【前言】子空間迭代法可同時求解幾個極端特征值和相應的特征向量，但它有收斂較慢，運算量較大，積累誤差的缺點；隨后，人們對其作了進一步的研究，出現了預處理子空間迭代法，這種方法的運算量較之子空間迭代法有所減小，但還是比較大，另外，當要求的特征值與不要求的特征值之間的間隔較大時，預處理子空間迭代法收斂也比較慢。因此需要有一種更高效的方法來求解，今天給大家帶來的是蘭索斯法(Lanczos法)振型求解思路方法。
關于子空間迭代法可以觀看下列文章：
【JY】振型求解之子空間迭代
【JY|STR】求解器之三維結構振型分析
目前科學計算、理論研究、科學實驗并列為當今世界科學活動的三種主要方式。許多科學和工程領域如果沒有科學計算不可能有一流的研究成果。而在工程領域，矩陣計算具有舉足輕重的地位。
在土木工程上，矩陣的特征值具有廣泛的應用
，如建筑結構中的固有頻率分析問題以及鋼結構的穩定性，建筑結構的振動問題，大型橋梁的顫振問題等等，都與矩陣的特征值密切相關。一個復雜結構的動力分析和穩定性分析可轉化為大型稀疏矩陣的特征值/特征向量問題。
求解結構振型和頻率實質上是對以下式子的特征值和特征周期進行求解。但是，根據伽羅瓦理論，對于次數大于四的多項式求根不存在一種通用的方法。換句話說，對于大型矩陣并無法直接求解得到通法解析解，從而得到特征值和特征向量。于是，人們通過尋求其他的求解途徑，提出了許多很好的思想方法和具體算法，促進了該學科的不斷發展。
本期介紹一種針對稀疏矩陣高效的特征值、特征向量計算方法——Lanczos迭代法。Lanczos方法存儲量個大，計算速度較快，而且適用于求解矩陣的極端特征值。由于在實際問題中，矩陣的階數雖然很大，但往往只是需要求其依模最大或最小的特征值，因此Lanczos方法得以廣泛的應用，特別是適合求大型稀疏對稱矩陣的部分特征值。
對于Lanczos方法的本質
：將實對稱矩陣轉換成為三對角矩陣（稀疏矩陣），從而便于計算機儲存和后續的計算。（這樣就把一個求實對稱矩陣的特征值問題轉化為求一個三對角矩陣的特征值問題。）
有興趣的小伙伴也可以了解下另外兩種方法將一個實對稱矩陣轉化為三對角矩陣的方法Givens法及Householdes。
假
定該結構特征矩陣是大型
、稀疏的實對稱矩陣，求其幾個最大或最小的特征值的問題，可以用Lanczos算法解決，它的原理是先產生一個三對角陣T，于是問題轉化為求一個三對角矩陣的特征值，變得相對簡便。
因此，我們的目的是將矩陣A轉化為T，并且只要求得T的特征值和特征向量，則可以通過一定關系得到原結構特征矩陣的特征值和特征向量，也即可以得到結構振型和頻率。
首先對于一般結構來說，均需要進行初始向量的預設進行迭代，但是大部分振型都難以提前預估，我們可以聽下威爾金森(Wilkinson)的建議預先不必猜測，而統一初始的向量為：
然后進行預設需求的振型數量為 i≤n (結構特征矩陣維度)進行求解，以下流程圖對于自己編寫Lanczos方法中的T矩陣集成有較好的理解幫助。
通過上述的迭代方法，并將求得的α和β帶入矩陣T中，即可將結構特征矩陣是大型、稀疏的實對稱矩陣化為
一個三對角陣T。
那么結構的頻率和振型與該三對角矩陣T的關系是什么呢？
接下來討論下T矩陣和結構的頻率和振型的關系，繼上面的公式推導得到三對角矩陣T，由Gram-Schmidt正交化條件得到：
將Gram-Schmidt正交化條件帶入上式中可得到：
考慮列向量間的正交性，并將得到的上述公式往會帶入可得到：
得到這個標注了三星的重要級公式！其中標記紅框部分是左乘部分。若將紅框這么一畫，就變成了：
再通過上述這樣一個化解，原結構和變換后的T的頻率和振型的關系一目了然。若令原結構的特征向量（振型）為：
也就是求解T矩陣的完全解為，則該完全解的特征向量與原結構的特征向量(振型)的關系式之間相差一個系數矩陣X，而特征值(頻率)是原結構的倒數。因此取Lanczos向量的個數i等于系統的階數n，則Lanczos變換法給出了原特征值問題的精確解。
一般情況下我們取 i ≤ n 。由于組裝結構特征矩陣時候，剛度求逆變換了一次，相當于進行了一次逆迭代，因此Lanczos變換法給出了系統低階特征值的很好的近似解。值得注意的是，為了保證求解精度，在迭代過程中可以用Gram-Schmidt對迭代向量進行重新正交化，并采用移軸法可提高其效率。
至此，該問題變為求一個i階三對角陣T的特征值和特征向量。
對于求該降階的特征值、特征向量，有許多方法如：比較高效的QR分解法等等，這里就不再多贅述，小伙伴們可以自行編程嘗試。
建立一個無樓板的簡易框架結構，體驗一把Abaqus的蘭索斯算法，并對比下自編的Lanczos。模型如下：
求解前4階模態
利用Abaqus 直接提取該結構的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣(非必要)，一個簡單的結構密密麻麻的數，感興趣的小伙伴可以試一試：
并將這三個矩陣放入自行編寫的動力計算器（由于該動力計算器尚未完善，所以暫不公開使用，小伙伴們按這個思路也可以自己編寫得到屬于自己的求解器。）
可以看得到結果非常接近，誤差來源可能來源于計算機計算的舍入誤差。而且計算速度非常高效，因此針對稀疏矩陣高效的特征值、特征向量的計算方法可以采用可存儲量個大，計算速度較快的Lanczos迭代法。
