增量迭代法的案例
線性強(qiáng)化彈塑性u(píng)mat子程序系列-增量迭代法
對(duì)于這樣的非線性問題，一般的有限元程序都是通過增量迭代法求解。增量迭代法的核心思想是，將最終的狀態(tài)看成是一個(gè)加載過程，將載荷分成多個(gè)增量，逐級(jí)加載，然后在每個(gè)增量步內(nèi)多次迭代，收斂后進(jìn)行下一個(gè)增量步。
1、增量法
將{P}荷載分成為m個(gè)荷載增量（相等或不等）
，即總荷載為
每次施加一個(gè)荷載增量，在第i步加載后，荷載為
每一荷載增量產(chǎn)生一個(gè)位移增量
和應(yīng)力增量
在第i步加載后，位移、應(yīng)力分別為
第m步加載后，得到最終位移、應(yīng)力。
增量法的關(guān)鍵在于：已知前一個(gè)增量步的相關(guān)信息，如何由荷載增量
計(jì)算位移增量
和應(yīng)力增量
，進(jìn)而求出位移
和應(yīng)力
的問題，這個(gè)問題通常應(yīng)用牛頓-拉普森迭代法求解，接下來介紹這種方法。
2、修正的牛頓-拉普森迭代法（mN-R）
在載荷
時(shí)，位移為
，下一個(gè)增量為
，下一個(gè)增量步結(jié)束后載荷為
，在已知以上條件后用mN-R方法計(jì)算下一個(gè)增量結(jié)束后的位移。
令
計(jì)算切線剛度
計(jì)算不平衡力
根據(jù)非平衡力計(jì)算位移修正量
位移修正量為
一次迭代后修正的位移為
判斷是否收斂，若不收斂繼續(xù)迭代，直到近似收斂于真實(shí)解
附件有個(gè)小算例，希望能幫助大家理解增量迭代法
同時(shí)也歡迎觀看本次的視頻教程
http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c14014
展開 基于多點(diǎn)位移控制增量的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析
本質(zhì)上，非線性屈曲實(shí)際上要求解的是一個(gè)非線性靜力問題，在有限元中最終轉(zhuǎn)化為非線性方程組的求解，目前常見的非線性方程組的求解方法有牛頓迭代法、擬牛頓迭代法、增量法、增量迭代法和弧長(zhǎng)法等。在abaqus中，如果采用static，general類型的step，則軟件采用增量迭代法進(jìn)行計(jì)算，具體是將荷載/位移分為多個(gè)增量步加載，而每一個(gè)增量步內(nèi)又采用牛頓迭代法進(jìn)行求解。
對(duì)于單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)來說，在abaqus中，其計(jì)算非線性屈曲主要采用兩種方法：增量迭代法和弧長(zhǎng)法。增量迭代法又分荷載增量迭代和位移增量迭代。對(duì)于單層網(wǎng)殼，由于通常情況下其所受的外荷載已知而在外荷載的位移未知，因此實(shí)際工程中事實(shí)上很難采用位移增量迭代，而對(duì)于荷載增量迭代，其具體過程如圖一所示：
圖一 基于荷載增量的增量迭代法
基于荷載增量迭代的具體求解過程可知，如果荷載-位移曲線存在下降段，則荷載增量迭代實(shí)際上在曲線接近峰值時(shí)由于剛度接近0而不收斂，難以繼續(xù)求解，具體過程如圖二所示：
圖二 基于荷載增量的不收斂示意
目前應(yīng)對(duì)此缺陷的方法是采用弧長(zhǎng)法，其具體過程如圖三。由于弧長(zhǎng)法以荷載和位移形成的弧長(zhǎng)作為增量，因此即使是面對(duì)有下降段的非線性屈曲分析，其也能求解。然而實(shí)際上，即使是采用弧長(zhǎng)法，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，即使是采用弧長(zhǎng)法，在面對(duì)平衡路徑跳躍或者突變時(shí)，仍可能存在不收斂。
展開 有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式研究系列4：非線性問題的求解 ￥1
2.1.2 迭代法
2.1.2.1 直接迭代法
直接迭代法取迭代方程為
2.1.2.2 Newton-Raphson法
迭代方程
詳細(xì)推導(dǎo)可見附錄。K的值和上面的直接法是一樣的，但最大區(qū)別是第一次迭代的u作為下一次的初始點(diǎn)。
2.1.2.3 Modified Newton-Raphson法
如果非線性曲線比較平緩，那么在New-Raphson迭代過程中迭代步的切線剛度矩陣可以近似為上幾個(gè)或者第一個(gè)迭代步的，即。這樣可以只在第一個(gè)迭代步計(jì)算一次K，提高每個(gè)迭代步的計(jì)算速度，但由于一般情況下
的變化較大，所以會(huì)降低收斂速度。
2.1.2.4 BFGS法
其實(shí)就是Abaqus非線性Step設(shè)置中的Quasi-Newton方法，在Abaqus做非線性可以在Newton方法和Quasi-Newton二選一。這里不做更多說明。
2.1.3 增量迭代法
一般情況增量法可以保證求解過程的收斂性但收斂速度較慢，而Newton-Raphson法收斂速度較慢但收斂性沒有保證，所以混合法結(jié)合了增量法和Newton-Raphson法來求解非線性問題。混合法首先將外載荷分成若干個(gè)增量步，在每個(gè)增量步內(nèi)采用Newton-Raphson法迭代求解，在增量步內(nèi)求解完成后繼續(xù)求解下一個(gè)增量步，最后將所有增量步累加起來即得到結(jié)果。
2.1.4 收斂判據(jù)
常見的收斂判據(jù)有分為兩種，失衡力準(zhǔn)則、位移準(zhǔn)則
2.1.4.1 失衡力準(zhǔn)則
2.1.4.2 位移準(zhǔn)則
2.2 Abaqus的非線性問題求解
Abaqus的非線性中上面說的三種迭代都涉及，其中General Static分析步采用Newton或者Quasi-Newton方法，而Static, Riks分析步采用Riks弧長(zhǎng)法。我們現(xiàn)在只聚焦到General Static的Newton方法。
展開 Abaqus 中的步進(jìn)、增量、迭代和嘗試概念 碩迪科技
Abaqus 中的步進(jìn)、增量、迭代和嘗試等可能會(huì)在概念上讓 Abaqus 初學(xué)者感到困惑。清楚地了解分析步驟、荷載增量和迭代之間的區(qū)別非常重要。在這篇文章中快速了解 Abaqus 步驟和增量迭代。
在ABAQUS中，步進(jìn)增量迭代是解決非線性問題的一種數(shù)值計(jì)算方法。這種方法通常用于模擬材料的非線性行為、接觸問題、接縫問題等。
在ABAQUS中，步進(jìn)增量迭代是按照一個(gè)小的增量步驟來逐漸逼近最終解的過程。該方法通過迭代求解非線性方程組，將整個(gè)問題分解為多個(gè)小問題來求解。每個(gè)小問題中的方程可以被看作是線性的，因此可以使用線性求解器進(jìn)行求解。
步進(jìn)、增量、迭代中的每個(gè)步驟由以下幾個(gè)關(guān)鍵部分組成：
加載：在每個(gè)步驟中，系統(tǒng)會(huì)施加一個(gè)外部載荷或邊界條件，以模擬實(shí)際情況中的加載過程。這個(gè)加載可以是均勻的、逐漸增加的、逐漸減小的，或者包含不同的加載與卸載階段。
初始估計(jì)：在每個(gè)步驟的開始，需要對(duì)未知變量進(jìn)行一個(gè)初始估計(jì)。這個(gè)估計(jì)將作為迭代求解的初始猜測(cè)。
迭代求解：在每個(gè)步驟中，系統(tǒng)通過迭代來不斷逼近最終解。迭代的過程是通過求解線性方程組來更新未知變量的值，直到達(dá)到收斂準(zhǔn)則為止。
收斂準(zhǔn)則：收斂準(zhǔn)則是判斷當(dāng)前迭代結(jié)果與最終解之間是否滿足一定的收斂標(biāo)準(zhǔn)。如果迭代的誤差小于設(shè)定的閾值，則認(rèn)為計(jì)算結(jié)果已經(jīng)收斂。
通過不斷迭代求解小問題，整個(gè)問題可以被逐漸解決。在ABAQUS中，可以通過在每個(gè)步驟中設(shè)置不同的參數(shù)來控制迭代的過程，以便獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果。
步進(jìn)增量迭代是ABAQUS中解決非線性問題的核心方法之一。通過它，我們可以更好地理解材料的行為，模擬實(shí)際工程問題，并為工程設(shè)計(jì)提供支持。
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有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式研究系列34： 非線性瞬態(tài)分析
得到如下表達(dá)式：
和線性瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)類似，在理論上當(dāng)前時(shí)刻的加速度就應(yīng)該只和當(dāng)前時(shí)刻的位移相關(guān)了，但計(jì)算的數(shù)值解把時(shí)刻分成了多個(gè)，方程如下：
其中
可以取當(dāng)前時(shí)間步的初始時(shí)刻的剛度，那么就是修正的牛頓迭代方法，如果取結(jié)束時(shí)刻的剛度，就是完全牛頓迭代方法。
而加速度一定是要通過起碼兩個(gè)時(shí)刻才能計(jì)算出來的，取前時(shí)刻還是后時(shí)刻的位移來決定加速度就有隱式和顯式之分，任何一種分析理論上都可以得到正確解，只不過顯式不用求剛度，隱式需要求解剛度陣，而通過剛度的解釋可以更容易理解Abaqus內(nèi)部的實(shí)現(xiàn)原理，在本章中，我們選用隱式非線性瞬態(tài)分析。在隱式方法中，將時(shí)間離散，加速度表示為位移的表達(dá)式后，得到下方的公式
這個(gè)就是標(biāo)準(zhǔn)的newton增量迭代法的公式，其中K和F在靜力學(xué)的增量迭代法中表示切線剛度陣和內(nèi)力，只不過這邊需要加上M項(xiàng)：
其中A依然是只與時(shí)間增量步相關(guān)的量，對(duì)不同的隱式算法A的值不同，譬如對(duì)最簡(jiǎn)單的Newmark方法中的梯形隱式算法，加速度在增量步內(nèi)線性變化，譬如下方紅線是在輸入的載荷轉(zhuǎn)換為加速度的值，但計(jì)算中沒法處理連續(xù)的曲線，所以Abaqus或者iSolver中實(shí)際上只會(huì)認(rèn)為增量步內(nèi)加速度時(shí)線性變化的：
此時(shí)得到的修正剛度為：
而F與上一迭代的位移、速度、加速度相關(guān)，可以表示為：
顯然當(dāng)時(shí)間增量步固定時(shí)，此時(shí)的K也是隨增量步和迭代步變化的值，顯然該方程在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)都只能通過迭代。因?yàn)橛?em>迭代，所以F也無(wú)法約去右側(cè)純的應(yīng)力導(dǎo)致的內(nèi)力項(xiàng)。
展開 關(guān)于Abaqus軟件求解的直接法和迭代法
直接法：簡(jiǎn)單、保證有解，但求解時(shí)間較長(zhǎng)，不適合大型模型的計(jì)算，占用磁盤空間較大。
迭代法：求解效率高，解答精確，但前提必須保證收斂。
有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式研究系列17： 幾何非線性的物理含義
應(yīng)變E的取法有很多種，采用真實(shí)應(yīng)變，那么E取為位移U(t)和長(zhǎng)度L(t)的比值，按虛位移的定義，虛位移必然相對(duì)原始長(zhǎng)度比較小，也就是L(t)=L0+U(t)可以用L0代替，E=U(t)/L0，如果是線性系統(tǒng)，U(t)=U*t/總時(shí)間，積分很容易計(jì)算出來，得到應(yīng)變能V=S*U*b*h，因?yàn)閮?nèi)力和外力平衡，減縮積分S4R面積內(nèi)的所有點(diǎn)的應(yīng)力和中心點(diǎn)一樣，所以S=F/截面積=2F/(b*h)，此時(shí)V=2F*U=W。
如果是非線性系統(tǒng)，那么應(yīng)變就沒法簡(jiǎn)單的用E=U(t)/L0，W隨t的變化就是個(gè)非線性過程。每個(gè)時(shí)刻點(diǎn)可以求出一個(gè)斜率，這個(gè)斜率最終會(huì)形成當(dāng)前時(shí)刻點(diǎn)的剛度矩陣。
如果是對(duì)當(dāng)前時(shí)刻的體積積分，那么對(duì)W求導(dǎo)就很困難，因?yàn)閂也是與時(shí)間有關(guān)的，可以選擇一個(gè)不變的初始構(gòu)型V0，此時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變也需要做相應(yīng)的變化，我們假定分別變?yōu)榱薙和E。
也就是剛度矩陣將分為兩塊，上式的前面一部分依然是以前的BDB形式，只不過B換成了當(dāng)前時(shí)刻的應(yīng)變位移矩陣，而后面新增項(xiàng)一般稱為幾何剛度陣，在Abaqus中稱為初始應(yīng)力矩陣（initial stress stiffness）。
2.1.3 幾何非線性的計(jì)算機(jī)求解方式
理論上受力曲線是一條光滑曲線，計(jì)算機(jī)沒法求解曲線上每個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的結(jié)果，只能求解部分有限間隔點(diǎn)的結(jié)果。非線性問題不是一條直線，所以需要多次迭代才能實(shí)現(xiàn)，而不再考慮u=F/K這種一次性就能計(jì)算的簡(jiǎn)單問題。非線性問題求解有多種方法主要分為以下幾類：增量法、迭代法、增量迭代法和弧長(zhǎng)法。
具體的理論和Abaqus實(shí)現(xiàn)過程可參考我們以前系列文章：第四篇：非線性問題的求解。介紹Abaqus在非線性分析中采用的數(shù)值計(jì)算的求解方法。
展開 有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式研究系列22： 幾何非線性的剛度矩陣求解
非線性問題不是一條直線，所以需要多次迭代才能實(shí)現(xiàn)。
非線性問題求解有多種方法主要分為以下幾類：增量法、迭代法、增量迭代法和弧長(zhǎng)法。
在增量迭代法，此時(shí)時(shí)刻t和t+Δt分別表示為當(dāng)前增量步的開始和結(jié)束時(shí)間。此時(shí)W求導(dǎo)表示為增量的形式：
上面的應(yīng)力應(yīng)變理論上將都應(yīng)該取當(dāng)前增量步的結(jié)束時(shí)間的結(jié)果。先將應(yīng)力增量轉(zhuǎn)換為應(yīng)變和本構(gòu)關(guān)系，得到：
1.2.2 解題困難點(diǎn)
1.2.3 困難點(diǎn)的解決方法
解決上述困難點(diǎn)的基本原則：對(duì)一個(gè)非線性問題來說，在增量步中的斜率K即使計(jì)算不精確，只要不是偏差太大，依然收斂，而且滿足精度范圍。K只影響迭代的次數(shù)，不影響結(jié)果的精度。關(guān)于這個(gè)原則，具體的解釋和算例驗(yàn)證可以看我們下面的視頻：
https://www.yqgqt.org.cn/college/video/c13034 Abaqus用戶子程序UMat詳解與開發(fā)工具（未完，待續(xù)）：2.4 整體理論02-Jacobian和應(yīng)力矩陣的含義
當(dāng)然這個(gè)K的近似也不能偏差太大，要不然迭代次數(shù)太多或者根本無(wú)法收斂。本著這個(gè)基本原則，兩個(gè)困難點(diǎn)的解決方法分別如下：
1.2.4 Abaqus中的內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式猜測(cè)
當(dāng)然，我們不知道Abaqus的內(nèi)部計(jì)算方式，但可以通過兩個(gè)外部接口可以猜測(cè)Abaqus的內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式。
（1）困難點(diǎn)1：應(yīng)變增量與增量步結(jié)束時(shí)刻的位移增量的關(guān)系，Abaqus可以通過單元函數(shù)實(shí)現(xiàn)，內(nèi)部單元函數(shù)接口和Abaqus的子程序UEL的接口是一致的，如下表示：
其中，Abaqus的UEL的U和dU表示的是當(dāng)前增量步最后時(shí)刻的全量和增量的緣故。
展開 技術(shù)鄰周報(bào) 第6期：XFEM/復(fù)合材料/Abaqus/優(yōu)化設(shè)計(jì)/Python/彈塑性/Ansys...
12、基于多點(diǎn)位移控制增量的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析
作者：
寒江雪_123
鏈接：https://www.yqgqt.org.cn/content/post/1804579
網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)是一種重要的空間結(jié)構(gòu)形式，對(duì)于單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)來說，穩(wěn)定性問題是其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要問題。對(duì)于網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題來說，考慮材料-幾何雙重非線性下的非線性屈曲的求解方法一直是計(jì)算力學(xué)中的具有挑戰(zhàn)性的研究方向。本質(zhì)上，非線性屈曲實(shí)際上要求解的是一個(gè)非線性靜力問題，在有限元中最終轉(zhuǎn)化為非線性方程組的求解，目前常見的非線性方程組的求解方法有牛頓迭代法、擬牛頓迭代法、增量法、增量迭代法和弧長(zhǎng)法等。在abaqus中，如果采用static，general類型的step，則軟件采用增量迭代法進(jìn)行計(jì)算，具體是將荷載/位移分為多個(gè)增量步加載，而每一個(gè)增量步內(nèi)又采用牛頓迭代法進(jìn)行求解。
13、【Abaqus DEM-FEM耦合】聲音能看得見嗎？Chladni Plate仿真模擬
作者：
USim
鏈接：https://www.yqgqt.org.cn/content/post/1805822
18世紀(jì)，德國(guó)物理學(xué)家恩斯特·克拉尼（Ernst Chladni）在一塊金屬板上撒上沙子，然后用小提琴弓弦拉動(dòng)板子的邊緣，結(jié)果這些細(xì)沙自動(dòng)的排列成非常有規(guī)律的圖案，拉動(dòng)的位置不同，圖案的樣式也會(huì)發(fā)生變化，后來人們把這種圖案叫做克拉尼圖形（Chladni Patterns），這個(gè)就是我們討論的克拉尼板。
展開 塔樓-信號(hào)塔節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分析
考慮大撓度，力和位移收斂準(zhǔn)則，增量迭代法、線性搜索、自適應(yīng)下降、自動(dòng)時(shí)間步來加快收斂速度。。結(jié)構(gòu)用鋼構(gòu)件在材料選取上主要需考慮兩方面的問題:1) 滿足結(jié)構(gòu)的受力性能；2) 材料具有良好的塑性、韌性和可焊性。表35給出了鋼材的物理性能指標(biāo)，表36為 Q345-B強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。
ABAQUS中的“CLOAD”、“BOUDARY”關(guān)鍵字使用思考
依據(jù)增量迭代法的實(shí)現(xiàn)流程，我猜測(cè)ABAQUS的計(jì)算流程是這樣的：abaqus依據(jù)cload給出的荷載數(shù)值，按照增量迭代的計(jì)算方法，在每一個(gè)增量步計(jì)算中，將一定量的荷載施加在結(jié)構(gòu)上，當(dāng)增量步滿足收斂判斷時(shí)，進(jìn)入下一個(gè)增量步，在下一個(gè)增量步中，abaqus再次將一定量的荷載施加在結(jié)構(gòu)上，當(dāng)下一個(gè)增量步滿足收斂判斷時(shí)，再次開始一個(gè)新的增量步，依次類推，一直將荷載疊加代cload關(guān)鍵字后面給出的荷載數(shù)值且收斂時(shí)，計(jì)算結(jié)束。
但是，事實(shí)上不是這樣的，關(guān)鍵字cload后面的數(shù)值并不是總的荷載數(shù)值，準(zhǔn)確來說，在動(dòng)力隱式、固定增量步長(zhǎng)計(jì)算中，這個(gè)荷載數(shù)值是abaqus在每一個(gè)增量步計(jì)算中都會(huì)施加在結(jié)構(gòu)上的荷載數(shù)值。
（）下面是驗(yàn)證部分
設(shè)計(jì)平面板水平拉伸算例，尺寸35x10，彈性模量：2e15，密度2400，泊松比0.25，荷載以及邊界條件愛你如下圖：左端全固定，右端水平拉伸。
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有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式研究系列15： 殼的剪切應(yīng)力
因此有限元中對(duì)殼做了直線法的近似，認(rèn)為變形前垂直于中面的截面的所有材料點(diǎn)變性后依然位于一個(gè)平面內(nèi)，譬如下圖的紅色箭頭表示原先面上的所有材料點(diǎn)受力后組成新的材料點(diǎn)平面。根據(jù)這個(gè)假設(shè)，那么可以發(fā)現(xiàn)所有的剪切角也就是剪切應(yīng)變是個(gè)恒定值，乘以各向同性的剪切模量G，那么得到的剪切應(yīng)力也是恒定值，相當(dāng)于一個(gè)平均效應(yīng)的應(yīng)力，但后面的例子通過iSolver的計(jì)算可以看到，這個(gè)平均剪切應(yīng)力并不是簡(jiǎn)單的是剪力V在截面上的平均。
1.3 Abaqus內(nèi)部實(shí)現(xiàn)流程猜測(cè)
Abaqus程序的內(nèi)部流程由增量迭代法實(shí)現(xiàn)，猜測(cè)和普通的有限元理論是一致的，對(duì)靜力分析步驟如下：
1. 根據(jù)本構(gòu)關(guān)系和尺寸得到K。
2. 由外力平衡得到位移d。
3. 由位移d計(jì)算內(nèi)部剪切應(yīng)力S13、S23，從而得到節(jié)點(diǎn)力。
4. 求非平衡力，判斷收斂，如果收斂，那么結(jié)束。
而S13、S23猜測(cè)應(yīng)該是按板殼近似理論得到的與厚度無(wú)關(guān)的平均應(yīng)力，真實(shí)的剪切應(yīng)力并不參與迭代。
在迭代完畢后，如果用戶需要輸出截面真實(shí)的剪切應(yīng)力，那么根據(jù)前面所說的剪力V來計(jì)算TSHR13/23。
1.4 算例
我們只能驗(yàn)算Abaqus真實(shí)剪切應(yīng)力TSHR13和23的結(jié)果，但沒有找到方法來驗(yàn)證用于Abaqus流程的剪切應(yīng)力是取的平均應(yīng)力還是真實(shí)應(yīng)力，因?yàn)锳baqus的S13，S23沒有找到方法輸出。但通過自編程序iSolver，我們還是計(jì)算了橫向平均剪切應(yīng)力的大小，如果有人也自己編程序，遇到類似問題時(shí)可以對(duì)比一下結(jié)果。
1.4.1 算例說明
只取一個(gè)簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方形。
參數(shù)如下：
尺寸：5X1，厚度0.1。
材料：Young’s Modulus 1e8， Poisson Ratio 0.3。
右側(cè)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)固支。
左側(cè)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)每個(gè)加集中力1e5，z方向。這樣將產(chǎn)生面外彎曲。
展開 有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式研究系列33： 線性瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)
1.1.2 線性瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)的有限元求解
在理論上當(dāng)前時(shí)刻的加速度就應(yīng)該只和當(dāng)前時(shí)刻的位移相關(guān)了，但在計(jì)算機(jī)的數(shù)值求解時(shí)，無(wú)法求出無(wú)限個(gè)連續(xù)時(shí)刻的結(jié)果，所以只能把整個(gè)時(shí)間人為的分成多個(gè)時(shí)間段，方程變?yōu)槿缦拢?此時(shí)，加速度就必須要通過起碼兩個(gè)時(shí)刻的速度或者位移才能計(jì)算出來的，可以有不同的取法，取前時(shí)刻還是后時(shí)刻的位移來決定加速度就有隱式和顯式之分（具體可看系列文章13：顯式和隱式的區(qū)別），任何一種分析理論上都可以得到正確解，只不過顯式不用求剛度，隱式需要求解剛度陣，而通過剛度的解釋可以更容易理解Abaqus內(nèi)部的實(shí)現(xiàn)原理，在本章中，我們選用隱式瞬態(tài)分析。
在隱式方法中，將時(shí)間離散，加速度表示為位移的表達(dá)式后，得到下方的公式
其中K和F在靜力學(xué)的增量迭代法中表示切線剛度陣和內(nèi)力，只不過這邊需要加上M項(xiàng)：
其中A是只與時(shí)間增量步相關(guān)的量，對(duì)不同的隱式算法A的值不同，譬如對(duì)最簡(jiǎn)單的Newmark方法中的梯形隱式算法，加速度在增量步內(nèi)線性變化，下方紅線是在輸入的載荷轉(zhuǎn)換為加速度的值，但計(jì)算中沒法處理連續(xù)的曲線，所以Abaqus或者iSolver等有限元程序?qū)嶋H上只會(huì)認(rèn)為增量步內(nèi)加速度時(shí)線性變化的：
此時(shí)得到的修正剛度為：
顯然當(dāng)時(shí)間增量步固定時(shí)，此時(shí)的K也是個(gè)定值。而F與上一時(shí)刻的包括慣性力在內(nèi)的內(nèi)力，與位移、速度、加速度相關(guān)，可以表示為：
其中B是只與時(shí)間增量步相關(guān)的量。
展開 有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式研究系列21： 自主CAE開發(fā)實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)第二階段總結(jié)
整體按增量迭代法的流程實(shí)現(xiàn)，功能點(diǎn)的擴(kuò)展都以子程序的形式單獨(dú)添加，子程序的接口按Abaqus標(biāo)準(zhǔn)開發(fā)，框架和子程序完全獨(dú)立，可由不同的人維護(hù)。
（2） 易維護(hù)。我們從零開始整套代碼自己編程實(shí)現(xiàn)，對(duì)內(nèi)部的技術(shù)細(xì)節(jié)都非常清楚，新功能點(diǎn)開發(fā)和老功能的更改可以在相對(duì)較短時(shí)間內(nèi)完成。
因此，我們可以在這個(gè)平臺(tái)上不斷編程研究有限元理論和商軟的算法修正，也能將這種研究后的代碼轉(zhuǎn)換為程序放到這個(gè)平臺(tái)中，功能不斷的積累，后面研究新理論時(shí)可以站在以前的理論基礎(chǔ)上前進(jìn)，形成良性循環(huán)。同時(shí)，有些我們實(shí)現(xiàn)不了的部分也可以請(qǐng)專業(yè)性更強(qiáng)的單位協(xié)作開發(fā)。
1.4 邀請(qǐng)你一起上山
iSolver不僅是個(gè)求解器，同時(shí)也是個(gè)學(xué)習(xí)有限元和深入了解商軟內(nèi)部實(shí)現(xiàn)的平臺(tái)。光看理論書很多公式都不夠直觀，而光操作商軟無(wú)論你花多少時(shí)間，總有個(gè)天花板在那，只有真正的自己編程才可能將書本理論、商軟操作和內(nèi)部實(shí)現(xiàn)三者融會(huì)貫通。而iSolver相對(duì)商軟的二次開發(fā)編程來說，學(xué)習(xí)效率和成本也會(huì)降低很多，可以讓學(xué)習(xí)者更多的關(guān)注算法本身，而不用花費(fèi)太多無(wú)意義的時(shí)間在調(diào)試代碼上。我們?cè)谕箝_發(fā)iSolver的過程中，也依然會(huì)在這個(gè)平臺(tái)上一步步的嘗試，如果有了新的功能，也會(huì)像現(xiàn)在一樣開發(fā)相應(yīng)的接口，配合視頻和文章，讓后來者在這個(gè)平臺(tái)上深入理解有限元的基礎(chǔ)理論和商軟的內(nèi)部實(shí)現(xiàn)。
如果有興趣，你可以現(xiàn)在就下載iSolver嘗試一下，照著我們視頻中的例子做做看，紙上得來終覺淺，須知此事要躬行。
展開 有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式研究系列31：自主CAE開發(fā)實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)第三階段總結(jié)
https://www.yqgqt.org.cn/content/post/1266640
》》》iSolver中使用用戶自定義材料UMAT教程視頻：
http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c13034
》》》iSolver中使用用戶自定義單元UEL教程視頻：
https://www.yqgqt.org.cn/college/video/c14948
2.3.3 新增諧響應(yīng)分析和反應(yīng)譜分析
諧響應(yīng)基于直接法和模態(tài)疊加法兩種算法，支持基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)，譜分析包括Abaqus所有模態(tài)組合方法。當(dāng)然，iSolver特色，所有線性模型精度還是和Abaqus相當(dāng)。
（上述模型來源于技術(shù)鄰鄭鈞老師）
詳見下方文章和視頻：
》》》第三十篇：諧響應(yīng)分析原理。
https://www.yqgqt.org.cn/content/post/1290151
》》》結(jié)構(gòu)有限元理論基礎(chǔ)及求解器iSolver演示：20理論系列文章30-諧響應(yīng)分析原理
https://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884
2.3.4 幾何非線性精度修正和功能擴(kuò)展
新增C3D20、C3D20R等體單元的幾何非線性分析，并研究了TL和UL的幾何非線性算法，Abaqus中幾何非線性的剛度、應(yīng)變等問題。支持非線性迭代的線性搜索功能，支持增量迭代法的位移和力的雙重判據(jù)，支持用戶控制收斂判據(jù)誤差，方便對(duì)迭代次數(shù)的控制，自動(dòng)增量步時(shí)支持用戶設(shè)置的最大增量步，超過最大增量步后按最大增量步計(jì)算。
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