振型求解的案例
【JY】土木工程振型求解之蘭索斯法(Lanczos法)
一、寫在文前
【前言】子空間迭代法可同時(shí)求解幾個(gè)極端特征值和相應(yīng)的特征向量，但它有收斂較慢，運(yùn)算量較大，積累誤差的缺點(diǎn)；隨后，人們對(duì)其作了進(jìn)一步的研究，出現(xiàn)了預(yù)處理子空間迭代法，這種方法的運(yùn)算量較之子空間迭代法有所減小，但還是比較大，另外，當(dāng)要求的特征值與不要求的特征值之間的間隔較大時(shí)，預(yù)處理子空間迭代法收斂也比較慢。因此需要有一種更高效的方法來求解，今天給大家?guī)淼氖翘m索斯法(Lanczos法)振型求解思路方法。
關(guān)于子空間迭代法可以觀看下列文章：
【JY】振型求解之子空間迭代
【JY|STR】求解器之三維結(jié)構(gòu)振型分析
目前科學(xué)計(jì)算、理論研究、科學(xué)實(shí)驗(yàn)并列為當(dāng)今世界科學(xué)活動(dòng)的三種主要方式。許多科學(xué)和工程領(lǐng)域如果沒有科學(xué)計(jì)算不可能有一流的研究成果。而在工程領(lǐng)域，矩陣計(jì)算具有舉足輕重的地位。
矩陣計(jì)算的基本問題有三個(gè)：
其一，求解線性方程組問題；
其二，線性最小二乘問題；
其三，矩陣特征值問題。
在土木工程上，矩陣的特征值具有廣泛的應(yīng)用
，如建筑結(jié)構(gòu)中的固有頻率分析問題以及鋼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，建筑結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題，大型橋梁的顫振問題等等，都與矩陣的特征值密切相關(guān)。一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析和穩(wěn)定性分析可轉(zhuǎn)化為大型稀疏矩陣的特征值/特征向量問題。
求解結(jié)構(gòu)振型和頻率實(shí)質(zhì)上是對(duì)以下式子的特征值和特征周期進(jìn)行求解。但是，根據(jù)伽羅瓦理論，對(duì)于次數(shù)大于四的多項(xiàng)式求根不存在一種通用的方法。換句話說，對(duì)于大型矩陣并無法直接求解得到通法解析解，從而得到特征值和特征向量。
展開 【JY|STR】求解器之三維結(jié)構(gòu)振型分析
有你關(guān)注
所以值得
注：這篇推文編制的理論基礎(chǔ)是 【JY】振型求解之子空間迭代，在閱讀本文時(shí)，可先閱讀上述推文。
本期推送自編的一款小型計(jì)算分析軟件，對(duì)于計(jì)算振型的方法，將采用子空間迭代法進(jìn)行計(jì)算。為了驗(yàn)證理論的可行性，以下進(jìn)行對(duì)比測試。
【JY】振型求解之子空間迭代
對(duì)前s階振型選s個(gè)假設(shè)的規(guī)格化向量，即
經(jīng)過了這一次的調(diào)整，相當(dāng)于在振型原空間中，在變換一個(gè)“小振型子空間”，巧妙的利用了振型求解縮減自由度的能力。
從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中可知道，圓頻率的平方計(jì)算公式如下：
根據(jù)上述公式和瑞利商的性質(zhì)（等比例縮放并不會(huì)影響瑞利商的值，即圓頻率不影響）可得，原系統(tǒng)的圓頻率等效為下式：
其中，廣義剛度、廣義質(zhì)量是s個(gè)自由度的矩陣：
再根據(jù)瑞利商的性質(zhì)，求解系統(tǒng)的圓頻率：
這樣，問題歸結(jié)為求上述方程這個(gè)新的s×s階矩陣的特征值問題，而不是原來n×n階矩陣的特征值問題。由于s<<n，因此求上述方程比較容易。由此可見，瑞利-里茲法起到了縮減自由度的作用。解得s個(gè)特征值就是原體系前s個(gè)自振頻率平方的近似值。
展開 三自由度系統(tǒng)固有頻率及振型的求解
求解三自由度系統(tǒng)固有頻率；
求解三自由度系統(tǒng)固有頻率對(duì)應(yīng)的振型；
理解歸一化是如何實(shí)現(xiàn)的。
三自由度無阻尼系統(tǒng)的固有頻率和振型的求解
求解三自由度無阻尼系統(tǒng)的固有頻率；
求解三自由度無阻尼系統(tǒng)的固有頻率分別對(duì)應(yīng)的振型；
理解什么是歸一化。
145基于matlab的求解懸臂梁前3階固有頻率和振型 ￥19.89
基于matlab的求解懸臂梁前3階固有頻率和振型,采用的方法分別是（假設(shè)模態(tài)法，解析法，瑞利里茲法）。程序已調(diào)通，可直接運(yùn)行。
【JY】動(dòng)力學(xué)利器 —— JYdyn函數(shù)包分享與體驗(yàn)
【JY】橡膠支座的簡述和其力學(xué)性能計(jì)算
【JY】振型求解之子空間迭代
【JY】橡膠支座精細(xì)化模擬與有限元分析注意要點(diǎn)
【JY】推開土木工程振型求解之蘭索斯法(Lanczos法)的大門
【JY】基于OpenSees和Sap2000靜力動(dòng)力計(jì)算案例分析
【JY】建筑結(jié)構(gòu)施加地震波的方法與理論機(jī)理
#軟件討論
【JY】復(fù)合材料分析利器—內(nèi)聚力單元
【JY】SDOF計(jì)算教學(xué)軟件開發(fā)應(yīng)用分享
【JY】Abaqus案例—天然橡膠隔震支座豎(軸)向力學(xué)性能
【JY】Abaqus6.14-4如何關(guān)聯(lián)fortran？
【JY】基于OpenSees和SAP2000靜力動(dòng)力計(jì)算案例分析
往期精彩
#性能分析
【JY】基于性能的抗震設(shè)計(jì)淺析（一）
【JY】基于性能的抗震設(shè)計(jì)淺析（二）
【JY】淺析消能附加阻尼比
【JY】近斷層結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)策略分析與討論
【JY】淺析各動(dòng)力求解算法及其算法數(shù)值阻尼(人工阻尼)
理念
【JY|體系】結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)之(結(jié)構(gòu)體系概念)
【JY|理念】結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)之(設(shè)計(jì)理念進(jìn)展)
【JY】有限單元分析的常見問題及單元選擇
【JY】結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)之顯隱式
【JY】淺談結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)
【JY】淺談混凝土損傷模型及Abaqus中CDP的應(yīng)用
#概念機(jī)理
【JY】推開土木工程振型求解之蘭索斯法(Lanczos法)的大門
【JY】基于Ramberg-Osgood本構(gòu)模型的雙線性計(jì)算分析
【JY】結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)初步-單質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析
【JY】從一根懸臂梁說起
【JY】反應(yīng)譜的詳解與介紹
【JY】結(jié)構(gòu)瑞利阻尼與經(jīng)濟(jì)訂貨模型
【JY】主成分分析與振型分解
【JY】淺談結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)之概念機(jī)理（上）
【JY】淺談結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)之分析方法（下）
【JY】板殼單元的分析詳解
【JY】橡膠支座的簡述和其力學(xué)性能計(jì)算
【JY】振型求解之子空間迭代
【JY】橡膠支座精細(xì)化模擬與有限元分析注意要點(diǎn)
#軟件討論
【JY】復(fù)合材料分析利器—內(nèi)聚力單元
【JY】SDOF計(jì)算教學(xué)軟件開發(fā)應(yīng)用分享
【JY】Abaqus案例—天然橡膠隔震支座豎(軸)向力學(xué)性能
【JY】Abaqus6.14
展開 【JY】代碼|極簡反應(yīng)譜分析
往期精彩
點(diǎn)擊直達(dá)
#性能分析
【JY】基于性能的抗震設(shè)計(jì)淺析（一）
【JY】基于性能的抗震設(shè)計(jì)淺析（二）
【JY】淺析消能附加阻尼比
【JY】近斷層結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)策略分析與討論
【JY】淺析各動(dòng)力求解算法及其算法數(shù)值阻尼(人工阻尼)
理念
【JY|體系】結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)之(結(jié)構(gòu)體系概念)
【JY|理念】結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)之(設(shè)計(jì)理念進(jìn)展)
【JY】有限單元分析的常見問題及單元選擇
【JY】結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)之顯隱式
【JY】淺談結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)
【JY】淺談混凝土損傷模型及Abaqus中CDP的應(yīng)用
【JY】淺談混凝土結(jié)構(gòu)/構(gòu)件性能試驗(yàn)指標(biāo)概念（一）
【JY】淺談混凝土結(jié)構(gòu)/構(gòu)件性能試驗(yàn)指標(biāo)概念（二）
#概念機(jī)理
【JY】基于Ramberg-Osgood本構(gòu)模型的雙線性計(jì)算分析
【JY】結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)初步-單質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析
【JY】從一根懸臂梁說起
【JY】反應(yīng)譜的詳解與介紹
【JY】結(jié)構(gòu)瑞利阻尼與經(jīng)濟(jì)訂貨模型
【JY】主成分分析與振型分解
【JY】淺談結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)之概念機(jī)理（上）
【JY】淺談結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)之分析方法（下）
【JY】板殼單元的分析詳解
【JY】橡膠支座的簡述和其力學(xué)性能計(jì)算
【JY】振型求解之子空間迭代
【JY】橡膠支座精細(xì)化模擬與有限元分析注意要點(diǎn)
【JY】推開土木工程振型求解之蘭索斯法(Lanczos法)的大門
【JY】基于OpenSees和Sap2000靜力動(dòng)力計(jì)算案例分析
【JY】建筑結(jié)構(gòu)施加地震波的方法與理論機(jī)理
【JY】力薦佳作《結(jié)構(gòu)地震分析編程與應(yīng)用》
#軟件討論
【JY】復(fù)合材料分析利器—內(nèi)聚力單元
【JY】SDOF計(jì)算教學(xué)軟件開發(fā)應(yīng)用分享
【JY】Abaqus案例—天然橡膠隔震支座豎(軸)向力學(xué)性能
【JY】Abaqus6.14
展開 【JY】模態(tài)分析關(guān)鍵點(diǎn)筆記
【JY】減隔震設(shè)計(jì)思考Ⅱ
# 概念機(jī)理
【JY】基于Ramberg-Osgood本構(gòu)模型的雙線性計(jì)算分析
【JY】結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)初步-單質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析
【JY】從一根懸臂梁說起
【JY】反應(yīng)譜的詳解與介紹
【JY】結(jié)構(gòu)瑞利阻尼與經(jīng)濟(jì)訂貨模型
【JY】主成分分析與振型分解
【JY】淺談結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)之概念機(jī)理（上）
【JY】淺談結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)之分析方法（下）
【JY】板殼單元的分析詳解
【JY】橡膠支座的簡述和其力學(xué)性能計(jì)算
【JY】振型求解之子空間迭代
【JY】橡膠支座精細(xì)化模擬與有限元分析注意要點(diǎn)
【JY】推開土木工程振型求解之蘭索斯法(Lanczos法)的大門
【JY】基于OpenSees和Sap2000靜力動(dòng)力計(jì)算案例分析
【JY】建筑結(jié)構(gòu)施加地震波的方法與理論機(jī)理
【JY】力薦佳作《結(jié)構(gòu)地震分析編程與應(yīng)用》
【JY】ABAQUS子程序UEL的有限元原理與應(yīng)用
【JY】鋼筋混凝土正截面極限承載力設(shè)計(jì)的基本原理和快速計(jì)算方法
【JY】消能減震黏滯阻尼器的力學(xué)原理與應(yīng)用
【JY】力薦 | 區(qū)域建筑地震安全性有限元分析示例
【JY】ABAQUS正交各向異性彈性本構(gòu)模型
【JY】求？
展開 【JY】《公路橋梁抗震性能評(píng)價(jià)細(xì)則》宣貫PPT
【JY】淺談結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)軟件
【JY|STR】求解器之三維結(jié)構(gòu)振型分析
【JY】SignalData軟件開發(fā)應(yīng)用分享
【JY】基于Matlab的雙線性滯回代碼編寫教程
【JY】動(dòng)力學(xué)利器 —— JYdyn函數(shù)包分享與體驗(yàn)
【JY】混凝土分析工具箱：CDP模型插件與滯回曲線數(shù)據(jù)
【JY】結(jié)構(gòu)工程分析軟件討論（上）
【JY】淺析基于性能的抗震分析方法——性能設(shè)計(jì)
【JY】淺談結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)之概念機(jī)理（上）
【JY】淺談結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)之分析方法（下）
【JY】板殼單元的分析詳解
【JY】橡膠支座的簡述和其力學(xué)性能計(jì)算
【JY】振型求解之子空間迭代
【JY】橡膠支座精細(xì)化模擬與有限元分析注意要點(diǎn)
【JY】推開土木工程振型求解之蘭索斯法(Lanczos法)的大門
【JY】基于OpenSees和Sap2000靜力動(dòng)力計(jì)算案例分析
【JY】建筑結(jié)構(gòu)施加地震波的方法與理論機(jī)理
【JY】力薦佳作《結(jié)構(gòu)地震分析編程與應(yīng)用》
【JY】ABAQUS子程序UEL的有限元原理與應(yīng)用
【JY】鋼筋混凝土正截面極限承載力設(shè)計(jì)的基本原理和快速計(jì)算方法
【JY】消能減震黏滯阻尼器的力學(xué)原理與應(yīng)用
【JY】力薦 | 區(qū)域建筑地震安全性有限元分析示例
# 軟件討論
【JY】減隔震元件計(jì)算表格分享
【JY】復(fù)合材料分析利器—內(nèi)聚力單元
【JY】SDOF計(jì)算教學(xué)軟件開發(fā)應(yīng)用分享
【JY】Abaqus案例—天然橡膠隔震支座豎(軸)向力學(xué)性能
【JY】Abaqus6.14-4如何關(guān)聯(lián)fortran？
展開 【JY】YJK前處理參數(shù)詳解及常見問題分析：二階效應(yīng)和分析求解（四）
【JY】淺談結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)軟件
【JY|STR】求解器之三維結(jié)構(gòu)振型分析
【JY】SignalData軟件開發(fā)應(yīng)用分享
【JY】基于Matlab的雙線性滯回代碼編寫教程
【JY】動(dòng)力學(xué)利器 —— JYdyn函數(shù)包分享與體驗(yàn)
【JY】混凝土分析工具箱：CDP模型插件與滯回曲線數(shù)據(jù)
【JY】結(jié)構(gòu)工程分析軟件討論（上）
#其他
【JY】位移角還是有害位移角？
【JY】如何利用python來編寫GUI？
【JY】今日科普之BIM
【JY】各類有限元軟件計(jì)算功能賞析與探討
-單質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析
【JY】從一根懸臂梁說起
【JY】反應(yīng)譜的詳解與介紹
【JY】結(jié)構(gòu)瑞利阻尼與經(jīng)濟(jì)訂貨模型
【JY】主成分分析與振型分解
【JY】淺談結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)之概念機(jī)理（上）
【JY】淺談結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)之分析方法（下）
【JY】板殼單元的分析詳解
【JY】橡膠支座的簡述和其力學(xué)性能計(jì)算
【JY】振型求解之子空間迭代
【JY】橡膠支座精細(xì)化模擬與有限元分析注意要點(diǎn)
【JY】推開土木工程振型求解之蘭索斯法(Lanczos法)的大門
【JY】基于OpenSees和Sap2000靜力動(dòng)力計(jì)算案例分析
【JY】建筑結(jié)構(gòu)施加地震波的方法與理論機(jī)理
【JY】力薦佳作《結(jié)構(gòu)地震分析編程與應(yīng)用》
#軟件討論
【JY】復(fù)合材料分析利器—內(nèi)聚力單元
【JY】SDOF計(jì)算教學(xué)軟件開發(fā)應(yīng)用分享
【JY】Abaqus案例—天然橡膠隔震支座豎(軸)向力學(xué)性能
【JY】Abaqus6.14-4如何關(guān)聯(lián)fortran？
展開 【JY】YJK前處理參數(shù)詳解及常見問題分析：剛度系數(shù)（三）
【JY】淺談結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)軟件
【JY|STR】求解器之三維結(jié)構(gòu)振型分析
【JY】SignalData軟件開發(fā)應(yīng)用分享
【JY】基于Matlab的雙線性滯回代碼編寫教程
【JY】動(dòng)力學(xué)利器 —— JYdyn函數(shù)包分享與體驗(yàn)
【JY】混凝土分析工具箱：CDP模型插件與滯回曲線數(shù)據(jù)
【JY】結(jié)構(gòu)工程分析軟件討論（上）
#其他
【JY】位移角還是有害位移角？
【JY】如何利用python來編寫GUI？
【JY】今日科普之BIM
