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<p>本案例基于任意拉格朗日-歐拉 (ALE) 技術和相場方法模擬容器內(nèi)流體在自重作用下的流動，且與不同高度阻擋壁的流-固耦合作用過程。該模型可以擴展應用于其它涉及兩相流固耦合的實際工程項目中。

基于運動方程x=x(ζ，t），當前構型中任意物質點上定義的張量既可以用ζ坐標來描述（我們叫他的名字），也可以用x坐標來描述（我們指出他在哪里），這分別就是拉格朗日描述和歐拉描述。現(xiàn)在我們要在當前構型研究物質的運動，我們要求出物質點在當前構型的速度或者加速度。前面說了，人是站在笛卡爾坐標系中不動的，也習慣于用笛卡爾坐標系。

ALE描述 任意拉格朗日歐拉方法描述下的物質導數(shù)為： 其中f為物理量，為質點X 的速度，為參考點ξ 的速度，也即計算網(wǎng)格運動速度。當時，計算網(wǎng)格在空間固定不動，退化為歐拉描述；當時，計算網(wǎng)格隨同物體一起運動，退化為拉格朗日描述；當時，計算網(wǎng)格在空間中獨立運動，對應于一般的ALE 描述。

無論是歐拉方法還是拉格朗日方法，在處理不同問題的時候各有優(yōu)缺點，在面對工程問題的時候，往往結合兩者的優(yōu)點，所以當前比較主流的方法是同時兼顧拉格朗日和歐拉兩者優(yōu)點的算法，比如最近幾年被大家廣泛采用的任意拉格朗日-歐拉（arbitrary Lagrangian-Eulerian,ALE）、相容拉格朗日-歐拉（coupled Lagrangian-Eulerian,CLE）等方法。

ALE描述 任意拉格朗日歐拉方法描述下的物質導數(shù)為： 其中f為物理量，為質點X 的速度，為參考點ξ 的速度，也即計算網(wǎng)格運動速度。當時，計算網(wǎng)格在空間固定不動，退化為歐拉描述；當時，計算網(wǎng)格隨同物體一起運動，退化為拉格朗日描述；當時，計算網(wǎng)格在空間中獨立運動，對應于一般的ALE 描述。

在歐拉方法中，系統(tǒng)的動力學是以一個觀察者在一個固定坐標系下測量系統(tǒng)演化的角度來考慮的。用歐拉方法表述物理方程是電磁學和流體物理學等問題的通用方法，其中場變量表示為空間坐標系中固定坐標的函數(shù)。然而，對于力學問題，拉格朗日方法提供了另一種思路。力學方程是根據(jù)無限小的個體材料編寫，當物體動態(tài)位移或變形時，材料會在物體內(nèi)移動。

a）拉格朗日算法 b）歐拉算法 圖1 拉格朗日算法和歐拉算法的單元特性1.4.2 耦合歐拉-拉格朗日算法 1.4.2.1 概述 耦合歐拉-拉格朗日算法由學者Noh提出，最初應用于帶有移動邊界的二維流體動力學問題。CEL算法吸收了拉格朗日算法和歐拉算法的優(yōu)點并克服了兩者的缺點。對固體建立拉格朗日模型，劃分拉格朗日網(wǎng)格；對流體建立歐拉模型，劃分歐拉網(wǎng)格。

*ALE - 任意拉格朗日-歐拉*CEL - 耦合歐拉-拉格朗日*IBM - 浸沒邊界法 使用 Delaunay 細化網(wǎng)格生成優(yōu)化 CFD 中的 FSI 模擬 Delaunay 細化是捕獲流體-表面相互作用的復雜細節(jié)的有效方法。CFD 工具可以生成帶有 Delaunay 三角剖分的初始粗網(wǎng)格，可以通過向網(wǎng)格添加節(jié)點和元素來圍繞實體結構對其進行細化，以實現(xiàn)最佳網(wǎng)格分辨率。

本課程旨在通過教您如何使用OpenFOAM的歐拉-拉格朗日框架來建模此類系統(tǒng)來彌補這一差距。 我們從粒子追蹤的基礎知識開始，建立對拉格朗日方法工作原理的扎實概念理解。您將探索粒子如何被表示為包裹體，它們的運動如何受物理定律支配，以及它們?nèi)绾闻c周圍流體相互作用。

一、創(chuàng)建仿真模型 本教程采用abaqus中CEL（耦合的歐拉-拉格朗日）方法對鈦合金（Ti6AL4V）的銑削過程進行仿真，通過仿真結果可以提取刀具受力及溫度變化，并直觀的觀察到切屑的生成過程。模型建模均在ABAQUS CAE中完成，通過調(diào)整尺寸參數(shù)可方便的對模型進行修改。附件中會提供CAE源文件。

表1 試驗臺架中材料參數(shù)Table 1 Material parameters in the test bench在爆炸沖擊鋼板臺架仿真中，ALE算法中通過關鍵字*CONSTRAINED_LAGRANGE_IN_SOLID完成拉格朗日網(wǎng)格與歐拉網(wǎng)格的耦合，其中炸藥、土壤、空氣為歐拉網(wǎng)格，試驗臺架及高強鋼板為拉格朗日網(wǎng)格。

歐拉網(wǎng)格：不動節(jié)點在空間固定，材料流過不變形的單元。歐拉單元可以不總是100%的充滿材料，許多可以是部分的或完全空的，因此每個時間增量步都會重新確定材料邊界。注意：歐拉分析中，歐拉網(wǎng)格要大于材料的活動范圍。歐拉-拉格朗日接觸算法：歐拉材料（使用狀態(tài)方程描述材料的流變行為）可以和拉格朗日單元通過歐拉-拉格朗日接觸來進行相互作用。

比如約翰·伯努利是歐拉的老師，歐拉是拉格朗日的老師，拉格朗日又是柯西的老師。它們是數(shù)學的變分法的主要發(fā)明人，后來也自然而然把這個方法用在物理問題中，最重要的成果就是拉格朗日方程。隨著牛頓的去世，歐洲的數(shù)學發(fā)展?jié)u漸集中在以法國為中心的歐洲大陸，也直接導致了科學中心轉移到法國。數(shù)學中的分析法引入物理中，取得了偉大的成就；拉格朗日的《分析力學》，據(jù)說沒有一張圖。