
其二，線性最小二乘問題；
其三，矩陣特征值問題。
在土木工程上，矩陣的特征值具有廣泛的應用
，如建筑結構中的固有頻率分析問題以及鋼結構的穩定性，建筑結構的振動問題，大型橋梁的顫振問題等等，都與矩陣的特征值密切相關。一個復雜結構的動力分析和穩定性分析可轉化為大型稀疏矩陣的特征值/特征向量問題。
求解結構振型和頻率實質上是對以下式子的特征值和特征周期進行求解。但是，根據伽羅瓦理論，對于次數大于四的多項式求根不存在一種通用的方法。換句話說，對于大型矩陣并無法直接求解得到通法解析解，從而得到特征值和特征向量。
展開 有你關注
所以值得
注：這篇推文編制的理論基礎是 【JY】振型求解之子空間迭代，在閱讀本文時，可先閱讀上述推文。
本期推送自編的一款小型計算分析軟件，對于計算振型的方法，將采用子空間迭代法進行計算。為了驗證理論的可行性，以下進行對比測試。
對前s階振型選s個假設的規格化向量，即
經過了這一次的調整，相當于在振型原空間中，在變換一個“小振型子空間”，巧妙的利用了振型求解縮減自由度的能力。
從結構動力學中可知道，圓頻率的平方計算公式如下：
根據上述公式和瑞利商的性質（等比例縮放并不會影響瑞利商的值，即圓頻率不影響）可得，原系統的圓頻率等效為下式：
其中，廣義剛度、廣義質量是s個自由度的矩陣：
再根據瑞利商的性質，求解系統的圓頻率：
這樣，問題歸結為求上述方程這個新的s×s階矩陣的特征值問題，而不是原來n×n階矩陣的特征值問題。由于s<<n，因此求上述方程比較容易。由此可見，瑞利-里茲法起到了縮減自由度的作用。解得s個特征值就是原體系前s個自振頻率平方的近似值。
展開 求解三自由度系統固有頻率；
求解三自由度系統固有頻率對應的振型；
理解歸一化是如何實現的。
求解三自由度無阻尼系統的固有頻率；
求解三自由度無阻尼系統的固有頻率分別對應的振型；
理解什么是歸一化。
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對于接觸應力的獲取，推薦應用非線性有限元進行分析；
03
柔性體是基于模態的方法建立的，意味著接觸力的求解是基于模態振型求解的，故在進行有限元mnf輸出時，需要確保柔性體的模態數量能夠滿足分析的工況；
04
可以應用模態應力恢復得到柔性體的應力，但需要擁有Adams/Durability的license；
05
柔性體的接觸計算需要應用C++求解器，同時只支持IMPACT方法
基于matlab的求解懸臂梁前3階固有頻率和振型,采用的方法分別是（假設模態法，解析法，瑞利里茲法）。程序已調通，可直接運行。
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本文為線性動態問題，故采用振型疊加法求解。
在上一章模型基礎上，在圓盤頂部施加一個持續0.2s的大小為1.5N的點載荷，方向垂直于盤面。分析圓盤在振動過程中出現的最大應力，以及圓盤頂部的位移隨時間的變化情況。
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