當兩個非協調固體接觸的時候，它們最初是在一個點或一條線上接觸。在微小的載荷作用下，它們在最初的接觸點附近發生變形，致使它們在一個有限的區域上接觸，盡管這區域比起兩物體尺寸來說是很小的。

對兩個彈性體接觸處應力狀態的令人滿意的分析，是由赫茲首先提出的。

1.赫茲彈性接觸理論

1.1.假設條件

1）材料是均勻的、各向同性的、完全彈性的；

2）接觸表面的摩擦力可以忽略不計（即作用力與接觸面垂直）；

3）接觸表面是理想的光滑表面，接觸區的尺寸遠小于物體的尺寸；

4）小應變。

1.2.應用的三個基本原理

1.2.1.變形方程

1）點接觸物體受力后其接觸表面為橢圓；

2）線接觸物體受力后其接觸表面為矩形；

3）兩個接觸物體的變形符合變形連續條件。

1.2.2.物理方程

由于材料處于彈性階段且服從胡克定律，因此接觸表面上的應力的變化規律與接觸體的應變成線性關系，在應變最大的接觸表面中心壓應力最大。Hertz假設接觸表面的壓應力分布為半橢圓體。

1.2.3.靜力平衡方程

根據接觸表面壓應力分布規律求得表面接觸壓力所組成的合力應等于外加載荷。

1.3.赫茲接觸應力公式

1.3.1.線接觸（單位長度上載荷P）

半接觸寬度，

平均接觸應力，

最大接觸應力，

1.3.2.圓形點接觸（載荷P）

接觸圓半徑，

壓縮量，

平均接觸應力，

最大接觸應力，

1.3.3.橢圓形點接觸（載荷P）

平均接觸應力，

最大接觸應力，

2.典型接觸物體計算公式

2.1.圓形點接觸

2.1.1.接觸面半寬

2.1.2.最大接觸應力

平均接觸應力為F/πc²；最大接觸應力為平均接觸應力的1.5倍。

平面與球接觸時，取平面曲率半徑為無窮大。圓球與凹球接觸時，將凹球曲率半徑取為負值。

由以上兩式可見，最大接觸壓應力與載荷不是線性關系，而是與載荷的立方根成正比。隨著載荷的增加，接觸面積也在增大，使得接觸面上的最大壓應力的增長較載荷增長的慢。應力與載荷成非線性關系是接觸應力的重要特征之一。

2.2.線接觸

接觸表面為矩形

2.2.1.接觸面半寬

2.2.2.最大接觸應力

其中，正號用于外接觸，負號用于內接觸。平面與圓柱接觸時，取平面曲率半徑為無窮大。

接觸剛度是零件接觸面抵抗變形的能力。接觸剛度隨著法向載荷的增大而增大，并受接觸表面材料、硬度、表面粗糙度等的影響。

附錄A.工程常用接觸物體計算公式

A.1.圓球與圓球接觸

A.2.圓球與平面接觸

A.3.圓球與凹球接觸

A.4.圓柱與平面接觸

A.5.兩圓柱體相交接觸

接觸區域是橢圓

載荷除以接觸面積可得平均接觸應力：

參考：

1）接觸力學（Contact mechanics, K.L.Johnson），高等教育出版社

2）萬向節和傳動軸，北京理工大學出版社

來源：DeepFEA