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==概述==

本系列文章研究成熟的有限元理論基礎(chǔ)及在商用有限元軟件的實(shí)現(xiàn)方式，通過(guò)

（1）   基礎(chǔ)理論

（2）   商軟操作

（3）   自編程序

三者結(jié)合的方式將復(fù)雜繁瑣的結(jié)構(gòu)有限元理論通過(guò)簡(jiǎn)單直觀的方式展現(xiàn)出來(lái)，同時(shí)深層次的學(xué)習(xí)有限元理論和商業(yè)軟件的內(nèi)部實(shí)現(xiàn)原理。

有限元的理論發(fā)展了幾十年已經(jīng)相當(dāng)成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，商用CAE軟件在傳統(tǒng)的理論基礎(chǔ)上會(huì)做相應(yīng)的修正以解決工程中遇到的不同問(wèn)題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個(gè)主流商用軟件手冊(cè)中都會(huì)注明各個(gè)單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒(méi)有具體的實(shí)現(xiàn)公式。商用軟件對(duì)外就是一個(gè)黑盒子，除了開(kāi)發(fā)人員，使用人員只能在黑盒子外猜測(cè)內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式。

一方面我們查閱各個(gè)主流商用軟件的理論手冊(cè)并通過(guò)進(jìn)行大量的資料查閱猜測(cè)內(nèi)部修正方法，另一方面我們自己編程實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)有限元求解器，通過(guò)自研求解器和商軟的結(jié)果比較來(lái)驗(yàn)證我們的猜測(cè)，如同管中窺豹一般來(lái)研究的修正方法，從而猜測(cè)商用有限元軟件的內(nèi)部計(jì)算方法。我們關(guān)注CAE中的結(jié)構(gòu)有限元，所以主要選擇了商用結(jié)構(gòu)有限元軟件中文檔相對(duì)較完備的Abaqus來(lái)研究?jī)?nèi)部實(shí)現(xiàn)方式，同時(shí)對(duì)某些問(wèn)題也會(huì)涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問(wèn)題在數(shù)學(xué)上其實(shí)并不嚴(yán)謹(jǐn)，同時(shí)由于水平有限可能有許多的理論錯(cuò)誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機(jī)會(huì)。

自主結(jié)構(gòu)有限元求解器iSolver介紹視頻：

                                             http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884

==第25篇：顯式分析的穩(wěn)定時(shí)間增量==

相對(duì)隱式分析，顯式分析在單元函數(shù)中的計(jì)算要相對(duì)簡(jiǎn)單，只需計(jì)算應(yīng)力的更新，而少了單元?jiǎng)偠染仃嚨那蠼猓@式在增量步的自動(dòng)步長(zhǎng)、網(wǎng)格畸變的控制、質(zhì)量縮放等方面又比隱式要多做許多工作。其中求解過(guò)程中的穩(wěn)定時(shí)間增量是每個(gè)顯式分析都會(huì)遇到的問(wèn)題，由于沒(méi)有迭代，顯式分析都能得到某個(gè)結(jié)果，不存在收斂問(wèn)題，而結(jié)果的正確性和穩(wěn)定時(shí)間增量密切相關(guān)，很多人做顯式分析都一般直接交給商軟去做自動(dòng)步長(zhǎng)，當(dāng)商軟顯式結(jié)果發(fā)散或者結(jié)果差異很大時(shí)也不清楚怎么修改時(shí)間步長(zhǎng)。同時(shí)，對(duì)于顯式自定義單元VUEL等子程序，Abaqus要求用戶(hù)自己計(jì)算穩(wěn)定時(shí)間增量dtimestable，Abaqus會(huì)根據(jù)用戶(hù)計(jì)算的穩(wěn)定時(shí)間增量來(lái)限制它的增量步長(zhǎng)。本文將簡(jiǎn)單介紹一下穩(wěn)定時(shí)間增量的概念和理想及工程應(yīng)用上的兩種計(jì)算方式，并用Abaqus中一個(gè)簡(jiǎn)單的算例來(lái)驗(yàn)證工程上的穩(wěn)定時(shí)間增量的計(jì)算公式，便于你對(duì)穩(wěn)定時(shí)間增量的理解和自己編程實(shí)現(xiàn)。

                                             

1.1.1 穩(wěn)定性的含義

在本系列13篇：顯式和隱式的區(qū)別中提到，顯式分析都是條件穩(wěn)定的，譬如下面求解一個(gè)微分方程：

                                                                        y'(x) = -y+x+1

其中y(0) = 1。顯式分析可得到下面的增量表達(dá)式：

當(dāng)h<2時(shí)，y收斂，但h>=2時(shí)，y將發(fā)散。當(dāng)h=2.1時(shí)，可發(fā)現(xiàn)顯式分析的藍(lán)色線將和理論值越來(lái)越遠(yuǎn)。

上面針對(duì)的是一個(gè)具體的數(shù)學(xué)函數(shù)，對(duì)一個(gè)任意的有限元?jiǎng)恿W(xué)系統(tǒng)，只要采用顯式分析，也同樣存在穩(wěn)定性問(wèn)題。動(dòng)力學(xué)問(wèn)題如果把質(zhì)量導(dǎo)致的慣性力考慮在內(nèi)，也是在解下面的平衡方程：

如果上式所有量都是t或者所有量都是t+dt，那么上式肯定是平衡的，沒(méi)有一點(diǎn)問(wèn)題。但在有限元求解過(guò)程中，只能通過(guò)已知時(shí)刻點(diǎn)t來(lái)求未知時(shí)刻點(diǎn)t+dt的值，而某些值在t+dt的值是不知道的，譬如剛度矩陣K，所以，只能退而求其次，上式中部分是時(shí)刻t的，譬如剛度矩陣K，而部分是時(shí)刻t+dt的值，譬如載荷F和質(zhì)量陣M。

這么取值后上式左邊就不再=0了，產(chǎn)生了人為導(dǎo)致的誤差。而這種人為的誤差，如果是隱式分析，那么可以通過(guò)迭代來(lái)解決，迭代多次后最后的時(shí)刻的Tol可以達(dá)到預(yù)定的小量，方程依然是平衡的。但對(duì)顯式分析，流程如下所示，不會(huì)再次迭代，只會(huì)進(jìn)行下一次的t+2*dt的求解，這樣，就可能導(dǎo)致兩種結(jié)果：

（1）   t時(shí)刻的誤差將在t+dt時(shí)刻累積，此時(shí)系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。譬如上圖中的藍(lán)色曲線。

（2）   t時(shí)刻的誤差在t+dt時(shí)刻不累積，此時(shí)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。譬如上圖中的如果h<2。

1.1.2 穩(wěn)定時(shí)間增量的理想計(jì)算方式

總結(jié)顯式分析中增量步之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)增量步和上一個(gè)增量步有簡(jiǎn)單的關(guān)系：

那么當(dāng)前時(shí)刻和第一個(gè)時(shí)刻的一個(gè)簡(jiǎn)單關(guān)系：

而這個(gè)C類(lèi)似于一個(gè)比例系數(shù)，與dt的取值有關(guān)，譬如上述函數(shù)例子中C=1-dt。對(duì)這種只有一個(gè)自由度的問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)|C|<1時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。在數(shù)學(xué)上可以證明C與系統(tǒng)的特征值是密切相關(guān)的。也就是說(shuō)dt與系統(tǒng)的特征值有關(guān)，對(duì)一個(gè)有限元系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明dt如果滿足下式就是穩(wěn)定的：

其中

為有限元系統(tǒng)的最大特征值。我們稱(chēng)右端為穩(wěn)定時(shí)間增量的理想計(jì)算方式。

1.1.3 穩(wěn)定時(shí)間增量簡(jiǎn)化的必要條件

在穩(wěn)定時(shí)間增量dt_ideal的理想計(jì)算方式中，需要計(jì)算有限元系統(tǒng)的最大特征值。而如果每次顯式分析前都要計(jì)算一遍最大特征值，且對(duì)幾何變化大的問(wèn)題，在每個(gè)增量步都要更新一次，那么計(jì)算量將非常大。更何況對(duì)非對(duì)稱(chēng)的剛度等系統(tǒng)，還沒(méi)有辦法得到特征值。在實(shí)際有限元的工程計(jì)算中，會(huì)找另一種簡(jiǎn)單的穩(wěn)定時(shí)間增量dt_engeer的工程計(jì)算方式，這個(gè)dt_engeer必須滿足兩個(gè)條件：

（1）   條件1：這種計(jì)算方式并不一定嚴(yán)格求出上面的dt_ideal，但求出的穩(wěn)定時(shí)間一定比理想的穩(wěn)定時(shí)間增量更小。即當(dāng)有限元的時(shí)間增量步長(zhǎng)dt<dt_engeer，必然有dt<dt_ideal，此時(shí)系統(tǒng)依然滿足穩(wěn)定性要求。

（2）   條件2：dt_engeer比dt_ideal不能小太多，應(yīng)該是同一量級(jí)，否則增量步將大幅增加，導(dǎo)致系統(tǒng)耗時(shí)過(guò)大。

1.1.4 一般有限元的穩(wěn)定時(shí)間增量的工程計(jì)算方法

本著這個(gè)原則，一般有限元上做了兩次計(jì)算簡(jiǎn)化工作：

（1）第一步：是將整個(gè)系統(tǒng)的最大特征值取為所有單個(gè)單元的特征值,由于系統(tǒng)的約束會(huì)壓縮總體頻率，導(dǎo)致dt_element<dt_ideal。也就是：

（2）單個(gè)單元依然有特征值求解問(wèn)題，因此，再進(jìn)一步簡(jiǎn)化，實(shí)際取的穩(wěn)定時(shí)間增量不再需要計(jì)算特征值，而是估算為：

其中min表示對(duì)所有單元遍歷后的最小值，Le為單元特征長(zhǎng)度，Cd為材料疏密波速度，對(duì)桿件有Cd=sqrt(E/d), E、d分別為桿長(zhǎng)度、楊氏模量和密度。按此公式計(jì)算將非常簡(jiǎn)單，只需遍歷所有單元，將得到的參數(shù)代入上式即可。

為了驗(yàn)證上述簡(jiǎn)化滿足前面所述兩點(diǎn)，我們舉一個(gè)由桿單元truss組成的簡(jiǎn)單系統(tǒng)來(lái)驗(yàn)證一下dt_engeer的具體值。此時(shí)，每個(gè)桿單元的頻率可以簡(jiǎn)單的估算為

其中L、E、d分別為桿長(zhǎng)度、楊氏模量和密度。注意上式我們用了集中質(zhì)量。此時(shí)的第一步穩(wěn)定時(shí)間增量

顯然，dt_engeer和dt_element同一量級(jí)，且略小。

由于dt_engeer<dt_ideal，可以發(fā)現(xiàn)有限元商軟采用的dt_engeer不一定是最優(yōu)的，如果你能找到一個(gè)時(shí)間增量步dt，使得dt_engeer<dt<dt_ideal，那么可以比商軟默認(rèn)的耗時(shí)更少。后面的例子中也證明了這點(diǎn)。

1.1.5 Abaqus對(duì)穩(wěn)定時(shí)間增量的工程計(jì)算方法的修正

Abaqus對(duì)穩(wěn)定時(shí)間增量的工程計(jì)算還做了兩處不同的修正：

（1）   考慮Bulk viscosity效應(yīng)修正工程穩(wěn)定時(shí)間增量,主要是利用Linear Bulk Viscosity系數(shù)b1減小dt_engeer。即

b1在Step->Other的Linear Bulk Viscosity可修改。

默認(rèn)為0.06，此時(shí)

（2）   為了避免系統(tǒng)對(duì)實(shí)數(shù)的精度或者截?cái)嗾`差，加了一個(gè)Tolerance，使得

顯然這個(gè)Tolerance是個(gè)遠(yuǎn)小于1的值，Abaqus取為0.01，

• 此值我們沒(méi)發(fā)現(xiàn)在Abaqus界面上怎么修改，如果誰(shuí)能找到，也希望能交流一下。

1.2 Abaqus的實(shí)現(xiàn)驗(yàn)證

我們將在Abaqus中采用一個(gè)簡(jiǎn)單的顯式分析算例，來(lái)驗(yàn)證兩個(gè)問(wèn)題：

（1）   Abaqus采取的穩(wěn)定時(shí)間增量和上述最后的穩(wěn)定時(shí)間增量的計(jì)算公式一致。

（2）   對(duì)于某些問(wèn)題，其實(shí)Abaqus采取的穩(wěn)定時(shí)間增量是dt_engeer，相對(duì)保守，實(shí)際上可以取一個(gè)更加接近dt_ideal的值，系統(tǒng)依然是穩(wěn)定的。

1.2.1 模型例子

模型為一根長(zhǎng)1m，截面為4平方cm的圓柱，左端5cm由Steel組成，楊氏模量和密度分別是2e11Pa和7800千克每立方米，剩下部分由碎石組成，楊氏模量和密度分別是4.432e6Pa和1560千克每立方米。右端點(diǎn)固定在墻上，左端點(diǎn)面載荷4e6sin(150t)。我們只研究0-0.01s時(shí)間內(nèi)的位移。

在Abaqus中建模如下，我們簡(jiǎn)單將模型劃分為20個(gè)單元。采用truss單元。

1.2.2 穩(wěn)定時(shí)間增量的理論值

1.2.2.1 穩(wěn)定時(shí)間增量的理想計(jì)算的理論值

理想計(jì)算方式需要先計(jì)算系統(tǒng)最大模態(tài)特征，由于是20個(gè)單元，采用truss單元，就相當(dāng)于只有21個(gè)自由度，右端約束后，無(wú)約束的自由度為20個(gè)，得到的K和M矩陣的秩為20，那么無(wú)論用哪種模態(tài)計(jì)算方法，得到的模態(tài)最大為20階。在Abaqus中計(jì)算，結(jié)果如下，可得20階的模態(tài)頻率為30864Hz。

 

1.2.2.2 穩(wěn)定時(shí)間增量的工程計(jì)算的理論值

最小的工程穩(wěn)定時(shí)間增量顯然是左端的Steel單元，此時(shí)為：

1.2.3 自動(dòng)步長(zhǎng)

在Abaqus中選擇顯式分析，dynamic,explicit，同時(shí)設(shè)置為自動(dòng)步長(zhǎng)。

運(yùn)行結(jié)束后查看.sta文件，Abaqus會(huì)在此文件中在第一個(gè)增量前記錄前十個(gè)最小的單元穩(wěn)定時(shí)間增量。可發(fā)現(xiàn)如下所示，最小的單元穩(wěn)定時(shí)間增量為第一個(gè)單元，且值和理論完全一致：

此時(shí)總共增量步為1087次，得到的左端位移隨時(shí)間的變換曲線如圖：

1.2.4 固定步長(zhǎng)

Abaqus中改為固定步長(zhǎng)：

取固定步長(zhǎng)分別為dt2=1e-5和dt3=1.06e-5，即

                                                             dt_engeer<dt2<dt_ideal<dt3

得到的左端位移隨時(shí)間變化曲線如下：

可發(fā)現(xiàn)dt3已經(jīng)發(fā)散，而dt2和自動(dòng)步長(zhǎng)基本一致，但dt2只計(jì)算了1000個(gè)增量步，比自動(dòng)步長(zhǎng)少了8.7%。從而驗(yàn)證了，對(duì)某些問(wèn)題，為了加速，時(shí)間增量可以取一個(gè)超過(guò)Abaqus默認(rèn)更加接近dt_ideal的值，系統(tǒng)依然是穩(wěn)定的。

1.3 聯(lián)系方式

如果有任何其它疑問(wèn)或者項(xiàng)目合作意向，也歡迎聯(lián)系我們：

snowwave02 From www.yqgqt.org.cn

email: snowwave02@qq.com

以往的系列文章：

1.4.1 ========第一階段========

第一篇：S4殼單元?jiǎng)偠染仃囇芯?/strong>。介紹Abaqus的S4剛度矩陣在普通厚殼理論上的修正。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/338859

第二篇：S4殼單元質(zhì)量矩陣研究。介紹Abaqus的S4和Nastran的Quad4單元的質(zhì)量矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/343905

第三篇：S4殼單元的剪切自鎖和沙漏控制。介紹Abaqus的S4單元如何來(lái)消除剪切自鎖以及S4R如何來(lái)抑制沙漏的。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/350865

第四篇：非線性問(wèn)題的求解。介紹Abaqus在非線性分析中采用的數(shù)值計(jì)算的求解方法。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/360565

第五篇：單元正確性驗(yàn)證。介紹有限元單元正確性的驗(yàn)證方法，通過(guò)多個(gè)實(shí)例比較自研結(jié)構(gòu)求解器程序iSolver與Abaqus的分析結(jié)果，從而說(shuō)明整個(gè)正確性驗(yàn)證的過(guò)程和iSolver結(jié)果的正確性。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/373743

第六篇：General梁?jiǎn)卧膭偠染仃?/strong>。介紹梁?jiǎn)卧幕A(chǔ)理論和Abaqus中General梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚨男拚绞剑捎眠@些修正方式可以得到和Abaqus梁?jiǎn)卧耆恢碌膭偠染仃嚒?/p>

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/403932

第七篇：C3D8六面體單元的剛度矩陣。介紹六面體單元的基礎(chǔ)理論和Abaqus中C3D8R六面體單元的剛度矩陣的修正方式，采用這些修正方式可以得到和Abaqus六面體單元完全一致的剛度矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/430177

第八篇：UMAT用戶(hù)子程序開(kāi)發(fā)步驟。介紹基于Fortran和Matlab兩種方式的Abaqus的UMAT的開(kāi)發(fā)步驟，對(duì)比發(fā)現(xiàn)開(kāi)發(fā)步驟基本相同，同時(shí)采用Matlab更加高效和靈活。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/432848

第九篇：編寫(xiě)線性UMAT Step By Step。介紹基于Matlab線性零基礎(chǔ)，從零開(kāi)始Step by Step的UMAT的編寫(xiě)和調(diào)試方法，幫助初學(xué)者UMAT入門(mén)。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/440874

第十篇：耦合約束（Coupling constraints）的研究。介紹Abaqus中耦合約束的原理，并使用兩個(gè)簡(jiǎn)單算例加以驗(yàn)證。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/531029

1.4.2 ========第二階段========

第十一篇：自主CAE開(kāi)發(fā)實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)第一階段總結(jié)。介紹了iSolver開(kāi)發(fā)以來(lái)的階段性總結(jié)，從整體角度上介紹一下自主CAE的一些實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)，包括開(kāi)發(fā)時(shí)間預(yù)估、框架設(shè)計(jì)、編程語(yǔ)言選擇、測(cè)試、未來(lái)發(fā)展方向等。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/532475

第十二篇：幾何梁?jiǎn)卧膭偠染仃?/strong>。研究了Abaqus中幾何梁的B31單元的剛度矩陣的求解方式，以L梁為例，介紹General梁用到的面積、慣性矩、扭轉(zhuǎn)常數(shù)等參數(shù)在幾何梁中是如何通過(guò)幾何形狀求得的，根據(jù)這些參數(shù)，可以得到和Abaqus完全一致的剛度矩陣，從而對(duì)只有幾何梁組成的任意模型一般都能得到Abaqus完全一致的分析結(jié)果，并用一個(gè)簡(jiǎn)單的算例驗(yàn)證了該想法。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/534362

第十三篇：顯式和隱式的區(qū)別。介紹了顯式和隱式的特點(diǎn)，并給出一個(gè)數(shù)學(xué)算例，分別利用前向歐拉和后向歐拉求解，以求直觀表現(xiàn)顯式和隱式在求解過(guò)程中的差異，以及增量步長(zhǎng)對(duì)求解結(jié)果的影響。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/537154

第十四篇：殼的應(yīng)力方向。簡(jiǎn)單介紹了一下數(shù)學(xué)上張量和Abaqus中殼的應(yīng)力方向，并說(shuō)明Abaqus這么選取的意義，最后通過(guò)自編程序iSolver來(lái)驗(yàn)證殼的應(yīng)力方向的正確性。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1189260

第十五篇：殼的剪切應(yīng)力。介紹了殼單元中實(shí)際的和板殼近似理論中的剪切應(yīng)力，也簡(jiǎn)單猜測(cè)了一下Abaqus的內(nèi)部實(shí)現(xiàn)流程，最后通過(guò)一個(gè)算例來(lái)驗(yàn)算Abaqus中的真實(shí)的剪切應(yīng)力。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1191641

第十六篇：Part、Instance與Assembly。介紹了Part、Instance與Assembly三者之間的關(guān)系，分析了Instance的網(wǎng)格形成原理，并猜測(cè)Abaqus的內(nèi)部組裝實(shí)現(xiàn)流程，隨后針對(duì)某手機(jī)整機(jī)多part算例，通過(guò)自編程序iSolver的結(jié)果比對(duì)驗(yàn)證我們的猜想。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1195061

第十七篇：幾何非線性的物理含義。介紹了幾何非線性的簡(jiǎn)單的物理含義，并通過(guò)幾何非線性的懸臂梁Abaqus和iSolver的小應(yīng)變情況的結(jié)果，從直觀上理解幾何非線性和線性的差異。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1198459

第十八篇：幾何非線性的應(yīng)變。首先從位移、變形和應(yīng)變的區(qū)別說(shuō)起，然后通過(guò)一維的簡(jiǎn)單例子具體介紹了幾何非線性下的應(yīng)變的度量方式，并給出了工程應(yīng)變、 真實(shí)應(yīng)變、Green應(yīng)變?nèi)咭痪S情況下在數(shù)學(xué)上的表達(dá)方式。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1201375

第十九篇：Abaqus幾何非線性的設(shè)置和后臺(tái)。首先介紹了幾何非線性一般的分類(lèi)，然后詳細(xì)說(shuō)明了Abaqus中幾何非線性的設(shè)置方式和常用單元的分類(lèi)，最后以一個(gè)殼單元的簡(jiǎn)單算例為對(duì)象，可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)變理論、Abaqus和iSolver三者在線性、小應(yīng)變幾何非線性和大應(yīng)變幾何非線性三種情況下都完全一致，從而驗(yàn)證Abaqus幾何非線性后臺(tái)采用的應(yīng)變和我們的預(yù)想一致。

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第二十篇：UEL用戶(hù)子程序開(kāi)發(fā)步驟。本文首先簡(jiǎn)單的討論了UEL的一般含義，并詳細(xì)的介紹了基于Fortran和Matlab兩種方式的UEL的開(kāi)發(fā)步驟，對(duì)比發(fā)現(xiàn)開(kāi)發(fā)步驟基本相同，但Matlab更加高效和靈活。

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1.4.3 ========第三階段========

第二十一篇：自主CAE開(kāi)發(fā)實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)第二階段總結(jié)。從實(shí)戰(zhàn)角度介紹自主CAE在推廣和工程化應(yīng)用的過(guò)程中的體會(huì)，同時(shí)說(shuō)明一個(gè)CAE平臺(tái)最重要的兩個(gè)特點(diǎn)：可擴(kuò)展和易維護(hù)。

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第二十二篇：幾何非線性的剛度矩陣求解。介紹幾何非線性下的剛度矩陣的理論推導(dǎo)和計(jì)算機(jī)求解方法，最后利用一個(gè)簡(jiǎn)單的算例驗(yàn)證我們對(duì)Abaqus幾何非線性的剛度矩陣的實(shí)現(xiàn)方式的猜測(cè)。

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第二十三篇：編寫(xiě)簡(jiǎn)單面內(nèi)拉伸問(wèn)題UEL Step By Step。通過(guò)簡(jiǎn)單面內(nèi)拉伸問(wèn)題UEL的編寫(xiě)，介紹解決有限元問(wèn)題從理論到算法再到編程實(shí)現(xiàn)的一般流程以及面內(nèi)拉伸問(wèn)題的基本算法步驟，最后將UEL與Abaqus的S4R單元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)行驗(yàn)證。

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第二十四篇：顯式求解Step By Step。本文概要性地介紹了Abaqus中心差分法的理論以及算法實(shí)現(xiàn)的整體流程，并通過(guò)簡(jiǎn)單彈簧顯式動(dòng)力學(xué)分析算例與iSolver和Abaqus計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了算法和整體流程的正確性。

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