赫茲接觸理論
關注創建者：數理統計 創建時間：2022-11-17
赫茲接觸理論的視頻教程
Abaqus接觸詳解(理論及實操)
接觸行為在物理上可以分為正向(normal behavior)與切向(tangential behavior)的力學傳遞；仿真中，接觸屬于高度非線性，容易導致計算不收斂，是經常困擾初學者的問題之一。另外，在Abaqus中預設不考慮物體接觸，使用者必須自行定義接觸。 本教程從理論出發，逐一說明接觸基礎理論知識，包含接觸建模能夠採用的工具、接觸面離散及接觸算法等。
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赫茲接觸理論的實例教程
1 引言
Hertz接觸理論是研究兩物體因受壓相觸后產生的局部應力和應變分布規律的學科。1881 年 H.R.赫茲最早研究了玻璃透鏡在使它們相互接觸的力作用下發生的彈性變形。他假設：
① 接觸區發生小變形。
② 接觸面呈橢圓形。
③ 相接觸的物體可被看作是彈性半空間，接觸面上只作用有分布的垂直壓力。
凡滿足以上假設的接觸稱為赫茲接觸。當接觸面附近的物體表面輪廓近似為二次拋物面，且接觸面尺寸遠比物體尺寸和表面的相對曲率半徑小時，由赫茲理論可得到與實際相符的結果。在赫茲接觸問題中，由于接觸區附近的變形受周圍介質的強烈約束，因而各點處于三向應力狀態，且接觸應力的分布呈高度局部性，隨離接觸面距離的增加而迅速衰減。此外，接觸應力與外加壓力呈非線性關系，并與材料的彈性模量和泊松比有關。
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問題描述
圖1 兩圓柱體接觸及軸線平行的兩圓柱體相接觸的壓力分布
軸線平行的兩圓柱體接觸時，變形前二者沿一條直線接觸，受壓力P后，接觸處發生了彈性變形，接觸線變成寬度為2b的矩形面，接觸面上的單位壓力按橢圓柱規律分布。變形最大的X軸上壓力最大，以P0表示，接觸面上其余各點的壓力按半橢圓規律分布。
展開 當兩個非協調固體接觸的時候，它們最初是在一個點或一條線上接觸。在微小的載荷作用下，它們在最初的接觸點附近發生變形，致使它們在一個有限的區域上接觸，盡管這區域比起兩物體尺寸來說是很小的。
對兩個彈性體接觸處應力狀態的令人滿意的分析，是由赫茲首先提出的。
1.赫茲彈性接觸理論
1.1.假設條件
1）材料是均勻的、各向同性的、完全彈性的；
2）接觸表面的摩擦力可以忽略不計（即作用力與接觸面垂直）；
3）接觸表面是理想的光滑表面，接觸區的尺寸遠小于物體的尺寸；
4）小應變。
1.2.應用的三個基本原理
1.2.1.變形方程
1）點接觸物體受力后其接觸表面為橢圓；
2）線接觸物體受力后其接觸表面為矩形；
3）兩個接觸物體的變形符合變形連續條件。
1.2.2.物理方程
由于材料處于彈性階段且服從胡克定律，因此接觸表面上的應力的變化規律與接觸體的應變成線性關系，在應變最大的接觸表面中心壓應力最大。Hertz假設接觸表面的壓應力分布為半橢圓體。
1.2.3.靜力平衡方程
根據接觸表面壓應力分布規律求得表面接觸壓力所組成的合力應等于外加載荷。
1.3.赫茲接觸應力公式
1.3.1.線接觸（單位長度上載荷P）
半接觸寬度，
平均接觸應力，
最大接觸應力，
1.3.2.圓形點接觸（載荷P）
接觸圓半徑，
壓縮量，
平均接觸應力，
最大接觸應力，
1.3.3.橢圓形點接觸（載荷P）
平均接觸應力，
最大接觸應力，
2.典型接觸物體計算公式
2.1.圓形點接觸
2.1.1.接觸面半寬
2.1.2.最大接觸應力
平均接觸應力為F/πc2；最大接觸應力為平均接觸應力的1.5倍。
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? 基于權威文獻：嚴格遵循 Abbott Aerospace 標準文檔（AA-SB-001 第 12.3.1 節）的赫茲接觸理論公式，涵蓋 9 種典型機械接觸場景（球?球、球?平面、球?凹槽、圓柱?平面、平行圓柱、圓柱?凹槽、交叉圓柱、刀刃?平板、錐體?平板）。
? 動態圖片庫：每種接觸類型對應幾何示意圖、接觸區域形狀、半徑公式、深度公式、應力公式等圖片，支持本地自定義替換，使理論公式與實物對照一目了然。
? 自適應布局：材料、幾何、載荷三大參數組橫向排列，緊湊節省垂直空間；右側圖片區根據接觸類型自動調整顯示內容（例如剛性刀刃僅顯示幾何圖與應力公式），界面清晰無冗余。
? 一鍵計算：輸入參數后點擊“開始計算”，實時輸出接觸半徑/半寬、最大接觸應力、平均應力、變形趨近量、最大剪切應力及發生深度。
? 結果校驗：內置異常處理（如凹槽半徑必須大于球體半徑、泊松比范圍檢查），避免錯誤輸入導致無效結果。
?模塊化代碼：采用面向對象設計，每種接觸類型的計算函數獨立封裝，新增類型只需添加對應分支和圖片映射。
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通過網盤分享的文件：Hertz_Contact_App.rar
展開 首先，更正個錯誤：在上一篇公眾號文章《平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現》赫茲公式的插圖中，球體赫茲接觸的計算公式出現了錯誤，在此為自己的疏忽向讀者們表示歉意！正確的計算公式如下：
在上一篇公眾號中，我們一起討論了平行圓柱體的赫茲接觸計算方法及其有限元計算方法。我們發現：在控制好所有條件以后，使用ANSYS計算出的赫茲接觸應力（壓力）與使用赫茲公式計算出的應力結果幾乎完全一致；接觸面半寬的計算結果誤差也在可接受的范圍之內。今天，我們一起討論下球體的赫茲接觸計算方法及ANSYS實現。
我們以兩個直徑為100mm，
泊松比為0.3、彈性模量為200Gpa的
球體為例，假設外載F=1000N，分別基于
赫茲公式和
ANSYS軟件計算一下接觸面面半徑和最大接觸應力：
一、基于赫茲公式的計算：
同樣，對于赫茲公式的計算，筆者編了一個簡單的Python小程序，程序代碼如下：
根據計算結果我們發現，該問題中兩物體的接觸面半寬為0.5546mm，遠小于接觸物體的結構尺寸，因此
符合赫茲公式的假設。
二、基于ANSYS軟件的計算：
使用ANSYS計算時，只需要在公眾號文章《平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現》基礎上，做如下修改即可：
Step1
平面分析設置修改
將Step5中的2D Behavior修改成Axisymmetric（軸對稱）。
Step2
刪除軸對稱設置
將Step6中的軸對稱設置刪除。
展開 本案例適合哪些人學習：
1、學習型仿真工程師
2、理工科院校學生
3、對有限元分析感興趣的工程師
你會得到什么：
1、學習赫茲接觸的二維模型處理
2、學習赫茲非線性接觸相關的接觸設置
3、學習非線性靜力學分析步的建立
4、學習赫茲接觸靜力學分析的載荷施加
案例介紹：
所使用軟件為ANSYS workbench2020r2.
案例介紹了ANSYS workbench 赫茲非線性接觸分析。
本案例完整得提供了分析相關所有分析文件。
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本案例適合哪些人學習：
1、學習型仿真工程師
2、理工科院校學生
3、對有限元分析感興趣的工程師
你會得到什么：
1、學習赫茲接觸的二維模型處理
2、學習赫茲非線性接觸相關的接觸設置
3、學習非線性靜力學分析步的建立
4、學習赫茲接觸靜力學分析的載荷施加
案例介紹：
所使用軟件為ANSYS workbench2020r2.
案例介紹了ANSYS workbench
該模型是基于以下假設建立的:
（1）采用集中質量法，忽略轉動慣量和軸承滾道表面波紋度的影響；
（2）假設除了局部誤差之外，在運動接觸面上不存在其他幾何誤差，滾動體與滾道之間的彈性接觸滿足赫茲理論；
（3）所有的阻尼都是線性的。
背景說明：兩個半徑均為100mm，的正交圓柱體發生正接觸，作用在兩圓柱接觸體法線方向上的壓力總和1000N，兩圓柱體均為鋼制分析兩圓柱的接觸情況。
分析思路：對模型進行對稱約束，施加載荷后要進行節點自由度耦合，使加載面的所有節點能在承載后具有相同的Y方向位移，并且在變形后仍然保持為水平平面
兩接觸體的赫茲接觸理論模型，如圖2所示。
由于本文主要重點在說明網格而不是這類接觸現象，因此這里直接給出一些個人建議：
①軸承，齒輪這類曲面接觸問題使用赫茲接觸理論可以較好的解釋，該理論下，滾珠與外圈的接觸區域和接觸壓力都具有橢圓分布的性質。
②對于赫茲接觸問題，局部網格密度至少要捕捉到可用的接觸區域，一般取為接觸半寬的1/2。
（原創，轉載請注明出處）
1 概述
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過
（1） 基礎理論
（2） 商軟操作
（3） 自編程序
三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。
有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中
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首先，更正個錯誤：在上一篇公眾號文章《平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現》赫茲公式的插圖中，球體赫茲接觸的計算公式出現了錯誤，在此為自己的疏忽向讀者們表示歉意！正確的計算公式如下：
在上一篇公眾號中，我們一起討論了平行圓柱體的赫茲接觸計算方法及其有限元計算方法。我們發現：在控制好所有條件以后，使用ANSYS計算出的赫茲接觸應力
