1． 研究背景

連續梁一般為多次超靜定結構。常用的超靜定結構內力求解方法有：力法、位移法、彎矩分配法、矩陣位移法，以及有限元法等等，前三者適用于超靜定次數較少情況下的手算，后兩者雖可通過電算解決任意次數的超靜定結構，但又存在著建模復雜的問題。為此，本課題擬研發一種新型求解器，不僅可以計算出任意高次連續梁的內力，同時還避免了復雜建模，具備參數輸入簡便的特點。

2． 求解器原理

求解器的理論基礎為卡式定理，以圖1中的一次超靜定結構為例，推導過程如下所示。

首先，取消B支座，并用未知力X1代替，形成圖2所示的力法基本單元。接著，以A點為坐標原點，AB軸為x軸，建立坐標系，并將AB上任意一點x的彎矩M(x)寫成如下形式：

       

此時，梁的應變能U為：

應變能U對X1求偏微分便可得到B點處的位移：

最后再令B點位移等于0，便可解出未知力X1等于0.375ql。此時，梁的彎矩圖如圖3所示。

圖1 力學模型

圖2 基本單元

圖3 彎矩圖

3． 實例運用

結合Maple語言與卡式定理，便可求解出任意超靜定次數的連續梁內力。以圖4所示

的四次超靜定連續梁為例，簡要描述該求解器的使用方法。

圖4 四次超靜定連續梁簡圖

取該連續梁的基本單元如圖5所示。去除左右兩端固定端，代之以鉸，暴露出支座未知力偶X1和X4；去除中間兩個鉸支座，暴露出支座未知集中反力X2和X3。

圖5 連續梁基本單元

將基本單元上的各個集中力、集中力偶與均布力以矩陣的形式輸入Maple中。以集中力矩陣JZL為例，該矩陣的每一列均代表著一個集中力，具體如圖6所示。矩陣的第一列表明，該基本單元上作用有大小為128kN的集中力，且該集中力距離左端支座2m，距離右端支座10m。

圖6 集中力矩陣

外荷載輸入完畢后，Maple便會基于卡式定理，依次進行偏微分運算與四元方程組求解，最終繪制出該連續梁的彎矩圖，如圖7所示。

圖7 連續梁彎矩圖

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