偏微分的案例
FlexPDE 5.0和FlexPDE 7.0（偏微分有限元求解器）英文版安裝及破解 ￥35
FlexPDE是基于有限元方法的偏微分方程（Partial Differential Equations,PDE）求解軟件。FlexPDE屬于商業軟件，其免費的學生版本（Student Version）對網格數量以及求解方程數量都做出了限制（雖然做出了限制，但仍遠優于同樣基于有限元方法的的matlab PDE工具箱）。
FlexPDE可以進行化學、地下水、污染物、地熱開發、油藏開發等相關的數學模型求解。
下圖為FlexPDE 5.0的主界面：
下圖為FlexPDE 7.0的主界面：
然而，我們通常所下載的免費版有網格數目限制。
因此，此處就是要給出破解方法和相關文檔。
下圖是用于進行油藏開發兩相滲流的計算運行圖。未破解前無法運行相關模擬，但破解后就沒有網格數目限制了。
網格模型：
產油動態曲線：
儲層壓力分布云圖：
展開 四十一、Fluent初學者學習流程
在傳熱學書籍中，我們都學習過一節“熱傳導問題的數值求解”，在數值求解時很重要的一步是我們要將“區域離散化”
這一步就是將物理模型劃分為一個個的小節點，然后再對微分方程進行處理。
“區域離散化”這樣短短五個字的步驟被稱為畫網格，上面提及的軟件中Mesh、ICEM-CFD、Gambit都是畫網格的軟件。單一個畫網格有如此多的軟件，足以說明網格劃分的重要性。
注：
Gambit和Fluent v6.3一樣古老，盡量不要使用，可替代的軟件很多。
網格劃分是對流體域進行劃分，因此首先要有流體域。所以在網格劃分之前應該還有一個環節-物理建模，其實就是畫圖，二維或三維的都可。比如大家可能接觸到的CAD、Solidworks。
4.2 求解器設置
使用Mesh或ICEM-CFD等軟件對物理模型劃分好網格后，需要導入到Fluent軟件中進行一些列的操作，很復雜很復雜，但是本質上都圍繞一個原則---求解偏微分方程組。
這部分是我們后面的重點，這里不再贅述。
4.3 后處理（畫圖）
現在我們已經劃分好網格了，也使用Fluent求解出了偏微分方程組的數值解了，我們有了一大堆數據。這堆數據我們需要展示出來，怎么展示？？這就是后處理，其實就是根據數據畫圖。比如下面的圖，很帥氣吧
實際上Fluent軟件本身就有后處理，但是有更加專業且強大的軟件來處理數據，目前常用的軟件CFD-POST和Tecplot。CFD-POST是ANSYS軟件包包含的軟件，不必單獨下載，而Tecplot是單獨的軟件需要單獨下載。
5. Fluent學習流程
上面我們介紹了很多，主要還是為了幫助大家簡單理解一下Fluent是干嘛用的。
展開 基于Maple的超靜定連續梁內力求解器的實現
接著，以A點為坐標原點，AB軸為x軸，建立坐標系，并將AB上任意一點x的彎矩M(x)寫成如下形式：
此時，梁的應變能U為：
應變能U對X1求偏微分便可得到B點處的位移：
最后再令B點位移等于0，便可解出未知力X1等于0.375ql。此時，梁的彎矩圖如圖3所示。
圖1 力學模型
圖2 基本單元
圖3 彎矩圖
3． 實例運用
結合Maple語言與卡式定理，便可求解出任意超靜定次數的連續梁內力。以圖4所示
的四次超靜定連續梁為例，簡要描述該求解器的使用方法。
圖4 四次超靜定連續梁簡圖
取該連續梁的基本單元如圖5所示。去除左右兩端固定端，代之以鉸，暴露出支座未知力偶X1和X4；去除中間兩個鉸支座，暴露出支座未知集中反力X2和X3。
圖5 連續梁基本單元
將基本單元上的各個集中力、集中力偶與均布力以矩陣的形式輸入Maple中。以集中力矩陣JZL為例，該矩陣的每一列均代表著一個集中力，具體如圖6所示。矩陣的第一列表明，該基本單元上作用有大小為128kN的集中力，且該集中力距離左端支座2m，距離右端支座10m。
圖6 集中力矩陣
外荷載輸入完畢后，Maple便會基于卡式定理，依次進行偏微分運算與四元方程組求解，最終繪制出該連續梁的彎矩圖，如圖7所示。
圖7 連續梁彎矩圖
最后,有相關需求歡迎通過公眾號聯系我們.
公眾號:
320科技工作室
展開 多物理場耦合技術的研究進展與發展趨勢
科學家已經證明采用偏微分方程組（PDEs）的方法可以求解多物理場現象。這些偏微分方程可以描述熱量傳遞、電磁場和結構力學等各種物理過程。可以這樣認定，多物理場的本質是偏微分方程組。隨著計算機和計算技術的迅速發展，使得工程師可以輕松地用偏微分方程組描述現實中的多物理場問題。如果有一種算法或者軟件能直接對這些偏微分方程組進行求解，對科學研究與工程計算進程的推進將是巨大的。
而多物理場問題的求解，其難度也是巨大的。在實際求解多物理場耦合問題時，需要考慮不同的耦合關系。根據耦合的相互作用關系，可以把耦合關系分為雙向耦合和單向耦合。物理場A 通過邊界條件或源項對物理場B 產生作用，而物理場B 對A 不產生作用，或其影響可被忽略，稱這種耦合是單向耦合。比如在熱應力問題中，溫度場會產生明顯的熱應力，但是由于變形而導致的溫度場的性質變化并不顯著，這種問題可以簡化為單向耦合問題。如果物理場B 也對A 產生影響，則稱這種耦合為雙向耦合。比如電阻應變片上當電流改變時會產生熱量，熱量導致電阻率的改變，從而影響了電流的改變。
實際上，只要一個場對另外一個場發生作用，反作用也是必然要出現的。所以，使用間接耦合的方式求解多物理場問題，其出發點即存在誤差。
綜上所述，多物理場的計算，需要強大的計算機計算能力為后盾。計算機計算能力的提升使得有限元分析由單場分析到多場分析變成現實，未來的幾年內，多物理場分析工具將會給學術界和工程界帶來震驚。單調的“設計－校驗”的設計方法將會慢慢被淘汰，虛擬造型技術將讓科學家們的思想走得更遠。
四、多物理場技術的應用及探討
綜上所述，利用基于單元庫的方法實現多物理場耦合計算，每增加一種耦合分析類型，必須推導出該耦合方程，其代價將是巨大的。
展開 
有限元的未來是多物理場
科學家已經證明采用偏微分方程組 (PDEs) 的方法可以求解多物理場現象。這些偏微分方程可以描述熱量傳遞、電磁場和結構力學等各種物理過程。可以這樣認定，多物理場的本質是偏微分方程組。隨著計算機和計算技術的迅速發展，使得工程師可以輕松地用偏微分方程組描述現實中的多物理場問題。如果有一種算法或者軟件能直接對這些偏微分方程組進行求解，對科學研究與工程計算進程的推進將是巨大的。
而多物理場問題的求解，其難度也是巨大的。在實際求解多物理場耦合問題時，需要考慮不同的耦合關系。根據耦合的相互作用關系，可以把耦合關系分為雙向耦合和單向耦合。物理場A通過邊界條件或源項對物理場B產生作用，而物理場B對A不產生作用，或其影響可被忽略，稱這種耦合是單向耦合。比如在熱應力問題中，溫度場會產生明顯的熱應力，但是由于變形而導致的溫度場的性質變化并不顯著，這種問題可以簡化為單向耦合問題。
如果物理場B也對A產生影響，則稱這種耦合為雙向耦合。比如電阻應變片上當電流改變時會產生熱量，熱量導致電阻率的改變，從而影響了電流的改變。
實際上，只要一個場對另外一個場發生作用，反作用也是必然要出現的。所以，使用間接耦合的方式求解多物理場問題，其出發點即存在誤差。
綜上所述，多物理場的計算，需要強大的計算機計算能力為后盾。計算機計算能力的提升使得有限元分析由單場分析到多場分析變成現實，未來的幾年內，多物理場分析工具將會給學術界和工程界帶來震驚。單調的“設計－校驗”的設計方法將會慢慢被淘汰，虛擬造型技術將讓科學家們的思想走得更遠。
四、多物理場技術的應用及探討
綜上所述，利用基于單元庫的方法實現多物理場耦合計算，每增加一種耦合分析類型，必須推導出該耦合方程，其代價將是巨大的。
展開 CFD學習：用時域有限差分法求解麥克斯韋方程組
要點
FDTD技術直接離散化麥克斯韋方程的時域偏微分形式。
頻域有限差分（FDFD）源自FDTD。
時域有限差分法是求解麥克斯韋方程組的最先進方法，尤其是在復雜幾何形狀中。
FDTD方法可以解決與天線相關的問題
我們經常使用基于電流、電荷和場變化產生的電場和磁場的電器或設備。為了以數學方式表達所產生的電場和磁場，使用了麥克斯韋方程，并對電磁系統進行了數值建模。
為了求解描述電磁場的方程，使用了各種數值技術。時域有限差分（FDTD）方法是解決電磁問題最流行的技術。FDTD 方法解決了與電介質、天線、微帶電路以及暴露于輻射的人體電磁吸收相關的問題。在本文中，我們將深入探討 FDTD 方法。
時域有限差分 (FDTD) 方法背后的理論
FDTD方法是一種全波數值方法。該技術直接離散化麥克斯韋方程組的時域偏微分形式。為了解決電磁問題，我們的想法是在時間和空間上使用中心差分近似來離散麥克斯韋方程組。
FDTD 技術首先由 KS Yee 通過 Yee 離散方案引入計算電磁學中。在 Yee 開發的方案中，電場和磁場分量在 3 維 (3D) 空間和時間中交錯。在所形成的3D空間中，物理電磁波傳播由法拉第定律和安培定律等值線的互連陣列來表示。使用 FDTD 技術解決電磁問題不需要大量先驗知識，因為 Yee 方案方法易于使用且用途廣泛。
電磁分析和 FDTD 方法
FDTD 的簡單性、多功能性和靈活性使其在計算電磁應用中廣受歡迎。由于 FDTD 方法是基于體積的，因此對于復雜結構和介質的建模非常有效，尤其是與有限元方法(FEM) 和矩量方法 (MOM) 相比。
FDTD 是一種時域方法。
展開 關于 Hessian 矩陣、凸性和優化
給出該函數的二階偏導數的矩陣形成給定函數的 Hessian 矩陣。函數f的Hessian矩陣可以用下面的方程表示：
Hessian 矩陣的階數
從上面給出的 Hessian 矩陣可以得出結論，它始終是一個方陣，其維度等于函數變量的數量。對于“n”變量函數，Hessian 矩陣的階數為 n*n。
Hessian 矩陣的對稱性
下面給出了 2 個變量的函數的 Hessian 矩陣。
在上面的 Hessian 矩陣中，您可以看到元素 fxy 重復兩次，分別作為第一行第二個元素和第二行第一個元素。根據Schwarz定理或Clairaut定理，偏微分中微分的階數并不重要，因此即使函數關于x和y以不同的階數微分，元素也是相同的。
條件 Hij=Hji 適用于任意階的所有 Hessian 矩陣，其中 i 和 j 分別表示行號和列號。每當方陣中的元素滿足條件 Hij=Hji 時，它就形成對稱矩陣。從目前的討論可以得出，Hessian矩陣是滿足對稱條件的方陣。因此所有 Hessian 矩陣都是對稱矩陣。
Hessian 矩陣與 Jacobian 矩陣
Hessian 矩陣由函數所依賴的所有變量對形成的二階偏導數組成。雅可比矩陣也是基于函數偏微分的矩陣，但是是一階偏導數。下面給出函數的雅可比矩陣。
雅可比矩陣可用于確定函數的可逆性。當雅可比矩陣的行列式不為零時，可以對矩陣求逆。如果雅可比矩陣的行列式等于0，則函數可以求逆，也可以不求逆。
借助雅可比矩陣，可以計算多變量函數中的臨界點。然而，要將臨界點分類為最小值、最大值和鞍點，需要 Hessian 矩陣。讓我們看看 Hessian 矩陣如何幫助找到最大值和最小值。
最小值、最大值和鞍點
雅可比矩陣給出函數的梯度。
展開 仿真中的“體力活”：網格驗證能不能自動化？
為了求解描述流體運動的偏微分方程組（如N-S方程），必須借用微積分的核心思想：離散化。
微積分告訴我們，如果將一個復雜的曲線切分成足夠小的線段，這些線段就可以近似看作直線。
CFD也是如此，將計算區域切分成上萬甚至上億個小單元，每個單元都是“網格”。在網格內，我們假設物理量的變化是簡單的（如線性變化），就能將復雜的偏微分方程組轉化代數方程組進行求解。
因此，計算的準確度就依賴網格的精細程度。如果網格太粗，就如同用正方形等效圓形，必然誤差巨大。
網格盡量很細，計算可能更準，但計算量也越大。你看看內存條的價格，會立馬放棄加密網格的想法。
所以，工程師必須在“算得準”和“算得快”之間找平衡，具體表現就是對網格密度的精細調控。物理規律決定了調控原則是：物理場變化越劇烈的地方，網格就越密。比如：
● 邊界層：流體緊貼壁面處存在巨大速度梯度，垂直壁面方向網格應極度細化。
● 激波與渦流：在壓力陡增或流場劇烈旋轉的區域，粗糙的網格會捕捉不到關鍵物理特征。
● 熱梯度：在換熱器中，溫度變化最劇烈的界面也是計算的關注核心。
工程師需要憑經驗，預先判斷流場中可能出現復雜現象的位置，手動設置加密區。但你很難一次就判斷準，這便引出了仿真流程中最為繁瑣的一環：網格無關性驗證。
所謂網格無關性驗證，是指通過對比不同疏密的網格計算出的結果，證明當網格細到一定程度后，計算結果不再發生顯著變化。只有通過了這一驗證，仿真才具有說服力，證明結果反映的是物理規律而非數值誤差。
驗證過程無聊枯燥且耗時
首先畫一套較粗的網格，做計算。
在流場變化劇烈的區域局部加密，生成第二套網格，再計算。
對比關鍵指標（如升力、阻力、壓降）。
展開 在數值模擬過程中，離散化的目的是什么？如何對計算區域進行離散化？離散化時通常使用哪些網格？如何對控制方程進行離散？離散化常用的方法有哪些？它們有什么不同？
離散化的目的： 我們知道描述流體流動及傳熱等物理問題的基本方程為偏微分方程，想要得它們的解析解或者近似解析解，在絕大多數情況下都是非常困難的，甚至是不可能的，就 拿我們熟知的Navier-Stokes方程來說，現在能得到的解析的特解也就70個左右；但為了對這些問題進行研究，我們可以借助于我們已經相當成熟的 代數方程組求解方法，因此，離散化的目的簡而言之，就是將連續的偏微分方程組及其定解條件按照某種方法遵循特定的規則在計算區域的離散網格上轉化為代數方 程組，以得到連續系統的離散數值逼近解。
計算區域的離散及通常使用的網格： 在對控制方程進行離散之前，我們需要選擇與控制方程離散方法相適應的計算區域離散方法。網格是離散的基礎，網格節點是離散化的物理量的存儲位置，網格在離 散過程中起著關鍵的作用。網格的形式和密度等，對數值計算結果有著重要的影響。一般情況下，二維問題，有三角形單元和四邊形，三位問題中，有四面體，六面 體，棱錐體，楔形體及多面體單元。網格按照常用的分類方法可以分為：結構網格，非結構網格，混合網格；也可以分為：單塊網格，分塊網格，重疊網格；等等。 上面提到的計算區域的離散方法要考慮到控制方程的離散方法，比如說：有限差分法只能使用結構網格，有限元和有限體積法可以使用結構網格也可以使用非結構網 格。
控制方程的離散及其方法：上面已經提 到了離散化的目的，控制方程的離散就是將主控的偏微分方程組在計算網格上按照特定的方法離散成代數方程組，用以進行數值計算。按照應變量在計算網格節點之 間的分布假設及推到離散方程的方法不同，控制方程的離散方法主要有：有限差分法，有限元法，有限體積法，邊界元法，譜方法等等。這里主要介紹最常用的有限 差分法，有限元法及有限體積法。（1）有限差分法（Finite Difference Method，簡稱FDM）是數值方法中最經典的方法。
展開 CFD前處理網格藝術 | CFD對計算網格的基本要求
利用數值計算方法得到的離散解是否比較滿意地逼近原偏微分方程組定解問的解，不僅取決于對原偏微分方程組所采用的離散化方法（即內點計算格式）及邊界條件的離散化方法（即邊界點計算格式），而且取決于離散點的分布情況。
另一方面，許多流體力學實際問題的邊界幾何形狀是非常復雜的，如戰斗機、運輸機全機構型。要得到高精度的數值解，邊界條件處理本身應保證適當的計算精度。而在邊界處理中，往往有些物理量是通過插值方法求得的。插值的精度直接影響邊界條件處理的精度，為此一般要求邊界附近的網格線盡可能與邊界正交，而且在物面邊界附近還需保證一定的網格節點密度，過稀的網格將導致計算精度的降低。
由此可知，對于數值求解偏微分方程（PDE）的定解問題而言，網格分布是十分重要的。在達到相同解的精度的前提下，合理的網格分布往往可以大大減少網格點的數目，從而大大節省所需要的計算機內存和計算時間。計算經驗表明，在某些問題中，不合適的網格分布有可能導致計算過程的不穩定或不收斂。
CFD對計算網格的基本要求
網格質量是網格生成技術重點關注的研究領域。就結構網格而言，網格質量一般包括網格的光滑性、正交性、分布合理性等。對于非結構網格而言，網格的光滑性和分布合理性也是需要關注的重要方面，雖然不存在所謂的網格正交性，但也一般要求網格的形狀要盡量“正規”，即盡可能為正二角形正四面體。對于黏性流動計算問題，如在邊界層內采用“純”非結構網格（各異性四面體），其計算精度和離散效率均有不足，此時一般在邊界層內采用結構（六面體）或半結構（三棱柱）網格，因此網格的法向正交性也是需要關注的問題。
展開 材料本構彈塑性力學知識一
例如，在研究物體的平衡時，可不考慮由于變形所引起的物體尺寸位置的變化;在建立幾何方程和物理方程時，可以略去其中的二次及更高次項，使得到的基本方程是線性偏微分方程組。與之相對立的是大變形情況，這時必須考慮幾何關系中的二階或高階非線性項，導致變形與載荷之間為非線性關系.得到的基本方程是更難求解的非線性偏微分方程組。
無初應力假設：假定物體原來是處于一種無應力的自然狀態。即在外力作用以前，物體內各點應力均為零。我們的分析計算是從這種狀態出發的。
—End—
CAE仿真與數值模擬微信公眾號，主要介紹CAE仿真與數值模擬的知識與應用公眾號主要介紹CAE仿真與數值模擬的知識與應用。通過論壇，博客，論文，案例等為大家帶來知識食糧。仿真軟件:abaqus、ansys、flunet、comsol、hypermesh、moldflow等，涉及領域有機械材料土木物理等。
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利用CFD（計算流體動力學/流體仿真技術）判斷液力扭矩系數
計算流體動力（CFD）技術利用有限單元或有限差分法，迭代解算偏微分形式的控制方程（驅動方程），從而獲取流速、質量流量、壓力、溫度、湍流等參數，以及其它流體特性參數。這種數字仿真技術需要先將流體分割成有限數量的單元，以數字形式解算每個單元對應的偏微分控制方程，從而獲知特定參數條件下，特定變量的近似值。
強大的工具
圖1：流體應力作用在閥瓣上某個有限元的表面。圖片來源：simulationHubAutonomousValveCFD
圖1表示的是粘度和壓力作用在某個有限元表面，以及應力作用點與閥瓣轉軸之間的徑向距離。在特定的開度下，通過計算轉軸受到的總粘度扭矩和壓力扭矩，我們就能獲知作用在閥門動部件上的總扭矩。
“i”是接觸到閥瓣的流體單元數量，Fpressure（壓力）和Fviscous（粘度）分別是作用在閥瓣表面單元上的壓力和粘滯應力。“r”是閥瓣表面單元與轉軸之間的徑向距離。“v”是流體的動粘滯率（運動粘度）。“p”是流體密度，“u”是流體流速，“x”是流動方向上的表面線性尺寸。“A”是表面單元的表面積。
Fpressure（壓力）和Fviscous（粘度）分別是作用在閥瓣表面單元上的壓力和粘滯應力。“r”是閥瓣表面單元與轉軸之間的徑向距離。“v”是流體的動粘滯率（運動粘度）。“p”是流體密度，“u”是流體流速，“x”是流動方向上的表面線性尺寸。“A”是表面單元的表面積。
計算流體動力（CFD）技術看來的確是強大的工具，能估算出液力扭矩和性能系數，但它并不是所有人都能輕松駕馭的。傳統的CFD技術需要有相關技術的支 撐，比如流體體積提取、網格劃分、設置邊界條件。此外還需要進行后期處理，以便獲得準確且有用的結果。另外，CFD仿真軟件需要高性能電腦的支撐。
展開 關于有限元的
這些都可歸結為求解物理問題的控制偏微分方程式，這些問題的解析計算往往是不現實的。近年來在計算機技術和數值分析方法支持下發展起來的有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）方法則為解決這些復雜的工程分析計算問題提供了有效的途徑。。。。。。。。。。
有限元.doc
【理論】偏微分方程簡介
高階偏微分方程能通過引入中間變量的方式來退化為二階偏微分(組)形式。而大部分可以演化為以下最基本的形式：
其中
ea是質量系數(簡單理解可以認為是質量)，da是阻尼系數(簡單理解可以認為是阻尼)，β是對流系數(代表外場對因變量影響)，a是吸收系數，f是源項(可以簡單理解為激勵)。
上述表達式代表著局部微元中的守恒關系式。
有了最基本的二階偏微分方程形式，清楚各項的物理意義。通過設定不同的系數，可以得到不同的常用物理場方程。
比如，因變量u代表溫度T，c=k代表熱傳導系數，f=0表示無熱源，其他各項為0表示無對流等外場作用。這樣就得到了最基本的熱傳導方程——經典的拋物線偏微分方程。
(估計這種理論的文章仔細看的人又會很少。當成是個人筆記吧。）
展開 彈性力學中微元體應力增量的討論
但筆者在讀2.2節平衡微分方程時，總覺得不夠完美。
如書上所述，增量應力的泰勒級數
為什么可以略去二階微量，真的因為是微量的原因嗎？微量也可以積少成多，不是嗎？所以筆者覺得這里說法不完美。當然，筆者不是說這里的說法是錯的。
首先，復習一下泰勒公式，
導數作權，多項式組合，逼近原函數，這就是泰勒公式。
就可以得到上文的增量應力的泰勒級數。但二階及以上微量為什么能略去呢？沒說清楚。
假如應力場函數是線性函數，二階導數為零，那自然可以略去。但應力場函數并不要求是線性函數。
如果教材換一種表達方式，就容易理解了，這是筆者的建議：
這個式子是偏微分的定義，因為是微元體，可以無限小，所以dx趨于0，所以增量應力為：
沒有提到略去微量，也不存在略去微量，能這樣表示的根本原因就是微元體是無限小的。
另外，建立平衡方程的時候，強調平衡方程是建立在變形以前，而不是變形以后。筆者也覺得這樣說不完善筆者認為不管變形前的微元體還是變形后的微元體，只要是微元體，平衡方程的形式都是一樣的。有一種解釋是，之所以不建立在變形后，是因為建立平衡方程等就是為了求變形，這變形還沒求出來，何談在變形后建立平衡方法呢。邏輯上就不行！好像很有說服力，但筆者依然覺得還不夠，不是核心的理由。筆者認為，最根本的理由是：我們只知道變形前的邊界條件，無法考慮變形對邊界條件的影響，只要有變形，邊界條件也就變了，位置、方向、數值，至少有一個是變的，但我們只能使用變形前的邊界條件，所以我們也只能用變形前的位形來建立平衡方程。
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