1 引言

Hertz接觸理論是研究兩物體因受壓相觸后產生的局部應力和應變分布規律的學科。1881 年 H.R.赫茲最早研究了玻璃透鏡在使它們相互接觸的力作用下發生的彈性變形。他假設：

① 接觸區發生小變形。

② 接觸面呈橢圓形。

③ 相接觸的物體可被看作是彈性半空間，接觸面上只作用有分布的垂直壓力。

凡滿足以上假設的接觸稱為赫茲接觸。當接觸面附近的物體表面輪廓近似為二次拋物面，且接觸面尺寸遠比物體尺寸和表面的相對曲率半徑小時，由赫茲理論可得到與實際相符的結果。在赫茲接觸問題中，由于接觸區附近的變形受周圍介質的強烈約束，因而各點處于三向應力狀態，且接觸應力的分布呈高度局部性，隨離接觸面距離的增加而迅速衰減。此外，接觸應力與外加壓力呈非線性關系，并與材料的彈性模量和泊松比有關。

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問題描述

圖1  兩圓柱體接觸及軸線平行的兩圓柱體相接觸的壓力分布

軸線平行的兩圓柱體接觸時，變形前二者沿一條直線接觸，受壓力P后，接觸處發生了彈性變形，接觸線變成寬度為2b的矩形面，接觸面上的單位壓力按橢圓柱規律分布。變形最大的X軸上壓力最大，以P0表示，接觸面上其余各點的壓力按半橢圓規律分布。

最大單位壓力：

由赫茲公式知：

代入上式得：

若兩圓柱體均為鋼時，E1＝E2＝E，μ1＝μ2＝0.3，取則接觸應力為：

本例將用有限元分析的方法，計算兩圓柱體的接觸應力，并與赫茲接觸理論計算值進行對比，驗證有限元計算的仿真方法。

2 問題分析

采用ANSYS的靜力分析模塊進行兩圓柱體的有限元接觸仿真，為簡化計算，直接建立2D幾何模型，取圓柱半徑分別為4mm、5mm，圓柱長度10mm，載荷為100N壓力，材料使用結構鋼，幾何模型直接使用SCDM建立即可。

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分析過程

1. 創建靜力學分析系統，設置分析類型為2D。

圖2  創建2D靜力分析系統

2. 設置材料屬性：使用默認材料鋼材，確認彈性模量為2×1011Pa，泊松比0.3。使用默認鋼材的屬性即可。

3. 創建幾何模型：使用SCDM建立幾何模型，模型如下圖所示，在四象限位置留硬點。在Mechanical中 設置2D Behavior為平面應力類型，設置圓柱面厚度為10mm。

圖3  幾何模型及設置

4. 設置連接關系：將兩圓柱面接觸對改為無摩擦接觸，并將法相剛度系數調整到100，設置完成后如下圖所示。這里設置了較大的法相接觸剛度是為了得的更精確的解，如遇到收斂困難可將該值改小或改成默認。

圖4  接觸設置

5. 劃分網格：采用影響球形式，設細化接觸位置網格，劃分好網格如下圖所示。

圖5  網格結果

6. 設置邊界條件：

施加固定約束：底面圓的最下面頂點，添加固定約束，結果如下圖所示。

圖6  固定約束

施加位移約束：在底面圓的圓心頂點、上面圓的圓心頂點和最上面頂點，創建位移約束，X方向為0，Y方向釋放，結果如下圖所示。

圖7  位移約束

施加載荷：在上面圓的圓心頂點施加Y方向-100N載荷，結果如下圖所示。

圖8  集中力載荷

7. 求解得到計算結果：

圖9  Total Deformation結果

圖10  Equivalent(von-Mises)結果

從云圖中可以看出最大變形值只有0.000687mm，變形值很小。最大等效應力值為380.41MPa，發生在接觸點位置，應力從接觸點位置向周圍擴散分布。

圖11  接觸狀態

圖12  接觸壓力

從云圖中可以，接觸狀態呈直線狀態分布，看出最大接觸壓力為387.02MPa。

3 結論

根據前面提到的赫茲接觸公式，將已知的參數帶入求解得到最大接觸壓力為396.55MPa，而ANSYS有限元求解得到的值為387.02MPa，誤差約2.4%，基本在可以接受范圍之內。

因為有限元求解接觸非線性問題時，使用的迭代求解、線性逼近的方法，并且最終平衡解是在指定誤差范圍以內的值，是屬于近似值，并不是理論計算這種準確值。另外接觸剛度的大小以及網格大小都會對結果有一定影響，如果繼續增大接觸剛度或者減小網格尺寸，都會使結果更加接近理論解。