等參單元
關(guān)注創(chuàng)建者：易公子 創(chuàng)建時(shí)間：2022-03-31
等參單元的視頻教程
基于Matlab的J積分與等參單元求解應(yīng)力強(qiáng)度因子
本視頻基于Matlab的J積分與等參單元求解應(yīng)力強(qiáng)度因子，里面涉及有限元中的等參單元編程，有興趣可以看一下，講的時(shí)候可能有點(diǎn)啰嗦，大家見(jiàn)諒，相關(guān)代碼可在公眾號(hào)：易木木響叮當(dāng) 回復(fù)：J積分 自動(dòng)獲取。
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有限元理論及常見(jiàn)問(wèn)題課程合集
有限元等參單元 為什么要引入等參單元？ 什么是等參單元？ 什么是雅克比矩陣？她對(duì)于等參單元有啥影響？
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等參單元的實(shí)例教程
物理坐標(biāo)系下的、方向可表示為、，兩方向的向量可表示為：
單元面積進(jìn)而可以表示為：
雅可比行列式就此登場(chǎng)！
比如，常應(yīng)變單元中的單元面積可在三節(jié)點(diǎn)等參單元區(qū)域內(nèi)進(jìn)行二重積分求解：
對(duì)于等參四邊形單元：
相同的道理，對(duì)于等參六面體單元：
通過(guò)上述變換，公式左側(cè)為物理坐標(biāo)系下的單元面積，1/2、4、8均為相應(yīng)等參單元的面積、體積，兩者通過(guò)雅可比行列式相連接。
以上觀點(diǎn)乃木木學(xué)習(xí)有限元過(guò)程中的一些個(gè)人觀點(diǎn)，不一定完全正確，僅供參考，感謝您的閱讀，歡迎批評(píng)指正！
聲明：文中的公式部分參考了張雄老師的《有限元法基礎(chǔ)》。
覺(jué)得本篇推文對(duì)你有幫助的話，可以動(dòng)動(dòng)的小手一鍵三連（點(diǎn)贊?在看?分享）哦~
展開(kāi) 用C語(yǔ)言編寫的程序，計(jì)算結(jié)果寫成兩個(gè)文件，一個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)位移和單元應(yīng)力，另一個(gè)可以用tecplot打開(kāi)，看位移云圖和應(yīng)力云圖
平面四節(jié)點(diǎn)等參單元.part3.rar
平面四節(jié)點(diǎn)等參單元.part1.rar
平面四節(jié)點(diǎn)等參單元.part2.rar
摘要：
采用基于ABAQUS的UEL子程序開(kāi)發(fā)4節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變等參單元，采用雙線性形函數(shù)，4點(diǎn)高斯積分，本構(gòu)關(guān)系為線彈性各向同性材料，得到的單元剛度矩陣和ABABUS自帶的CPE4單元的單元剛度矩陣（剛度矩陣輸出方式為*element matrix output, elset= ALLE, stiffness=yes, OUTPUT FILE=USER DEFINED）不同；對(duì)比ANSYS的單元剛度矩陣，結(jié)果顯示兩者也不相同。問(wèn)題出在哪里呢？本文檔將對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行回答。
本文可以作為ABAQUS高級(jí)子程序UEL的入門級(jí)教程，做UEL的應(yīng)該關(guān)注下！
基于ABAQUS的UEL子程序定義4節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變等參單元的剛度問(wèn)題（技術(shù)鄰 藍(lán)牙）.pdf
展開(kāi) 單元剛度矩陣為啥是半正定的？
總體剛度矩陣為什么會(huì)有奇異性？如何消除？
有限元插值函數(shù)與單元
啥是廣義坐標(biāo)系下的插值函數(shù)？自然坐標(biāo)下的插值函數(shù)？有啥特點(diǎn)？
啥是拉格朗日插值函數(shù)？
有限元中單元如何分類？
什么是拉格朗日單元？
二維拉格朗日單元如何構(gòu)造？
啥是面極坐標(biāo)？體積坐標(biāo)？
有限元誤差分析與收斂準(zhǔn)則
有限元分析的誤差來(lái)源到底有哪些？
從數(shù)學(xué)角度如何理解有限元解的收斂準(zhǔn)則？
有限元收斂準(zhǔn)則的物理意義是啥？
為什么有限元位移解總是偏小？
為啥有限元計(jì)算的應(yīng)力解不可靠？
有限元等參單元
為什么要引入等參單元？
什么是等參單元？
什么是雅克比矩陣？她對(duì)于等參單元有啥影響？
下面是受到的一些反饋
展開(kāi) 1 傳統(tǒng)等參數(shù)映射法計(jì)算節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)
如果子域看作是一個(gè)大的等參單元，根據(jù)等參單元坐標(biāo)變換公式，可以計(jì)算子域的點(diǎn)坐標(biāo)：
對(duì)于二維，三維問(wèn)題，分別采用6節(jié)點(diǎn)三角形，8節(jié)點(diǎn)四邊形和20節(jié)點(diǎn)六面體等參單元。因此Ni是對(duì)應(yīng)單元的形函數(shù)，n是等參單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)，Xi，Yi，Zi是等參單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，子域可選擇由曲面三角形，曲面四邊形和曲面六面體。
一般情況下，采用等參數(shù)映射法生成結(jié)構(gòu)網(wǎng)格模型，這樣，等參單元模擬圓時(shí)會(huì)出現(xiàn)誤差。如果圓心角小于90°時(shí)，誤差較小，但圓心角大于90°時(shí)，則誤差較大不可忽略。因此用等參數(shù)映射法生成旋轉(zhuǎn)面或旋轉(zhuǎn)體的網(wǎng)格，需要分割的子域多，故輸入計(jì)算工作量較大，自動(dòng)生成程度低。
2 改進(jìn)分塊分割法計(jì)算旋轉(zhuǎn)面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)
如圖1所示，在Y-Z平面上的參數(shù)曲線P為Y=Y(t)；Z=Z(t)，若將曲線P繞Z軸旋轉(zhuǎn)，可得環(huán)面方程為：
(0≤≤)
所以確定旋轉(zhuǎn)面方程主要是確定其母參數(shù)方程。
圖1
根據(jù)不同類型的母線參數(shù)方程，即得不同的旋轉(zhuǎn)面。
1)母線為直
若母線是從點(diǎn)(Y1，Z1)到點(diǎn)(Y2，Z2)的一段直線，
則其方程是：
Y(t)=Y1+t(Y2-Y1) (0≤t≤1)
Z(t)=Z1+t(Z2-Z1)
2)母線為一段圓弧
若圓弧的圓心為(a,b)，半徑為R，則母線方程是：
Y(t)=a+Rcost (t1≤t≤t2)
Z(t)=b+Rsint
3)母線是雙曲線
若母線是雙曲線，則其參數(shù)方程是：
Y(t)=acht (t1≤t≤t2)
Z(t)=bsht
4)母線是任意曲線
若母線是平面上的一條任意曲線，采用二次Bezier曲線來(lái)擬合其母線。
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等參單元的最新內(nèi)容
比如，常應(yīng)變單元中的單元面積可在三節(jié)點(diǎn)等參單元區(qū)域內(nèi)進(jìn)行二重積分求解：
對(duì)于等參四邊形單元：
相同的道理，對(duì)于等參六面體單元：
通過(guò)上述變換，公式左側(cè)為物理坐標(biāo)系下的單元面積，1/2、4、8均為相應(yīng)等參單元的面積、體積，兩者通過(guò)雅可比行列式相連接。
以上觀點(diǎn)乃木木學(xué)習(xí)有限元過(guò)程中的一些個(gè)人觀點(diǎn)，不一定完全正確，僅供參考，感謝您的閱讀，歡迎批評(píng)指正！
考慮到等參單元，即位移的插值函數(shù)與母單元-笛卡爾單元變換采用相同插值函數(shù)。
將ABAQUS自帶的CPS4單元、自編四節(jié)點(diǎn)等參單元和自編SBFEM的UEL三者進(jìn)行對(duì)比。將以上三種單元應(yīng)用到Koyna混凝土壩地震動(dòng)力響應(yīng)分析中，對(duì)比壩體關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證三種單元的計(jì)算結(jié)果吻合良好。
原文鏈接：
淺談?dòng)邢迒卧ㄖ械男魏瘮?shù)
在基本的結(jié)構(gòu)有限元編程中，大多是直接移值已有的形函數(shù)的形式，如四節(jié)點(diǎn)等參單元的形函數(shù)公式，從興趣學(xué)習(xí)的角度來(lái)講，搞明白形函數(shù)構(gòu)造的方法或許比“直接拿來(lái)用”更有意義，
什么是形函數(shù)？
目前主流有限元分析力學(xué)問(wèn)題時(shí)，位移 作為基本未知量，即有限元求解（位移）-幾何方程（應(yīng)變）--本構(gòu)方程（應(yīng)力）。
圖4 二階四邊形等參單元奇異性的構(gòu)建
如果節(jié)點(diǎn)a, b和c能夠自由移動(dòng)，并且中間節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到了1/4處，如圖4中的情況(1)所示，則在退化四邊形單元任意位置處的應(yīng)變具有如下奇異性：
如果節(jié)點(diǎn)a, b和c被約束在了一起，并且中間節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到了1/4處，如圖4中的情況(2)所示，則單元具有如下奇異性：
而由線彈性斷裂力學(xué)可知，裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)同樣具有r-1/2的奇異性，例如對(duì)于I
繼上一節(jié)對(duì)于表面力的介紹，我們這次繼續(xù)展開(kāi)對(duì)體力的探索，如下圖所示，是一個(gè)八節(jié)點(diǎn)等參單元在受到重力載荷，我們今天的主要任務(wù)是將其等效至節(jié)點(diǎn)載荷。
-----等參單元/高斯積分-----
等參單元：劃分網(wǎng)格后，一般網(wǎng)格并不是標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格（等邊三角形，等邊四面體或者立方體），直接使用形函數(shù)會(huì)造成計(jì)算上的困難，所以通常使用一個(gè)新標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格來(lái)代替原有網(wǎng)格，并在標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格和原有網(wǎng)格之間建立映射關(guān)系，新的網(wǎng)格稱為等參單元。
四面體單元的坐標(biāo)描述涉及了等參單元的概念，在有限元方法中，若要離散邊界為曲線或曲面的求解域，需要建立將形狀規(guī)則的單元變換為邊界為曲線或曲面的單元的方法，在有限元法中對(duì)應(yīng)此問(wèn)題所采用的變換方法是等參變換，即單元幾何形狀的變換和單元內(nèi)場(chǎng)函數(shù)采用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)及相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換。四面體單元的參數(shù)坐標(biāo)就是體積坐標(biāo)，體積坐標(biāo)的定義如圖2所示。
補(bǔ)充：書中關(guān)于等參單元剛度矩陣計(jì)算時(shí)，用到的是Matlab符號(hào)計(jì)算語(yǔ)言，沒(méi)有對(duì)高斯點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，讀者可以參考別的書籍將單元?jiǎng)偠扔?jì)算函數(shù)進(jìn)行適度調(diào)整。
相關(guān)網(wǎng)址：https://www.bilibili.com/video/BV1d4411i7Wr/?
2、等參單元
在有限元方法中，若要離散邊界為曲線或曲面的求解域，需要建立將形狀規(guī)則的單元變換為邊界為曲線或曲面的單元的方法，在有限元法中對(duì)應(yīng)此問(wèn)題所采用的變換方法是等參變換，即單元幾何形狀的變換和單元內(nèi)長(zhǎng)函數(shù)采用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)及相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換。同樣我們今天要講的四邊形單元也從其對(duì)應(yīng)的等參單元的基礎(chǔ)理論講起。
