重根模態
關注創建者：博集華仿 創建時間：2020-03-12
重根模態的實例教程
對于梁板而言，即使是頻率和共振頻率一致，但如果激勵位置為模態節點，則不會引起共振。而對于圓柱體來說，只要頻率和共振頻率一致，任何位置激勵，都可以引起共振，并且振型只是角度的差別，換句話說，圓柱體模態振型的節點不是真正的節點。而這正是重根模態的體現，任何一個共振模態都可以由一對重根模態組合得出。簡言之，圓柱體模態節點和梁板模態節點不一樣，理解圓柱體模態要把握重根模態這個重點概念。
摘要：筆者在前一個帖子《圓柱形結構的模態特點》中總結出，對于圓柱結構，只要激勵頻率為共振頻率，不論激勵位置，都會引起共振，也就是說圓柱結構并不存在和梁板結構一樣的模態節點概念。之所以這樣，可以認為是存在重根模態的原因。本文展示這一屬性帶來的獨特現象。
01 圓柱結構模態分析
02 圓柱結構受單簡諧激勵
圓柱結構在單簡諧激勵下的振動響應，最大值0.05768mm：
03 圓柱結構受雙簡諧激勵
當兩力相位差180度（等于模態振型的相位差）
圓柱結構的振動響應，最大值
0.11513mm=0.05768mm*2
：
如果兩力同相位：
圓柱結構的振動響應，幾乎沒有變形：
也可能是如下兩個力：
圓柱結構的振動響應，看起來像在轉動（其實沒有轉）：
綜上可得結論：
01 單激勵下，頻率相近則發生共振，激勵位置不影響振型的形式，影響振型的角度。
02 雙激勵下，頻率相近不一定發生共振，和相位關系很大，可能相互疊加，也可能相互抵消。
03 雙激勵下，可能產生的圓柱轉動現象，是一種錯覺，各處此起彼伏看起來像轉動而已。
04 電機中徑向電磁力波的力型
在電機定子避開共振設計中，會提到共振的兩個條件：第一，電磁力的頻率和模態頻率接近；第二，電磁力的力型和模態振型接近。從上文的動畫中，可以看出，激勵之間的相位關系確實影響結構的響應。
電機中的徑向電磁力分布在定子圓柱面上，力型其實就是描述這些電磁力的相位關系。
展開 在激振的同時測量激振力和響應信號，然后對信號進行頻響函數分析，將得到的FRF函數矩陣在NTS.LAB模態分析平臺中分析，利用多參考點最小二乘復頻域法（polyLSCF）及最大似然估計方法（MLE），得到繞組端部的模態參數，具體如下。
表1 定子繞組端部徑向模態參
橢圓振型：重根模態
三瓣型
四瓣型
共振區整體振型
由上圖振型圖可知，橢圓振型在42Hz左右，根據相關標準要求（如GB/T 20140），定子繞組在95-100Hz范圍內不存在橢圓振型即符合相關規范要求，表示該結構的設計和運行是合格可靠的。
2.模態振型
從計算模態的角度來講，由特征值求解得到的特征值和特征向量，分別對應一階模態頻率和模態向量（當然也可能存在重根）。模態振型，也稱為模態向量，模態振型向量，模態位移向量。
模態振型，通俗地講是每階模態振動的形態。但從數學上講，模態振型是模態空間的“基”向量。在線性代數中，基向量是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間中任意一個元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合。在模態空間，這個基向量的個數就是模態的階數。重要一點，模態振型的變形不是絕對值，是一種相對值，默認情況是經過對質量矩陣歸一化得到的相知值，該值反映了實際激勵作用下的變形規律。
3.參與系數
在模態計算中，在總體笛卡爾坐標系中，三個平動方向和三個轉動方向上，假設施加單位位移譜激勵，從而得到振型參與系數，即
由于軟件默認采用，對質量矩陣進行歸一化，則
參與系數反映了某階振型在某個方向的參與程度，如圖所示給出了某產品的X方向的振型的參與系數。
圖 參與系數列表
4.有效質量
模態計算中的有效質量計算公式：
由于程序模態計算時，各個振型關于質量矩陣進行歸一化，即
-理想情況下，在每個方向的所有有效質量之和等于結構的總質量，但是這個取決于模態計算提出的模態階數；
-有效質量與結構總質量的比值對于確定提取的模態數量是否足夠，非常有幫助。對于基于模態疊加法的諧響應，瞬態動力學還有響應譜與隨機振動建議提取的模態的數量要達到90%的物理質量。如圖所示的提取12階模態的Z方向的有效質量與實際物理質量比為0.83。
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模態振型，通俗地講是每階模態振動的形態。但從數學上講，模態振型是模態空間的“基”向量。在線性代數中，基向量是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間中任意一個元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合。
之所以這樣，可以認為是存在重根模態的原因。本文展示這一屬性帶來的獨特現象。
而這正是重根模態的體現，任何一個共振模態都可以由一對重根模態組合得出。簡言之，圓柱體模態節點和梁板模態節點不一樣，理解圓柱體模態要把握重根模態這個重點概念。
