偏微分方程的案例
偏微分方程的起源 附偏微分方程陳祖墀下載
和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·伯努利也研究了數學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學科的內容。
偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅里葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。
弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
展開 基礎課 | 說說偏微分方程
偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅里葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。
弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現象的共同規律的表示式，僅僅知道這種共同規律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性，所以就物理現象來說，各個具體問題的特殊性就在于研究對象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。
展開 【理論】偏微分方程簡介
在之前的文章中有提到，客觀物理世界中的各種現象，都可以使用偏微分方程來描述。
使用比較普遍的是二階偏微分方程。高階偏微分方程能通過引入中間變量的方式來退化為二階偏微分(組)形式。而大部分可以演化為以下最基本的形式：
其中
ea是質量系數(簡單理解可以認為是質量)，da是阻尼系數(簡單理解可以認為是阻尼)，β是對流系數(代表外場對因變量影響)，a是吸收系數，f是源項(可以簡單理解為激勵)。
上述表達式代表著局部微元中的守恒關系式。
有了最基本的二階偏微分方程形式，清楚各項的物理意義。通過設定不同的系數，可以得到不同的常用物理場方程。
比如，因變量u代表溫度T，c=k代表熱傳導系數，f=0表示無熱源，其他各項為0表示無對流等外場作用。這樣就得到了最基本的熱傳導方程——經典的拋物線偏微分方程。
(估計這種理論的文章仔細看的人又會很少。當成是個人筆記吧。）
展開 偏微分方程的MATLAB解法
MATLAB是國際公認的最優秀的科技應用軟件之一,具有極高的編程效率和強大的作圖功能.本書詳細介紹了MATLAB6的偏微分方程工具箱,包括圖形用戶界面和函數命令的使用方法,通過典型議程和大量應用實例,讓讀者很快掌握解題方法。
本書既可作為大專院校師生的教材或教學參考書,也可作為科研及工程技術人員高效、實用的工具參考書。
【《偏微分方程的MATLAB解法 》圖書目錄】 前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
7 PDE的M文件格式
8 用命令行解PDE的若乾程序
第四章 PDE Toolbox中的命令簡介
1 PDE Toolbox中的函數及其分類
2 PDE數值計算函數簡介
3 用戶界面算法涵數簡介
4 幾何算法函數簡介
5 幾何繪圖函數簡介
6 通用算法
7 其他函數簡介
第五章 有限元法和有限差分法
第六章 常微分方程及方程組的解法
第七章 MATLAB的基礎知識
附錄一 MATLAB的函數命令
附錄二 根據有限元法用 MATLAB語言解PDE的程序
參考文獻
展開 
官方資料（英文）偏微分方程工具箱
偏微分方程工具箱
偏微分方程工具箱.part1.rar
偏微分方程工具箱.part2.rar
偏微分方程的定解條件
01
—
定解條件
偏微分方程描述的是某一類問題的共同規律，所以從數學角度會有無窮多個解。具體到某個物理問題就需要收斂到符合真實物理條件的特定解或唯一解。
具體確定解的物理條件就是定解條件：包括初始條件和邊界條件。
以弦振動為例。用手撥動弦和弓拉動弦，發出的聲音肯定是不一樣的。原因在于初始條件不一樣，所以產生的振動也不一樣。而振動方程只對弦起作用，而不能描述弦端點的狀態。弦端點狀態就是邊界條件。
02
—
初始條件
偏微分方程描述的是無限時間的問題。而實際物理模型是存在開始和結束時間節點的。
初始條件描述了物理場的初始狀態，定義了偏微分方程中某些時刻的值。
一般而言，在穩態問題中，初始值定義不太重要。但非線性問題求解時，定義一個合適的初始值有利于收斂，降低計算難度。而在瞬態問題中，必須要定義準確的初始值。
以熱傳導問題為例。對穩定狀態溫度場分析，定義大致的初始溫度即可完成計算，且初始溫度對最終計算結果無影響。但如果是瞬態隨時間變化的溫度場，就必須定義準確的初始溫度，甚至初始溫度變化率。
03
—
邊界條件
偏微分方程描述的是無限空間的問題，而實際物理模型是存在有限的求解區域的。
邊界條件是求解區域邊界上變量或變量導數的變化規律，也稱之為約束條件。
狄利克雷邊界條件
邊界的物理量是明確的。比如某個溫度場，邊界溫度等于273K。
紐曼邊界條件
邊界的物理量的導數是明確的。比如某個溫度場，邊界換熱系數已知，或邊界以固定大小從熱源吸收熱量。
混合邊界條件
相當于上面兩種邊界條件的疊加。
展開 《偏微分方程的MATLAB解法》
ISBN：7307032562
系列：MATLAB工具系統叢書
尺寸：小16開
印張：13
印次：2
紙張：膠版紙
頁數：197
字數：239000
印刷時間：2004/07/01
版次：1
內容提要：
MATLAB是國際公認的最優秀的科技應用軟件之一,具有極高的編程效率和強大的作圖功能.本書詳細介紹了MATLAB6的偏微分方程工具箱,包括圖形用戶界面和函數命令的使用方法,通過典型議程和大量應用實例,讓讀者很快掌握解題方法。
本書既可作為大專院校師生的教材或教學參考書,也可作為科研及工程技術人員高效、實用的工具參考書。
目錄：
前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
7 PDE的M文件格式
8 用命令行解PDE的若干程序
第四章 PDE Toolbox中的命令簡介
1 PDE Toolbox中的函數及其分類
2 PDE數值計算函數簡介
3 用戶界面算法涵數簡介
4 幾何算法函數簡介
5 幾何繪圖函數簡介
6 通用算法
7 其他函數簡介
第五章 有限元法和有限差分法
第六章 常微分方程及方程組的解法
第七章 MATLAB的基礎知識
附錄一 MATLAB的函數命令
附錄二 根據有限元法用 MATLAB語言解PDE的程序
參考文獻
展開 CFD學習：使用有限差分法求解泊松方程
要點
有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。
有限差分法將偏微分方程轉換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。
使用有限差分法獲得泊松方程的解，將具有無限自由度的連續場問題替換為有限正則模態的離散場。
最實用、最常用的偏微分方程是泊松方程
在工程領域，工程師必須應對各種物理情況。大多數情況都可以使用數學方程來描述。泊松方程就是這樣的方程之一，它控制擴散、引力和靜電等物理情況。泊松方程可以使用各種數值方法求解。使用有限差分法(FDM)獲得泊松方程的解很受工程師歡迎。在本文中，我們將進一步探討泊松方程和有限差分法。
工程中的泊松方程
在工程中，物理現象的數學建模很常見。大多數物理現象（當進行數學建模時）都會形成偏微分方程 (PDE)。最實用且最常用的偏微分方程是泊松方程。
泊松方程是一個橢圓偏微分方程，它控制著電磁、靜電、引力和擴散問題等的數學建模。有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。問題可以是與時間無關的、與時間相關的、線性的或非線性的。
有限差分法適用于求解狄利克雷、諾伊曼等不同邊界條件的問題，適用于不同邊界形狀或由不同材料組成的區域的問題域。
讓我們看幾個物理情況的例子，其中數學模型導出泊松方程。
用泊松方程表示的物理現象的例子
擴散方程 -在擴散問題中，通量以化學溶質的量和擴散率 (k) 表示。穩態擴散可以用泊松方程的形式描述如下，其中S(x)是溶質源：
熱擴散方程 -熱擴散方程用可能的熱源和熱擴散系數來表示。
展開 用上傅里葉變換，很快啊，AI幾秒鐘就能解出偏微分方程(轉載)
不過，你知道這些準確的氣溫預測，是通過解方程算出來的嗎？
不僅如此，靠解方程還能模擬飛機空氣動力、疾病傳播模型！
是什么方程這么厲害？我學過嗎？
它就是偏微分方程（PDE），在我們的世界中無處不在。
但在實際應用中，用計算機求解偏微分方程的難度很大，往往為了求出一個解而需要大型機器運行一個月。
并且，隨著科研中遇到問題的復雜度、運算量逐漸增加，也就更需要高效快速的求解方法。
最近，來自加州理工大學的一個研究團隊就用AI來解決這一難題，他們開發了一種新的神經網絡，比傳統的PDE求解快幾個數量級，并且在理論上適用于任何偏微分方程。
甚至連流體力學里的“老大難”：N-S方程也不在話下！
對于簡單方程的求解，這種方法只需幾秒就能解出答案，而傳統方法需要18個小時！
訓練神經網絡=求解PDE
神經網絡的本質是逼近一個函數，函數是從一個變量到另一個變量的映射。
比如圖像識別網絡，就是把輸入的圖像數據，與最后的分類結果之間建立映射關系。
訓練神經網絡其實就是盡可能逼近這個函數，這和數值求解PDE本質是一樣的。
2016年，人們開始研究圖像識別神經網絡如何用于求解PDE，用成對的生成數據來訓練神經網絡，比如計算平面上不同基本形狀（如三角形、四邊形）物體周圍的空氣流速場。
訓練數據集的輸入是物體幾何形狀和的初始條件信息，輸出是相應的二維幾何物體。訓練過程等于建立輸入和輸出之間的相關性。
訓練后的神經網絡，可以用于預測其他情況（比如汽車形狀）的流速場，它只和與傳統數值求解器的結果略有不同，但求解速度更快。
然而，對于專門研究PDE的人來說，這種方法還遠遠不夠。
因為上面的方法精度一般達不到要求，如果想要實現更高的精度，所需的數據量和網絡大小將爆炸式增長，失去了原本快速求解的意義。
從函數到算子
所以，人們想到了一種新方法，求助于“算子”。
展開 推薦 數學物理方程的MATLAB解法與可視化
目錄
第1章 函數的圖形
1.1 復變函數圖形
1.2 特殊函數圖形
第2章 傅里葉級數與傅里葉變換
2.1 傅里葉級數、傅里葉積分與離散傅里葉變換
2.2 傅里葉變換的例題
2.3 廣義傅里葉級數
第3章 本征值函數系與本征振動
3.1 一維本征值問題
3.2 二維本征值問題
第4章 拉普拉斯方程與泊松方程
4.1 二維拉普斯方程
4.2 三維拉普斯方程
4.3 泊松方程與格林函數
第5章 熱傳導方程
5.1 一維熱傳導問題
5.2 二維熱傳導問題
5.3 三維熱傳導問題
第6章 波動方程
6.1 一維波動問題
6.2 二維波動問題
6.3 三維振動問題
第7章 MATLAB的偏微分方程工具箱
7.1 偏微分方程工具箱的功能演示
7.2 偏微分方程工具箱的功能
7.3 工具箱的用戶界面窗口
7.4 用工具箱解偏微分方程的步驟
7.5 用圖形用戶界面窗口的工具欄解方程
7.6 圖形用戶界面窗口的菜單
7.7 工具箱的指令
7.8 例題
第8章 解微分方程的其他方程
8.1 指令bvp4c解本征值問題
8.2 用pdepe解一維初值邊值問題
8.3 差分法
8.4 有限元法
參考文獻
展開 數學物理方程的MATLAB解法與可視化
數學物理方程的MATLAB解法與可視化
作者：彭芳麟
圖書詳細信息：
ISBN：7302098840
定價：33元
印次：1-2
裝幀：平裝
印刷日期：2005-6-17
圖書簡介：
本書介紹如何用科學計算軟件MATLAB數值求解數學物理方程并將結果可視化。書中展示了在教材中難得一見的復變函數圖形、特殊函數圖形和各類本征函數圖形，還有拉普拉斯方程、熱傳導方程、熱傳導方程和波動方程的各種題型的數值求解與可視化的結果，內容新穎，方法獨特，讓枯燥的公式伴之以生動的圖像，讓深奧的內容有了鮮明的物理圖像，是學習數學物理方法極有價值的參考書。本書也詳細地介紹了MATLAB的偏微分方程工具箱與解偏微分方程和本征值方程的其他指令，還介紹了差分方法和有限元方法。對學習數值計算或計算物理課程而言，這也量本很實用的參考教材。本書的程序來之于教學實踐，有許多經驗心得體現在編程的技巧中，例如特殊函數的計算、矢量場線的畫法，這些技巧不僅實用，也很有特色。書中提供了全部例題的程序，可以將這些程序直接當作多媒體課件來使用。本書可供大學生、研究生和科技工作者使用。
前言
本書介紹如何用科學計算軟件MATLAB數值求解數學物理方程及將結果可視化,這是我們在進行數學物理方法課程的數字化
教學中做的一些工作。書中提供了全部程序,因而讀者不僅可以從中學到解題的方法,還可以將這些程序直接當作多媒體
課件來使用。
數學物理方程主要是偏微分方程，考慮到有的讀者可能不熟悉MATLAB在這方面的應用，本書用附錄的形式詳細地介紹了MATLAB偏微分
方程工具箱的使用方法，以及其他一些可用于解偏微分方程的指令和解常微分方程本征值問題的指令,
此外還介紹了差分方法、有限元方法解偏微分方程。從這一點來看，本書也是一本介紹用MATLAB解偏微分方程的很實用的參考書。
展開 
《數學物理方程的MATLAB解法與可視化》
圖書簡介
本書介紹如何用科學計算軟件MATLAB數值求解數學物理方程并將結果可社內線。書中展示了在教材中難得一見的復變函數圖形、特殊函數圖形和各類本征函數圖形，還有拉普拉斯方程、熱傳導方程、熱傳導方程和波動方程的各種題型的數值求解與可視化的結果，內容新穎，方法獨特，讓枯燥的公式伴之以生動的圖像，讓深奧的內容有了鮮明的物理圖像，是學習數學物理方法極有價值的參考書。本書也詳細地介紹了MATLAB的偏微分方程工具箱與解偏微分方程和本征值方程的其他指令，還介紹了差分方法和有限元方法。對學習數值計算或計算物理課程而言，這也是很實用的參考教材。本書的程序來之于教學實踐，有許多經驗心得體現在編程的技巧中，例如特殊函數的計算、矢量場線的畫法，這些技巧不僅實用，也很有特色。書中提供了全部例題的程序，可以將這些程序直接當作多媒體課件來使用。本書可供大學生、研究生和科技工作者使用。
展開 COMSOL基礎之——數理方程
COMSOL是基于有限元方法求解工程設計問題的計算軟件，根植于數學物理方法，直面數學物理方程，從最底層理論出發，揭示物理現象本質。COMSOL主要可以分成兩大塊：針對各種物理問題開發的功能模塊和數學模塊（也是PDE偏微分方程模塊）。
以結構力學為例，在COMSOL中提供固體力學模塊和其他模塊，如轉子動力學模塊等來求解結構力學的相關問題，這與其他通用性質的有限元仿真軟件比如Ansys、Abaqus等 類似。與其他軟甲不同的是，COMSOL允許用戶基于數學物理方程自行開發各種功能模塊，比如用戶可以不使用軟件自帶的固體力學模塊也能自己實現固體力學計算功能，也就是通過前面提到的數學模塊（PDE偏微分方程模塊）開發各種物理功能模塊。
COMSOL數學模塊PDE常用分為三種類型：系數形式，一般形式，弱形式。如果能很好的使用PDE模塊，能有效提升用戶對于有限元理論的理解，提升CAE工作能力。
展開 使用隱式有限差分法求解沒有時間步長限制的問題
隱式有限差分方程中會有不止一個未知數。
隱式有限差分法一般用于求解對時間步長沒有限制的問題。
采用數值方法求解偏微分方程
為了求解偏微分方程，通常采用數值方法?；趥巫V (PS)、有限元 (FM) 和有限差分 (FD) 等差分技術的數值方法用于解決熱傳導問題、流體流動問題和擴散問題。有限差分法可以是顯式的或隱式的，具體取決于為給定系統開發的方程式類型。在隱式有限差分法中，不需要隨意遞歸計算，因為函數依賴于自身。
讓我們進一步了解隱式有限差分法。
求解偏微分方程的解析方法
過程或系統的數值模型在工程和科學中使用偏微分方程表示。求解基于偏微分方程的數學模型以獲得問題解。求解問題的解析方法僅適用于系統具有簡單邊界的偏微分方程。然而，大多數實際問題都涉及復雜的邊界條件或不規則邊界。在建模為困難邊值問題的系統中，分析方法不起作用。對于此類復雜的數學模型，解決問題涉及使用數值方法。
有限差分法
差分技術包括偽譜 (PS)、有限元 (FM)和有限差分 (FD) 方法。在這些數值方法中，有限差分法非常重要，因為它需要最少的內存和計算時間。此外，與其他數值技術相比，它涉及簡單的實現，復雜性較低。
除了傳統的有限差分法外，還有多種變體可供使用。開發了各種有限差分變體，旨在提高有限差分法在數值建模中的準確性、效率和穩定性。
有限差分法變體
當使用解析方法求解偏微分方程時，解是表達問題域中因變量變化的封閉形式表達式。然而，基于有限差分法的解決方案給出了域中離散點處的變量值。離散點通常稱為網格點。
網格點
在傳統的有限差分法或格式中，網格點的數量是固定的。傳統的有限差分法需要大量的內存和計算時間。為了減少內存需求和計算時間，采用可變網格方案。此外，可以實現計算成本的降低。
展開 11，comsol求解諧振子方程 ￥1000
根據牛頓第二定律 F合=ma，可寫出下式
上圖也有一個偏微分方程dx^2/dt^2+k/m*x=0。還認識它嗎？不要被它嚇住了，翻翻高等數學上冊第七章第七節 常系數齊次線性微分方程，就有答案了。但是本文不想討論數學解方程，我想說的，有了comsol，直接輸入偏微分方程，讓comsol來解方程就輕松多了。
這里m我取1kg，k取1N/m，球的初始坐標x0=1m。求得球的x坐標與時間關系如下
可以看到，隨著時間變化，x在-1到1之間來回振蕩。
2，阻尼諧振子
在理想諧振子中假定地面是光滑無摩擦力的，在實際中地面不可能光滑，假定地面存在摩擦阻力f阻，且f阻與小球速度呈正比，正比的系數為gamma,則f阻=gamma*(dx/dt)。有以下方程
輸入偏微分方程到comsol中分別求解出如下圖像
3，阻尼諧振子+周期性外力
這里的周期性外力就是最初的入射光場給金顆粒電子的力，是這三個諧振子模型中最接近真實情況的模型。請注意，本模型不考慮電子移動產生的輻射電場對入射電場施加的周期性外力的影響。
當omega0^2>2*beta^2時，外加力的角頻率omega=sqrt(omega0^2-2*beta^2)時，振幅（小球能達到的最遠的位置）達到最大值
如下圖
可以看到穩定后振幅會大于初始位置x0(x0=1m)
當omega0^2<2*beta^2時，振幅隨外加力角頻率增大而減小，如下圖
4，近似擬合吸收光譜
改變3中外加力的角頻率omega（需要滿足omega0^2>2*beta^2），可以繪制出不同角頻率的力施加后，小球能到達的最遠的位置是多少。
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