關鍵詞：CFD，有限元，三角形單元，罰函數，粘性流動 最近工作室有流體有限元求解器的開發需求，我在前面講飛機結冰的文章提到過，差不多10年前瞎搗鼓過這個東西。 好多東西都記不清了，先從一些簡單的流動模型入手，做一些恢復性訓練。考慮到我是結構力學出身，在進行流體有限元開發的時候，我會代入結構有限元的視角進行分析。 流體也好，固體也好，CFD也好，FEM也好，有很多開源工具、源代碼可以用。

03/先進技術與未來發展方向 1.跨域融合與效率躍升：融合AI與物理驅動建模，利用神經網絡替代部分偏微分方程求解，突破基于曲線的表示中光柵化離散化瓶頸；探索網格與曲線表示的統一數學框架，實現復雜偏振效應的高效精準計算。

PINN求解burger方程，tensorflow框架，附代碼（三） TensorFlow 1.x和TensorFlow 2.x區別 TensorFlow 1.x版本只有靜態圖模式，需要手動構建計算圖，調試困難，但性能好。 TensorFlow 2.x 初期：默認Eager Execution，易于調試，但性能較差。TensorFlow 2.x + @tf.function：兩全其美

PINN求解一維波動方程，pytorch框架，附代碼（二） pytorch和tensorflow區別 以下tensorflow簡稱TF pytorch具有更加易用的API，目前的TF 2.x + Keras也提供類似的易用的API pytorch構建動態計算圖，方便調試，TF以靜態圖為主，有利于部署和加速，目前也支持動態圖，鼓勵用語法糖轉化為靜態圖獲得性能提升 部署方面

一、背景 在工業仿真領域，對各種現實世界的問題進行數值模擬時，如流體動力學分析、電磁場仿真、結構力學應力應變分析等，其控制方程通常是偏微分方程組，在經過不同方法的隱式離散之后最終都可轉化為大型稀疏線性方程組。隨著人們對計算精度要求的不斷提高，方程組的階數也從上千階、幾十萬階提高到百萬、千萬階甚至更高，所需的計算量以及存儲需求也隨之迅速膨脹。根據一般經驗，方程組求解時間會占總計算時間的

01 多重網格方法介紹 多重網格方法是一種高效求解偏微分方程離散系統的迭代方法，其核心思想是通過不同網格層次的協同作用加速收斂。它分為幾何多重網格（Geometric Multigrid Method, GMG）和代數多重網格（Algebraic Multigrid Method, AMG）兩類，分別基于幾何信息和純代數結構構建。

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Burger's方程如下： 邊界條件如下： 使用python，通過PINN方法，結合神經網絡，可以快速地求解該偏微分方程，以下是三個t時刻的結果，和方程解析解幾乎完全一致：

</li><li><strong>數值穩定性強：</strong>結構化網格的規則性有利于保持數值計算的穩定性，尤其是在求解偏微分方程時，能夠有效避免因網格扭曲導致的數值誤差。</li><li><strong>易于并行計算：</strong>笛卡爾網格的規則分布天然適合于并行計算環境，能夠輕松地將計算任務分配到多個處理器上，保持負載相對均衡，縮短仿真計算時間。

基于matlab的有限差分法求解泊松方程，采用SOR超松弛迭代法。模型采用方形區域，劃分網格數為100*100，網格數可以很方便的更改。程序已調通，可直接運行。