簡介

    子空間迭代法是把迭代法和瑞利-里茲法相結合并交替使用的一種方法，既利用瑞利-里茲法來縮減自由度，又在計算中利用迭代法使振型逐步趨近其精度。子空間迭代法中首先選定n個（n<N，N為體系的總自由度數）試向量，對這n個向量同時進行迭代，通常結構的自由度成千上萬，而所需求解振型不過數十個，子空間迭代方法不需要全局求解，而是點到即止。子空間迭代方法以迭代法求得的向量作瑞利-里茲法向量，在用瑞利-里茲法求n個近似特征對，這歸結為解退化了的子空間里的特征對問題。這種方法能同時求出模較大的一些特征值和相應的特征向量，也能在迭代過程中應用Rayleigh-Ritz原理進行加速。因此，同時迭代法比乘冪法更便于進行自動計算，而且加快了收斂速度，它是求解大型、稀疏矩陣特征值問題的最有效的方法之一。

1. 利用了瑞利-里茲法縮減了自由度。

2. 利用了迭代快速逼近精確解。（通常迭代2-3次，可以得到滿意的解）

    在n維空間的n個特征向量中，選取前面s（s<n）個特征向量，這s個特征向量定義的空間稱為原n維空間的一個子空間。對前s階振型選s個假設的規格化向量，即

    經過了這一次的調整，相當于在振型原空間中，在變換一個“小振型子空間”，巧妙的利用了振型求解縮減自由度的能力。

從結構動力學中可知道，圓頻率的平方計算公式如下：

    根據上述公式和瑞利商的性質（等比例縮放并不會影響瑞利商的值，即圓頻率不影響）可得，原系統的圓頻率等效為下式：

   其中，廣義剛度、廣義質量是s個自由度的矩陣：

   再根據瑞利商的性質，求解系統的圓頻率：

    這樣，問題歸結為求上述方程這個新的s×s階矩陣的特征值問題，而不是原來n×n階矩陣的特征值問題。由于s<<n，因此求上述方程比較容易。由此可見，瑞利-里茲法起到了縮減自由度的作用。解得s個特征值就是原體系前s個自振頻率平方的近似值。將求出的每一個自振頻率，代回可求得對應的特征向量，從而得到體系的前s個近似振型：

Step1：生成一個迭代式，得到一個n(自由度)行s(需知振型數)列的矩陣。

（注：首步初始形狀矩陣可任意生成一個非零矩陣~）

Step2：將生成的振型矩陣的各個位移模都進行標準化(即將各向量中位移的最大模化為1，做一個比例變換。)

Step3：求出廣義剛度矩陣和廣義質量矩陣。(此時已經進行了縮減自由度)

Step4：求出縮減自由度后結構方程的振型和圓頻率，此時的求得的圓頻率是首次迭代的系統圓頻率估計值。

Step5：將Step4中所求的“子空間振型”和Step1中得到的形狀矩陣進行相乘，即可以得到本次迭代中，系統振型的估計值。

Step6：將上述得到的系統振型估計值再帶入到第一步的初始形狀矩陣中再次進行迭代，通常迭代2-3次可以得到非常滿意的解。

   本案例采用的是【JY】主成分分析與振型分解 中的計算案例，計算串模型為8層樓，每層質量m=10 t，每層樓剛度k=10^8N/m，依次計算前6階振型和周期。

特征值法計算：

子空間迭代法：

SAP2000瑞利法計算：

Etabs特征值法計算：

    上述對比結果幾乎一致，說明計算方法得到較好的論證，子空間迭代法用在串模型計算振型周期上顯得大材小用，但在三維結構模型計算時便可大展身手，詳情可以看下在軟件討論系列中的【JY|STR】求解器之三維結構振型分析 。

概念為先，機理為本，期待下篇！

建源之光——工程俠