偏微分
關注創(chuàng)建者：琳泓comsol 創(chuàng)建時間：2020-05-16
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Matlab復雜函數(shù)擬合13講
復雜函數(shù)擬合包括積分函數(shù)、偏微分函數(shù)、隱函數(shù)、方程組的擬合，其中積分函數(shù)的擬合又包括被積函數(shù)存在待定參數(shù)和積分上下限存在待定參數(shù)兩大類。這些擬合問題均源自實際科研過程中遇到的案例，并且均為非常規(guī)擬合問題，現(xiàn)有網(wǎng)絡資源幾乎找不到類似案例。 課程附件上傳了課程所涉及的所有案例的matlab源碼和數(shù)據(jù)文件，歡迎下載學習！
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偏微分的實例教程
FlexPDE是基于有限元方法的偏微分方程（Partial Differential Equations,PDE）求解軟件。FlexPDE屬于商業(yè)軟件，其免費的學生版本（Student Version）對網(wǎng)格數(shù)量以及求解方程數(shù)量都做出了限制（雖然做出了限制，但仍遠優(yōu)于同樣基于有限元方法的的matlab PDE工具箱）。
FlexPDE可以進行化學、地下水、污染物、地熱開發(fā)、油藏開發(fā)等相關的數(shù)學模型求解。
下圖為FlexPDE 5.0的主界面：
下圖為FlexPDE 7.0的主界面：
然而，我們通常所下載的免費版有網(wǎng)格數(shù)目限制。
因此，此處就是要給出破解方法和相關文檔。
下圖是用于進行油藏開發(fā)兩相滲流的計算運行圖。未破解前無法運行相關模擬，但破解后就沒有網(wǎng)格數(shù)目限制了。
網(wǎng)格模型：
產(chǎn)油動態(tài)曲線：
儲層壓力分布云圖：
展開 在傳熱學書籍中，我們都學習過一節(jié)“熱傳導問題的數(shù)值求解”，在數(shù)值求解時很重要的一步是我們要將“區(qū)域離散化”
這一步就是將物理模型劃分為一個個的小節(jié)點，然后再對微分方程進行處理。
“區(qū)域離散化”這樣短短五個字的步驟被稱為畫網(wǎng)格，上面提及的軟件中Mesh、ICEM-CFD、Gambit都是畫網(wǎng)格的軟件。單一個畫網(wǎng)格有如此多的軟件，足以說明網(wǎng)格劃分的重要性。
注：
Gambit和Fluent v6.3一樣古老，盡量不要使用，可替代的軟件很多。
網(wǎng)格劃分是對流體域進行劃分，因此首先要有流體域。所以在網(wǎng)格劃分之前應該還有一個環(huán)節(jié)-物理建模，其實就是畫圖，二維或三維的都可。比如大家可能接觸到的CAD、Solidworks。
4.2 求解器設置
使用Mesh或ICEM-CFD等軟件對物理模型劃分好網(wǎng)格后，需要導入到Fluent軟件中進行一些列的操作，很復雜很復雜，但是本質(zhì)上都圍繞一個原則---求解偏微分方程組。
這部分是我們后面的重點，這里不再贅述。
4.3 后處理（畫圖）
現(xiàn)在我們已經(jīng)劃分好網(wǎng)格了，也使用Fluent求解出了偏微分方程組的數(shù)值解了，我們有了一大堆數(shù)據(jù)。這堆數(shù)據(jù)我們需要展示出來，怎么展示？？這就是后處理，其實就是根據(jù)數(shù)據(jù)畫圖。比如下面的圖，很帥氣吧
實際上Fluent軟件本身就有后處理，但是有更加專業(yè)且強大的軟件來處理數(shù)據(jù)，目前常用的軟件CFD-POST和Tecplot。CFD-POST是ANSYS軟件包包含的軟件，不必單獨下載，而Tecplot是單獨的軟件需要單獨下載。
5. Fluent學習流程
上面我們介紹了很多，主要還是為了幫助大家簡單理解一下Fluent是干嘛用的。
展開 接著，以A點為坐標原點，AB軸為x軸，建立坐標系，并將AB上任意一點x的彎矩M(x)寫成如下形式：
此時，梁的應變能U為：
應變能U對X1求偏微分便可得到B點處的位移：
最后再令B點位移等于0，便可解出未知力X1等于0.375ql。此時，梁的彎矩圖如圖3所示。
圖1 力學模型
圖2 基本單元
圖3 彎矩圖
3． 實例運用
結(jié)合Maple語言與卡式定理，便可求解出任意超靜定次數(shù)的連續(xù)梁內(nèi)力。以圖4所示
的四次超靜定連續(xù)梁為例，簡要描述該求解器的使用方法。
圖4 四次超靜定連續(xù)梁簡圖
取該連續(xù)梁的基本單元如圖5所示。去除左右兩端固定端，代之以鉸，暴露出支座未知力偶X1和X4；去除中間兩個鉸支座，暴露出支座未知集中反力X2和X3。
圖5 連續(xù)梁基本單元
將基本單元上的各個集中力、集中力偶與均布力以矩陣的形式輸入Maple中。以集中力矩陣JZL為例，該矩陣的每一列均代表著一個集中力，具體如圖6所示。矩陣的第一列表明，該基本單元上作用有大小為128kN的集中力，且該集中力距離左端支座2m，距離右端支座10m。
圖6 集中力矩陣
外荷載輸入完畢后，Maple便會基于卡式定理，依次進行偏微分運算與四元方程組求解，最終繪制出該連續(xù)梁的彎矩圖，如圖7所示。
圖7 連續(xù)梁彎矩圖
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展開 科學家已經(jīng)證明采用偏微分方程組（PDEs）的方法可以求解多物理場現(xiàn)象。這些偏微分方程可以描述熱量傳遞、電磁場和結(jié)構(gòu)力學等各種物理過程?？梢赃@樣認定，多物理場的本質(zhì)是偏微分方程組。隨著計算機和計算技術(shù)的迅速發(fā)展，使得工程師可以輕松地用偏微分方程組描述現(xiàn)實中的多物理場問題。如果有一種算法或者軟件能直接對這些偏微分方程組進行求解，對科學研究與工程計算進程的推進將是巨大的。
而多物理場問題的求解，其難度也是巨大的。在實際求解多物理場耦合問題時，需要考慮不同的耦合關系。根據(jù)耦合的相互作用關系，可以把耦合關系分為雙向耦合和單向耦合。物理場A 通過邊界條件或源項對物理場B 產(chǎn)生作用，而物理場B 對A 不產(chǎn)生作用，或其影響可被忽略，稱這種耦合是單向耦合。比如在熱應力問題中，溫度場會產(chǎn)生明顯的熱應力，但是由于變形而導致的溫度場的性質(zhì)變化并不顯著，這種問題可以簡化為單向耦合問題。如果物理場B 也對A 產(chǎn)生影響，則稱這種耦合為雙向耦合。比如電阻應變片上當電流改變時會產(chǎn)生熱量，熱量導致電阻率的改變，從而影響了電流的改變。
實際上，只要一個場對另外一個場發(fā)生作用，反作用也是必然要出現(xiàn)的。所以，使用間接耦合的方式求解多物理場問題，其出發(fā)點即存在誤差。
綜上所述，多物理場的計算，需要強大的計算機計算能力為后盾。計算機計算能力的提升使得有限元分析由單場分析到多場分析變成現(xiàn)實，未來的幾年內(nèi)，多物理場分析工具將會給學術(shù)界和工程界帶來震驚。單調(diào)的“設計－校驗”的設計方法將會慢慢被淘汰，虛擬造型技術(shù)將讓科學家們的思想走得更遠。
四、多物理場技術(shù)的應用及探討
綜上所述，利用基于單元庫的方法實現(xiàn)多物理場耦合計算，每增加一種耦合分析類型，必須推導出該耦合方程，其代價將是巨大的。
展開 科學家已經(jīng)證明采用偏微分方程組 (PDEs) 的方法可以求解多物理場現(xiàn)象。這些偏微分方程可以描述熱量傳遞、電磁場和結(jié)構(gòu)力學等各種物理過程?？梢赃@樣認定，多物理場的本質(zhì)是偏微分方程組。隨著計算機和計算技術(shù)的迅速發(fā)展，使得工程師可以輕松地用偏微分方程組描述現(xiàn)實中的多物理場問題。如果有一種算法或者軟件能直接對這些偏微分方程組進行求解，對科學研究與工程計算進程的推進將是巨大的。
而多物理場問題的求解，其難度也是巨大的。在實際求解多物理場耦合問題時，需要考慮不同的耦合關系。根據(jù)耦合的相互作用關系，可以把耦合關系分為雙向耦合和單向耦合。物理場A通過邊界條件或源項對物理場B產(chǎn)生作用，而物理場B對A不產(chǎn)生作用，或其影響可被忽略，稱這種耦合是單向耦合。比如在熱應力問題中，溫度場會產(chǎn)生明顯的熱應力，但是由于變形而導致的溫度場的性質(zhì)變化并不顯著，這種問題可以簡化為單向耦合問題。
如果物理場B也對A產(chǎn)生影響，則稱這種耦合為雙向耦合。比如電阻應變片上當電流改變時會產(chǎn)生熱量，熱量導致電阻率的改變，從而影響了電流的改變。
實際上，只要一個場對另外一個場發(fā)生作用，反作用也是必然要出現(xiàn)的。所以，使用間接耦合的方式求解多物理場問題，其出發(fā)點即存在誤差。
綜上所述，多物理場的計算，需要強大的計算機計算能力為后盾。計算機計算能力的提升使得有限元分析由單場分析到多場分析變成現(xiàn)實，未來的幾年內(nèi)，多物理場分析工具將會給學術(shù)界和工程界帶來震驚。單調(diào)的“設計－校驗”的設計方法將會慢慢被淘汰，虛擬造型技術(shù)將讓科學家們的思想走得更遠。
四、多物理場技術(shù)的應用及探討
綜上所述，利用基于單元庫的方法實現(xiàn)多物理場耦合計算，每增加一種耦合分析類型，必須推導出該耦合方程，其代價將是巨大的。
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偏微分的最新內(nèi)容
為了求解描述流體運動的偏微分方程組（如N-S方程），必須借用微積分的核心思想：離散化。
微積分告訴我們，如果將一個復雜的曲線切分成足夠小的線段，這些線段就可以近似看作直線。
CFD也是如此，將計算區(qū)域切分成上萬甚至上億個小單元，每個單元都是“網(wǎng)格”。
一、背景
在工業(yè)仿真領域，對各種現(xiàn)實世界的問題進行數(shù)值模擬時，如流體動力學分析、電磁場仿真、結(jié)構(gòu)力學應力應變分析等，其控制方程通常是偏微分方程組，在經(jīng)過不同方法的隱式離散之后最終都可轉(zhuǎn)化為大型稀疏線性方程組。隨著人們對計算精度要求的不斷提高，方程組的階數(shù)也從上千階、幾十萬階提高到百萬、千萬階甚至更高，所需的計算量以及存儲需求也隨之迅速膨脹。
表2 傳輸纜和感知纜的水動力參數(shù)
求解高非線性的偏微分方程組的方法有很多，AQWA軟件采用的是時間域解法，該方法在模型化時可考慮所有的非線性，在每個時間步上對每個質(zhì)量項、阻尼項、剛度項和載荷項進行重新計算。
對結(jié)構(gòu)進行屈曲分析，涉及到較復雜的彈(塑)性理論和數(shù)學計算，要通過求 解高階偏微分方程組，才能求解失穩(wěn)臨界荷載，而且只有少數(shù)簡單結(jié)構(gòu)才能求得 精確的解析解。因此，只能采用能量法、數(shù)值方法和有限元方法等近似的分析方 法進行分析。近 20 年來，隨著計算機和有限元方法的迅猛發(fā)展，形成了許多的 實用分析程序，提高了對復雜結(jié)構(gòu)進行屈曲分析的能力和設計水平。
1.1 網(wǎng)格離散
求解偏微分方程組（PDE）的第一步是對方程和問題域進行離散化。如前所述，直接求解整個問題域是困難的，而將問題域劃分為多個小塊進行求解則是可行的。
離散化過程與有限差分法、有限體積法（FVM）以及有限元法等方法密切相關，其目標是將連續(xù)形式的方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)差分方程組。在進行域離散化時，會產(chǎn)生一組離散單元，從而也會形成覆蓋連續(xù)問題域的點或節(jié)點。
雖然不多，其實有那么幾本基于 C++ 面向?qū)ο蟮目茖W計算書籍和求解偏微分方程組的書籍，要不要看？ 甚至想著要對數(shù)據(jù)后處理，找著找著，看到了一些涉及計算機圖形學的 C++ 編程書籍，要不要看？
不需要！
要確定自己是要用 C++ 完全從零寫求解器，還是使用 OpenFOAM 框架。
生成網(wǎng)格的本質(zhì)在數(shù)學上就是用有限個離散的點來代替原來的連續(xù)空間，之后將控制偏微分方程組轉(zhuǎn)化為各個節(jié)點上的代數(shù)方程組。
1）網(wǎng)格劃分的幾何要素
網(wǎng)格劃分結(jié)束后，可以得到大約6種幾何要素，如圖所示。
Cell：單元體，由表征流體和固體區(qū)域的網(wǎng)格所確定的離散化的控制體計算域。
Face：面，Cell 的邊界。
要點
FDTD技術(shù)直接離散化麥克斯韋方程的時域偏微分形式。
頻域有限差分（FDFD）源自FDTD。
時域有限差分法是求解麥克斯韋方程組的最先進方法，尤其是在復雜幾何形狀中。
FDTD方法可以解決與天線相關的問題
我們經(jīng)常使用基于電流、電荷和場變化產(chǎn)生的電場和磁場的電器或設備。
Fluent也是一樣，只不過它主要用來計算偏微分方程組。
學習過傳熱學和流體力學的同學應該知道，無論傳熱學方程還是著名的NS方程都是偏微分方程組，F(xiàn)luent軟件的所有操作都是圍繞求解這幾方程組來設計的。
因此一句話總結(jié)，F(xiàn)luent是一個用來求解流體流動、熱傳遞及化學反應等問題的計算器。而我們學習的目的只有一個，就是學會操作這個計算器。
3.
雅可比矩陣也是基于函數(shù)偏微分的矩陣，但是是一階偏導數(shù)。下面給出函數(shù)的雅可比矩陣。
雅可比矩陣可用于確定函數(shù)的可逆性。當雅可比矩陣的行列式不為零時，可以對矩陣求逆。如果雅可比矩陣的行列式等于0，則函數(shù)可以求逆，也可以不求逆。
借助雅可比矩陣，可以計算多變量函數(shù)中的臨界點。然而，要將臨界點分類為最小值、最大值和鞍點，需要 Hessian 矩陣。
