傅里葉變換的案例
幾何傅里葉變換
Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學建模中的頻繁操作。我們介紹一個場所謂的幾何區域，在該區域中傅里葉變換可以在不進行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩定相位的概念應用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項技術被證明是快速物理光學的基礎支柱。
1.光學傅立葉變換
在物理光學中，我們處理電磁場的六個復數場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號
(3)
方程2中積分的數值評估需要對a和k域中的場進行取樣，我們用N表示采樣點的數量，所得的離散傅里葉變換構成了N2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學中，我們通常有強梯度的相位函數，從而導致很大的N值，只有在十分對稱的光學系統中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學上遇到N太大而不能進行快速計算傅里葉變換的問題，這是快速物理光學概念的嚴重阻礙。
展開 [VirtualLab] 幾何傅里葉變換
Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學建模中的頻繁操作。我們介紹一個場所謂的幾何區域，在該區域中傅里葉變換可以在不進行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩定相位的概念應用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項技術被證明是快速物理光學的基礎支柱。
1.光學傅立葉變換
在物理光學中，我們處理電磁場的六個復數場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號
(3)
方程2中積分的數值評估需要對a和k域中的場進行取樣，我們用N表示采樣點的數量，所得的離散傅里葉變換構成了N2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學中，我們通常有強梯度的相位函數，從而導致很大的N值，只有在十分對稱的光學系統中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學上遇到N太大而不能進行快速計算傅里葉變換的問題，這是快速物理光學概念的嚴重阻礙。
展開 幾何傅里葉變換.
在光學中，當場不在苛性區時，通常滿足這種條件，穩定相位的概念也揭示出來
(8)
由φ(p)的勒讓變換
(9)
復函數
(10)
權重因子取決于φ(p)的二階導數，該結果通過將空間域中的場值映射到具有附加權重因子的k域來表示傅里葉變換，其僅作為映射本身而依賴于波前相位。因此，傅里葉變換主要執行場分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。
我們已經開發了一個數值算法來執行幾何傅里葉變換。它利用場的混合采樣。相比于函數 ，波前相位φ(p)本身可以通過少量N(φ)的非等距分布值而參數化。樣條插值的節點是可能的候選項。
而且，我們必須用等距分布的采樣點N(U)來處理函數U(p)的采樣。一般來說，我們有，幾何傅里葉變換的數值主要基于 中的線性運算，因此速度非常快；N(U)中U值的智能包也可以快速完成，V的采樣可以完全避免。總之，當幾何傅立葉變換足夠精確時，由此產生的數值算法能夠實現非常快速的傅里葉變換，對于強波前相位來說就是這種情況。
對于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數值上對于非常弱的波前相位有效的常規FFT，我們獲得了一個強大的三元組來處理所有相關傅里葉變換的情況。它在VirtualLab Fusion的第二代技術更新中得以實現，構成了其快速物理光學技術的基礎[3]，例如古伊相移就是用這個概念來研究的[4]。
3 衍射、幾何和遠場區域
我們來考慮平面z中的一個場，它可以通過幾何傅立葉變換以足夠的精度（由質量標準來指定）進行變換。那么我們說該平面位于幾何區域（GFZ），否則場在其衍射區（DFZ） 。自然地，衍射場區域位于焦點區域附近，而GFZ出現在距焦點區域較遠處。
展開 快速傅里葉變換在信號處理中的應用
圖1 時域頻域關系圖
這就是傅里葉變換的最基本最簡單的應用，當然這是從數學的角度去看傅立葉變換。在信號分析過程中，傅里葉變換的作用就是將組成這個回波信號的所有輸入源在頻域中按照頻率的大小來表示出來。傅里葉變換之后，信號的幅度譜可表示對應頻率的能量，而相位譜可表示對應頻率的相位特征。經過傅立葉變換可以在頻率中很容易的找出雜亂信號中各頻率分量的幅度譜和相位譜，然后根據需求，進行高通或者低通濾波處理，最終得到所需要頻率域的回波。
傅里葉變換在圖像處理過程中也有非常重要的作用，設信號f是一個能量有限的模擬信號，則其傅里葉變換就表示信號f的頻譜。從純粹的數學意義上看，傅里葉變換是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅里葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數。傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數。傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，其意義是指圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅里葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們就可以直觀地看出圖像的能量分布：如果頻譜圖中暗的點數更多，那么實際圖像是比較柔和的，這是因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小；反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那么實際圖像一定是尖銳的、邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。
以信號處理過程中的一個例子來詳細說明FFT的效果：假設采樣頻率為Fs，信號頻率為F，采樣點數為N。那么FFT處理之后的結果就是一個點數為N點的復數。每一個點就對應著一個頻率點，而每個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。
展開 
[VirtualLab] 傅里葉變換設置——實例討論
在本文中，我們將通過不同實例的討論來示范如何對VirtualLab Fusion中有三種傅里葉變換算法進行設置。
2. 三種傅里葉變換
? 快速傅里葉變換(FFT)
- 對于不同數值計算，一種標準而高效的算法。
? 半解析傅里葉變換(SFT)
- 一種無需近似的高效重構。
- 二次相的解析處理，類似chirp-z變換。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 27, 15335-15350 (2019)
? 逐點傅里葉變換(PSF)
- 受靜態相位理論啟發的一種近似方法，但采用純粹的數學形式來表達。
- 對強波前相位是一種高效而精準的方法。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 28, 10552-10571 (2020)
3. 每個元件的設置
? 傅立葉變換設置
- 對于每個元件和探測器，都可以使用 “傅立葉變換”選項卡。
- VirtualLab Fusion自動選擇所有激活的傅立葉變換選項；不選擇未激活的選項。
- 傅立葉變換的組合影響自由空間中向前傳播過程的建模。(這意味著不僅適用于元件前面的自由空間——它也適用于具有復雜通道配置的情況)
4. 每個元件的設置
? 傅里葉變換設置
?
5. 默認的傅里葉變換設置
? 光源模式和探測器的設置
- 對于光源模式和探測器，默認情況下將激活所有三個傅里葉變換選項。
- 在特殊情況下，對于光源模式或探測器而言，衍射可能無關緊要。
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在本文中，我們將通過不同實例的討論來示范如何對VirtualLab Fusion中有三種傅里葉變換算法進行設置。
2. 三種傅里葉變換
? 快速傅里葉變換(FFT)
- 對于不同數值計算，一種標準而高效的算法。
? 半解析傅里葉變換(SFT)
- 一種無需近似的高效重構。
- 二次相的解析處理，類似chirp-z變換。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 27, 15335-15350 (2019)
? 逐點傅里葉變換(PSF)
- 受靜態相位理論啟發的一種近似方法，但采用純粹的數學形式來表達。
- 對強波前相位是一種高效而精準的方法。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 28, 10552-10571 (2020)
3. 每個元件的設置
? 傅立葉變換設置
- 對于每個元件和探測器，都可以使用 “傅立葉變換”選項卡。
- VirtualLab Fusion自動選擇所有激活的傅立葉變換選項；不選擇未激活的選項。
- 傅立葉變換的組合影響自由空間中向前傳播過程的建模。(這意味著不僅適用于元件前面的自由空間——它也適用于具有復雜通道配置的情況)
4. 每個元件的設置
? 傅里葉變換設置
?
5. 默認的傅里葉變換設置
? 光源模式和探測器的設置
- 對于光源模式和探測器，默認情況下將激活所有三個傅里葉變換選項。
- 在特殊情況下，對于光源模式或探測器而言，衍射可能無關緊要。
展開 半解析快速傅里葉變換
我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
1.簡介
物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數量近似成線性關系。在光學中，我們經常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數值計算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論2.1 場的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號
對應6個場分量，也就是V = (E, H)：
(1)
在公式1中，我們假設場|
有兩部分：衍射場
和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場
。假設exp(iψ(ρ))可由其實數系數C和D = (Dx, Dy)給出：
(2)顯然，在強二次相位情況中，全場
比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V?(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知： (3)
通常來說，項
必須進行數值計算處理。另一方面，從數學角度[2]我們可知：
(4)
適用于任何復
，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
展開 半解析快速傅里葉變換
我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
1.簡介
物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數量近似成線性關系。在光學中，我們經常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數值計算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論
2.1 場的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號對應6個場分量，也就是V = (E, H)：
(1)
在公式1中，我們假設場有兩部分：衍射場和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場。假設exp(iψ(ρ))可由其實數系數C和D = (Dx, Dy)給出：
(2)
顯然，在強二次相位情況中，全場比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V?(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知：
(3)
通常來說，項必須進行數值計算處理。另一方面，從數學角度[2]我們可知：
(4)
適用于任何復，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
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我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
1.簡介
物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數量近似成線性關系。在光學中，我們經常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數值計算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論
2.1 場的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號對應6個場分量，也就是V = (E, H)：
(1)
在公式1中，我們假設場有兩部分：衍射場和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場。假設exp(iψ(ρ))可由其實數系數C和D = (Dx, Dy)給出：
(2)
顯然，在強二次相位情況中，全場比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V?(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知：
(3)
通常來說，項必須進行數值計算處理。另一方面，從數學角度[2]我們可知：
(4)
適用于任何復，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
展開 傅里葉變換光譜儀
傅里葉變換光譜儀
傅里葉變換光譜儀（FTS）是利用干涉儀與一個平移反射鏡來產生干涉圖樣的光學儀器。干涉圖的傅里葉變換提供了光源的頻譜。由于FTS提高了測量速度、分辨率的提升和簡潔的機械結構性[1]，FTS方法通常優于單色儀。在FRED中模擬FTS并不復雜。在本案例中，在FRED中將會使用一個嵌入式腳本來創建和運行FTS模型。將會使用該模型分析三種不同的光譜。
在FRED中建立光譜儀
為了簡化過程，使用一個理想的點光源、理想的透鏡和理想的分束表面（圖1）。詳細的擴展光源、真實的鏡頭、分束器或線柵分束器可以納入其中使之用于更加實際的分析。
圖1 簡單的傅里葉變換光譜儀模型，由一個點光源、理想透鏡和具有可移動反射鏡的邁克爾遜干涉儀組成。來自光源的準直光束被送入到50/50的分束器上。反射光傳播到一個固定的反射鏡（綠色），透射光傳播到一個平移反射鏡（藍色）。來自兩個路徑的光經過分束器后重新組合，收集到的能量在（黑色）探測器處測量。
FRED模型的第一步是創建一個相干的點光源對象。接著，創建一個光譜并分配給光源。光譜可以從文本文件導入、圖片的數字化取樣或者由特定的函數（高斯或黑體）計算得到。使用FRED“lens Module”表面類型構成的“自定義元件”對象，可以創建理想透鏡，透鏡位于距離點光源10mm處。“lens Module”表面具有10mm的焦距和5mm的半孔徑。接下來，使用與準直光束成45度角的平面表面創建理想分束表面。創建了自定義“50/50”分束涂層（圖2）并應用到該表面。
圖2 自定義50/50分束涂層規格。
展開 用上傅里葉變換，很快啊，AI幾秒鐘就能解出偏微分方程(轉載)
傅里葉變換
后來，加州理工大學與普渡大學的團隊，開發了另一種新的方法——“傅里葉神經算子”（FNO）。
FNO比DeepONet在計算上要更加簡單，因為DeepONet還要淺層網絡去近似模擬算子，而FNO有現成的方法可用，就是傅里葉變換。
有些音樂軟件顯示的頻譜圖，其實就是一種傅里葉變換，它把連續變化聲音信號轉換到頻率空間中。
經過傅里葉變換，原來函數之間的卷積，在頻率空間中變成了更簡單的乘積。
FNO的核心是傅里葉層。
傅里葉層會在訓練數據推送到神經網絡的單層之前，對其進行傅里葉變換，然后用一個線性變換R過濾掉其中的高頻部分，再通過傅里葉逆變換的得到原空間的函數。
FNO可以顯著提高求解PDE的速度。在一個求解NS方程的例子中，需要3萬次模擬，FNO求解時間不到一秒，DeepONet耗時2.5秒，而在這種情況下，傳統的求解器需要18個小時。
團隊介紹
該研究的第一作者是Zongyi Li，是加州理工計算機和數學系的一名博士二年級學生。研究方向為機器學習、理論計算機科學和應用數學。
他的導師是英偉達著名女科學家Anima Anandkumar。
作為AI界的風云女性，Anima不僅在研究成果上戰績斐然，在學術圈也是懟天懟地。
此前，她曾在博客公開喊話，強烈反對發論文不給代碼行為，呼吁學術會議強制要求投稿同時必須公開代碼，以對造假論文進行追責、利于行業公平競爭。
并且為了對抗AI學術界對女性的歧視和調侃，她曾在Twitter上大戰LeCun。以一己之力讓頂級學術會議NIPS改了名字，避免了女性參會者的尷尬。
Anima希望學術界更關注女性的學術成就，而不是長相。當有人在她的講座視頻下夸她漂亮時，她的做法是——刪評。
展開 
VirtualLab：自由空間傳播算子中傅里葉變換技術的自動選擇
結合不同的傅里葉變換技術，它為自由空間傳播的不同情況提供了數值有效的解決方案。根據具體情況自動選擇合適的傅里葉變換算法。
自由空間傳播算子的概念
VirtualLab Fusion中有效的傅里葉變換技術
例1:球面波的傳播
建模任務
仿真結果：焦平面上
仿真結果：略超過焦平面
仿真結果：遠離焦平面
例2：截斷平面波的傳播
仿真結果：近場平面
仿真結果：中間平面
仿真結果：遠場平面
文件信息
FRED案例展示：傅里葉變換光譜儀
簡介
傅里葉變換光譜儀（FTS）是利用干涉儀與一個平移反射鏡來產生干涉圖樣的光學儀器。干涉圖的傅里葉變換提供了光源的頻譜。由于FTS提高了測量速度、分辨率的提升和簡潔的機械結構性[1]，FTS方法通常優于單色儀。在FRED中模擬FTS并不復雜。在本案例中，在FRED中將會使用一個嵌入式腳本來創建和運行FTS模型。將會使用該模型分析三種不同的光譜。
在FRED中建立光譜儀
為了簡化過程，使用一個理想的點光源、理想的透鏡和理想的分束表面（圖1）。詳細的擴展光源、真實的鏡頭、分束器或線柵分束器可以納入其中使之用于更加實際的分析。
圖1 簡單的傅里葉變換光譜儀模型，由一個點光源、理想透鏡和具有可移動反射鏡的邁克爾遜干涉儀組成。來自光源的準直光束被送入到50/50的分束器上。反射光傳播到一個固定的反射鏡（綠色），透射光傳播到一個平移反射鏡（藍色）。來自兩個路徑的光經過分束器后重新組合，收集到的能量在（黑色）探測器處測量。
FRED模型的第一步是創建一個相干的點光源對象。接著，創建一個光譜并分配給光源。光譜可以從文本文件導入、圖片的數字化取樣或者由特定的函數（高斯或黑體）計算得到。使用FRED“lens Module”表面類型構成的“自定義元件”對象，可以創建理想透鏡，透鏡位于距離點光源10mm處。“lens Module”表面具有10mm的焦距和5mm的半孔徑。接下來，使用與準直光束成45度角的平面表面創建理想分束表面。創建了自定義“50/50”分束涂層（圖2）并應用到該表面。
圖2 自定義50/50分束涂層規格。如果指定一個單一波長，則涂層將同樣適用于光源的所有波長。
系統中的兩個反射鏡是通過兩個FRED的“Mirror”對象，它們都具有“反射”涂層和“反射所有”光線追跡控件。
展開 用matlab對信號進行傅里葉變換的入門實例
傅氏變換分析是信號分析中很重要的方法，借助matlab可以很方便的對各類信號進行傅氏頻域分析。本文介紹了集中離散的傅氏變換以及matlab實現方法。
1、離散序列的傅里葉變換DTFT (Discrete Time Fourier Transform)
實現代碼
N=8;
%原離散信號有8點
n=[0:1:N-1];
%原信號是1行8列的矩陣
xn=0.5.
傅里葉變換光譜儀
簡介
傅里葉變換光譜儀（FTS）是利用干涉儀與一個平移反射鏡來產生干涉圖樣的光學儀器。干涉圖的傅里葉變換提供了光源的頻譜。由于FTS提高了測量速度、分辨率的提升和簡潔的機械結構性[1]，FTS方法通常優于單色儀。在FRED中模擬FTS并不復雜。在本案例中，在FRED中將會使用一個嵌入式腳本來創建和運行FTS模型。將會使用該模型分析三種不同的光譜。
在FRED中建立光譜儀
為了簡化過程，使用一個理想的點光源、理想的透鏡和理想的分束表面（圖1）。詳細的擴展光源、真實的鏡頭、分束器或線柵分束器可以納入其中使之用于更加實際的分析。
圖1 簡單的傅里葉變換光譜儀模型，由一個點光源、理想透鏡和具有可移動反射鏡的邁克爾遜干涉儀組成。來自光源的準直光束被送入到50/50的分束器上。反射光傳播到一個固定的反射鏡（綠色），透射光傳播到一個平移反射鏡（藍色）。來自兩個路徑的光經過分束器后重新組合，收集到的能量在（黑色）探測器處測量。
FRED模型的第一步是創建一個相干的點光源對象。接著，創建一個光譜并分配給光源。光譜可以從文本文件導入、圖片的數字化取樣或者由特定的函數（高斯或黑體）計算得到。使用FRED“lens Module”表面類型構成的“自定義元件”對象，可以創建理想透鏡，透鏡位于距離點光源10mm處。“lens Module”表面具有10mm的焦距和5mm的半孔徑。接下來，使用與準直光束成45度角的平面表面創建理想分束表面。創建了自定義“50/50”分束涂層（圖2）并應用到該表面。
圖2 自定義50/50分束涂層規格。如果指定一個單一波長，則涂層將同樣適用于光源的所有波長。
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