重根模態(tài)的案例
圓柱形結(jié)構(gòu)的模態(tài)特點
對于梁板而言，即使是頻率和共振頻率一致，但如果激勵位置為模態(tài)節(jié)點，則不會引起共振。而對于圓柱體來說，只要頻率和共振頻率一致，任何位置激勵，都可以引起共振，并且振型只是角度的差別，換句話說，圓柱體模態(tài)振型的節(jié)點不是真正的節(jié)點。而這正是重根模態(tài)的體現(xiàn)，任何一個共振模態(tài)都可以由一對重根模態(tài)組合得出。簡言之，圓柱體模態(tài)節(jié)點和梁板模態(tài)節(jié)點不一樣，理解圓柱體模態(tài)要把握重根模態(tài)這個重點概念。
電機中徑向電磁力的力型
摘要：筆者在前一個帖子《圓柱形結(jié)構(gòu)的模態(tài)特點》中總結(jié)出，對于圓柱結(jié)構(gòu)，只要激勵頻率為共振頻率，不論激勵位置，都會引起共振，也就是說圓柱結(jié)構(gòu)并不存在和梁板結(jié)構(gòu)一樣的模態(tài)節(jié)點概念。之所以這樣，可以認(rèn)為是存在重根模態(tài)的原因。本文展示這一屬性帶來的獨特現(xiàn)象。
01 圓柱結(jié)構(gòu)模態(tài)分析
02 圓柱結(jié)構(gòu)受單簡諧激勵
圓柱結(jié)構(gòu)在單簡諧激勵下的振動響應(yīng)，最大值0.05768mm：
03 圓柱結(jié)構(gòu)受雙簡諧激勵
當(dāng)兩力相位差180度（等于模態(tài)振型的相位差）
圓柱結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，最大值
0.11513mm=0.05768mm*2
：
如果兩力同相位：
圓柱結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，幾乎沒有變形：
也可能是如下兩個力：
圓柱結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，看起來像在轉(zhuǎn)動（其實沒有轉(zhuǎn)）：
綜上可得結(jié)論：
01 單激勵下，頻率相近則發(fā)生共振，激勵位置不影響振型的形式，影響振型的角度。
02 雙激勵下，頻率相近不一定發(fā)生共振，和相位關(guān)系很大，可能相互疊加，也可能相互抵消。
03 雙激勵下，可能產(chǎn)生的圓柱轉(zhuǎn)動現(xiàn)象，是一種錯覺，各處此起彼伏看起來像轉(zhuǎn)動而已。
04 電機中徑向電磁力波的力型
在電機定子避開共振設(shè)計中，會提到共振的兩個條件：第一，電磁力的頻率和模態(tài)頻率接近；第二，電磁力的力型和模態(tài)振型接近。從上文的動畫中，可以看出，激勵之間的相位關(guān)系確實影響結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。
電機中的徑向電磁力分布在定子圓柱面上，力型其實就是描述這些電磁力的相位關(guān)系。
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在激振的同時測量激振力和響應(yīng)信號，然后對信號進行頻響函數(shù)分析，將得到的FRF函數(shù)矩陣在NTS.LAB模態(tài)分析平臺中分析，利用多參考點最小二乘復(fù)頻域法（polyLSCF）及最大似然估計方法（MLE），得到繞組端部的模態(tài)參數(shù)，具體如下。
表1 定子繞組端部徑向模態(tài)參
橢圓振型：重根模態(tài)
三瓣型
四瓣型
共振區(qū)整體振型
由上圖振型圖可知，橢圓振型在42Hz左右，根據(jù)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求（如GB/T 20140），定子繞組在95-100Hz范圍內(nèi)不存在橢圓振型即符合相關(guān)規(guī)范要求，表示該結(jié)構(gòu)的設(shè)計和運行是合格可靠的。
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2.模態(tài)振型
從計算模態(tài)的角度來講，由特征值求解得到的特征值和特征向量，分別對應(yīng)一階模態(tài)頻率和模態(tài)向量（當(dāng)然也可能存在重根）。模態(tài)振型，也稱為模態(tài)向量，模態(tài)振型向量，模態(tài)位移向量。
模態(tài)振型，通俗地講是每階模態(tài)振動的形態(tài)。但從數(shù)學(xué)上講，模態(tài)振型是模態(tài)空間的“基”向量。在線性代數(shù)中，基向量是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間中任意一個元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合。在模態(tài)空間，這個基向量的個數(shù)就是模態(tài)的階數(shù)。重要一點，模態(tài)振型的變形不是絕對值，是一種相對值，默認(rèn)情況是經(jīng)過對質(zhì)量矩陣歸一化得到的相知值，該值反映了實際激勵作用下的變形規(guī)律。
3.參與系數(shù)
在模態(tài)計算中，在總體笛卡爾坐標(biāo)系中，三個平動方向和三個轉(zhuǎn)動方向上，假設(shè)施加單位位移譜激勵，從而得到振型參與系數(shù)，即
由于軟件默認(rèn)采用，對質(zhì)量矩陣進行歸一化，則
參與系數(shù)反映了某階振型在某個方向的參與程度，如圖所示給出了某產(chǎn)品的X方向的振型的參與系數(shù)。
圖 參與系數(shù)列表
4.有效質(zhì)量
模態(tài)計算中的有效質(zhì)量計算公式：
由于程序模態(tài)計算時，各個振型關(guān)于質(zhì)量矩陣進行歸一化，即
-理想情況下，在每個方向的所有有效質(zhì)量之和等于結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量，但是這個取決于模態(tài)計算提出的模態(tài)階數(shù)；
-有效質(zhì)量與結(jié)構(gòu)總質(zhì)量的比值對于確定提取的模態(tài)數(shù)量是否足夠，非常有幫助。對于基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)，瞬態(tài)動力學(xué)還有響應(yīng)譜與隨機振動建議提取的模態(tài)的數(shù)量要達到90%的物理質(zhì)量。如圖所示的提取12階模態(tài)的Z方向的有效質(zhì)量與實際物理質(zhì)量比為0.83。
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