赫茲接觸理論的案例
ANSYS Workbench赫茲接觸分析實例
1 引言
Hertz接觸理論是研究兩物體因受壓相觸后產生的局部應力和應變分布規律的學科。1881 年 H.R.赫茲最早研究了玻璃透鏡在使它們相互接觸的力作用下發生的彈性變形。他假設：
① 接觸區發生小變形。
② 接觸面呈橢圓形。
③ 相接觸的物體可被看作是彈性半空間，接觸面上只作用有分布的垂直壓力。
凡滿足以上假設的接觸稱為赫茲接觸。當接觸面附近的物體表面輪廓近似為二次拋物面，且接觸面尺寸遠比物體尺寸和表面的相對曲率半徑小時，由赫茲理論可得到與實際相符的結果。在赫茲接觸問題中，由于接觸區附近的變形受周圍介質的強烈約束，因而各點處于三向應力狀態，且接觸應力的分布呈高度局部性，隨離接觸面距離的增加而迅速衰減。此外，接觸應力與外加壓力呈非線性關系，并與材料的彈性模量和泊松比有關。
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問題描述
圖1 兩圓柱體接觸及軸線平行的兩圓柱體相接觸的壓力分布
軸線平行的兩圓柱體接觸時，變形前二者沿一條直線接觸，受壓力P后，接觸處發生了彈性變形，接觸線變成寬度為2b的矩形面，接觸面上的單位壓力按橢圓柱規律分布。變形最大的X軸上壓力最大，以P0表示，接觸面上其余各點的壓力按半橢圓規律分布。
展開 赫茲接觸計算公式
當兩個非協調固體接觸的時候，它們最初是在一個點或一條線上接觸。在微小的載荷作用下，它們在最初的接觸點附近發生變形，致使它們在一個有限的區域上接觸，盡管這區域比起兩物體尺寸來說是很小的。
對兩個彈性體接觸處應力狀態的令人滿意的分析，是由赫茲首先提出的。
1.赫茲彈性接觸理論
1.1.假設條件
1）材料是均勻的、各向同性的、完全彈性的；
2）接觸表面的摩擦力可以忽略不計（即作用力與接觸面垂直）；
3）接觸表面是理想的光滑表面，接觸區的尺寸遠小于物體的尺寸；
4）小應變。
1.2.應用的三個基本原理
1.2.1.變形方程
1）點接觸物體受力后其接觸表面為橢圓；
2）線接觸物體受力后其接觸表面為矩形；
3）兩個接觸物體的變形符合變形連續條件。
1.2.2.物理方程
由于材料處于彈性階段且服從胡克定律，因此接觸表面上的應力的變化規律與接觸體的應變成線性關系，在應變最大的接觸表面中心壓應力最大。Hertz假設接觸表面的壓應力分布為半橢圓體。
1.2.3.靜力平衡方程
根據接觸表面壓應力分布規律求得表面接觸壓力所組成的合力應等于外加載荷。
1.3.赫茲接觸應力公式
1.3.1.線接觸（單位長度上載荷P）
半接觸寬度，
平均接觸應力，
最大接觸應力，
1.3.2.圓形點接觸（載荷P）
接觸圓半徑，
壓縮量，
平均接觸應力，
最大接觸應力，
1.3.3.橢圓形點接觸（載荷P）
平均接觸應力，
最大接觸應力，
2.典型接觸物體計算公式
2.1.圓形點接觸
2.1.1.接觸面半寬
2.1.2.最大接觸應力
平均接觸應力為F/πc2；最大接觸應力為平均接觸應力的1.5倍。
展開 Hertz接觸計算App ￥30
? 基于權威文獻：嚴格遵循 Abbott Aerospace 標準文檔（AA-SB-001 第 12.3.1 節）的赫茲接觸理論公式，涵蓋 9 種典型機械接觸場景（球?球、球?平面、球?凹槽、圓柱?平面、平行圓柱、圓柱?凹槽、交叉圓柱、刀刃?平板、錐體?平板）。
? 動態圖片庫：每種接觸類型對應幾何示意圖、接觸區域形狀、半徑公式、深度公式、應力公式等圖片，支持本地自定義替換，使理論公式與實物對照一目了然。
? 自適應布局：材料、幾何、載荷三大參數組橫向排列，緊湊節省垂直空間；右側圖片區根據接觸類型自動調整顯示內容（例如剛性刀刃僅顯示幾何圖與應力公式），界面清晰無冗余。
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展開 球體的赫茲接觸計算與ANSYS實現
首先，更正個錯誤：在上一篇公眾號文章《平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現》赫茲公式的插圖中，球體赫茲接觸的計算公式出現了錯誤，在此為自己的疏忽向讀者們表示歉意！正確的計算公式如下：
在上一篇公眾號中，我們一起討論了平行圓柱體的赫茲接觸計算方法及其有限元計算方法。我們發現：在控制好所有條件以后，使用ANSYS計算出的赫茲接觸應力（壓力）與使用赫茲公式計算出的應力結果幾乎完全一致；接觸面半寬的計算結果誤差也在可接受的范圍之內。今天，我們一起討論下球體的赫茲接觸計算方法及ANSYS實現。
我們以兩個直徑為100mm，
泊松比為0.3、彈性模量為200Gpa的
球體為例，假設外載F=1000N，分別基于
赫茲公式和
ANSYS軟件計算一下接觸面面半徑和最大接觸應力：
一、基于赫茲公式的計算：
同樣，對于赫茲公式的計算，筆者編了一個簡單的Python小程序，程序代碼如下：
根據計算結果我們發現，該問題中兩物體的接觸面半寬為0.5546mm，遠小于接觸物體的結構尺寸，因此
符合赫茲公式的假設。
二、基于ANSYS軟件的計算：
使用ANSYS計算時，只需要在公眾號文章《平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現》基礎上，做如下修改即可：
Step1
平面分析設置修改
將Step5中的2D Behavior修改成Axisymmetric（軸對稱）。
Step2
刪除軸對稱設置
將Step6中的軸對稱設置刪除。
展開 
ANSYS workbench 赫茲非線性接觸分析 ￥10
本案例適合哪些人學習：
1、學習型仿真工程師
2、理工科院校學生
3、對有限元分析感興趣的工程師
你會得到什么：
1、學習赫茲接觸的二維模型處理
2、學習赫茲非線性接觸相關的接觸設置
3、學習非線性靜力學分析步的建立
4、學習赫茲接觸靜力學分析的載荷施加
案例介紹：
所使用軟件為ANSYS workbench2020r2.
案例介紹了ANSYS workbench 赫茲非線性接觸分析。
本案例完整得提供了分析相關所有分析文件。
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平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現
1882年，年僅25歲的德國天才物理學家赫茲發表了關于接觸力學的著名文章《關于彈性固體的接觸（On the contact of elastic solids）》，系統地闡述了兩物體之間接觸面上所傳遞的壓力分布，以及它所引起的垂直于接觸面的彈性位移在接觸區內、外的關系。另外，赫茲在這篇論文中提出了有關彈性體接觸的理論公式——赫茲公式。
赫茲
海因里希·魯道夫·赫茲是德國天才物理學家，畢業于柏林大學，師承古斯塔夫·基爾霍夫（德國物理學家，在電路、光譜學的基本原理有重要貢獻）和赫爾曼·范·亥姆霍茲（能量守恒定律的創立者）。
赫茲在波動方程、光電效應和接觸力學等領域都做出了杰出的貢獻，尤其是他于1888年首次通過實驗證明了電磁波的存在，成為了近代科學史上的一座里程碑，開創了無線電電子科學技術的新紀元。
正當人們對他寄以更大期望時，他卻于1894年元旦因血中毒逝世，年僅36歲。為了紀念他的功績，人們用他的名字來命名各種波動頻率的單位—赫茲（Hz）。頻率也是國際單位制中頻率的單位，它是每秒中周期性變動重復次數的計量。
圖為赫茲及夫人伊麗莎白
赫茲公式是研究疲勞、摩擦以及任何有接觸體之間相互作用的基本公式。接觸理論指出：接觸表面上所承受的壓應力是處處不同的，其分部呈半橢圓柱形。初始接觸線處壓應力最大，以此最大壓應力代表兩零件間接觸受力后的應力。
展開 基于ANSYS Workbench軟件Convergence工具判定求解收斂的簡例——【鋼絲繩赫茲接觸分析】
基于ANSYS Workbench軟件Convergence工具判定求解收斂的簡例-【鋼絲繩赫茲接觸分析】
本文以“鋼絲繩赫茲接觸分析”為例，講解如何采用Convergence工具判定求解收斂的方法。
本文為原創案例，若要轉載請注明文章出處，并附帶作者筆名-CAE夢想很偉大，切勿他用。
另外限于本人水平有限，切勿輕易用于工程應用，論文撰寫等。若有錯誤，請同行指出。
歡迎大家轉載、點贊、評論。
網格劃分的細密程度與單元的選擇對于求解的精確程度具有相當大的影響，不少帖子都曾經撰寫過相關文章的比較，例如包括網格劃分的細密，單元的選擇，子模型的使用，應力奇異的判定等，這里通Convergence工具來自動判定網格的細密程度，得到一個收斂解。
技術鄰咨詢鏈接：http://www.yqgqt.org.cn/b/280
模型幾何
接觸關系
初始網格劃分
邊界條件
設置求解后處理，等效應力引入Convergence，判定收斂，判定量為2%以內收斂。
通過上圖1-6的求解過程比對可知，初始網格的等效應力隨著節點數量和單元的增加，應力逐步穩定，得到收斂的穩定解。且穩定解的應力明顯比粗糙網格應力高，符合赫茲接觸。
收斂解與初始網格定義的網格密度比對
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認識網格2 | “質量好”的網格不一定是好網格
加密網格
通過上面分析結果的反饋意識到：需要加密局部接觸網格才能獲得更多的數據點
于是將上面的網格加密一倍（0.25mm），如圖所示：
現在自信滿滿，想著已經找到問題所在，而且網格已經這么密了（2萬節點），總該得到理想中的結果吧，于是分析提取接觸壓力曲線：
雖然結果相較于之前要好一些，但是問題依然存在：接觸壓力局部仍然跳躍太快，這意味著結構的應力云圖也存在大幅度的跳躍，這樣結果的參考價值值得懷疑。
思考
有些小伙伴會想：繼續加密網格，一直到結果合理不就可以了么？
加密網格現在面臨兩個問題：
①不知道加密多少輪合適，可能再加密一輪結果就可以，可能需要加密十輪才能得到滿意的結果。
②目前網格節點數量2萬，加密一次節點數量至少會增加2倍，意味著矩陣層面至少增加4倍，也就是計算量和計算時間長度會變為原來的4倍。考慮到這只是一個滾珠，如果對整個軸承進行分析，那整體加密會帶來非常巨大的計算量。
所以，需要停下來好好思考：這類接觸問題的特點是什么？如果網格加密，局部需要多密的網格才能滿足計算要求？如果網格需要很密，怎么才能在保證精度的情況下降低計算量？
由于本文主要重點在說明網格而不是這類接觸現象，因此這里直接給出一些個人建議：
①軸承，齒輪這類曲面接觸問題使用赫茲接觸理論可以較好的解釋，該理論下，滾珠與外圈的接觸區域和接觸壓力都具有橢圓分布的性質。
②對于赫茲接觸問題，局部網格密度至少要捕捉到可用的接觸區域，一般取為接觸半寬的1/2。
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3_APDL基礎及仿真理論_solid單元的接觸分析
顯示接觸滲透云圖 0表示不顯示未變形，1.0變形比例
plnsol,cont,pres,0,1.0 !顯示接觸應力云圖
finish
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