1. ABAQUS裂紋體的建立

在ABAQUS中，根據(jù)裂紋尖端的形狀可以建立兩種類型的裂紋體：尖銳（Sharp）型裂紋和鈍形（Blunt）裂紋，如圖1所示。對(duì)于尖銳型裂紋，裂紋尖端存在奇異性；而鈍形裂紋尖端可以看做是一個(gè)具有給定缺口半徑的缺口，因此裂紋尖端不存在奇異性，可以按照常規(guī)有限元的建模方式來建立。在ABAQUS中，兩種類型的裂紋均可以進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子分析。

圖1 尖銳型裂紋和鈍形裂紋

對(duì)于兩種類型的裂紋，由于裂紋尖端均存在應(yīng)力集中，在裂紋尖端將產(chǎn)生非常高的應(yīng)力梯度，因此劃分裂紋體時(shí)通常需要對(duì)裂紋尖端的網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化以獲得精確的應(yīng)力值。需要注意的是，對(duì)于尖銳型裂紋，由于裂紋尖端存在奇異性，因此細(xì)化裂紋尖端的網(wǎng)格并不能使得裂紋尖端的應(yīng)力和應(yīng)變值收斂，減小網(wǎng)格尺寸只會(huì)使得裂紋尖端的應(yīng)力值增大；而對(duì)于鈍形裂紋，由于裂紋尖端存在鈍形缺口，因此細(xì)化裂紋尖端的網(wǎng)格將最終得到收斂的缺口應(yīng)力值。

在采用兩種類型的裂紋體計(jì)算J積分時(shí)，由于J積分的實(shí)質(zhì)是能量釋放率，因此在進(jìn)行線彈性有限元分析時(shí)，采用非常粗糙的網(wǎng)格也能夠獲得精確的J積分值，即使在這種情況下裂紋尖端的局部應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)并不是十分精確。而在進(jìn)行彈塑性斷裂力學(xué)分析時(shí)，通常需要細(xì)化裂紋尖端區(qū)域來獲得精確的J積分值。

本文僅考慮尖銳型裂紋的建立，在ABAQUS中尖銳型裂紋通常也被稱為seam裂紋，seam裂紋可以看做是部分或完全插入到模型中的代表裂紋的一條邊線，如圖2所示。seam裂紋通常由單元邊線構(gòu)成，在這些單元邊線上的節(jié)點(diǎn)會(huì)自動(dòng)復(fù)制節(jié)點(diǎn)，位于這些單元邊線上的單元不會(huì)共享節(jié)點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)了裂紋面的分離。

圖2 seam裂紋

如圖2中所示，通常裂紋尖端會(huì)采用一圈三角形單元進(jìn)行劃分，在三角形單元的外圍通常還會(huì)圍繞多層四邊形單元進(jìn)行過渡。需要注意的是，在ABAQUS中當(dāng)采用圍線積分（contour integral）來計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)，在圍線積分的區(qū)域只能為四邊形或六面體單元，雖然裂紋尖端的網(wǎng)格為三角形單元，但其實(shí)際上是退化的四邊形單元（degenerated quad），后面將會(huì)介紹如何劃分裂尖網(wǎng)格。

為了在ABAQUS中定義裂紋，首先需要指定裂紋面（crack front）以及裂紋尖端（crack tip），對(duì)于通過ABAQUS創(chuàng)建的二維部件實(shí)例，裂紋前沿可以指定為幾何點(diǎn)，幾何邊線以及幾何面，裂紋尖端可以指定為幾何點(diǎn)，而對(duì)于外部導(dǎo)入的二維網(wǎng)格（orphan mesh），裂紋前沿可以指定為節(jié)點(diǎn)，單元邊和單元面，裂紋尖端尖端可以指定為節(jié)點(diǎn)。除此之外還需要指定裂紋面的法向矢量方向或者裂紋擴(kuò)展的方向，在ABAQUS中裂紋擴(kuò)展的方向也被稱為q向量，該向量將用于圍線積分的計(jì)算。裂紋的定義如圖3所示。

圖3 ABAQUS裂紋定義界面

為了在裂尖單元中引入奇異性，需要對(duì)單元節(jié)點(diǎn)進(jìn)行特殊的處理。如圖4所示，對(duì)于8節(jié)點(diǎn)的四邊形單元（二階單元，具有中間節(jié)點(diǎn)），首先ABAQUS會(huì)將四邊形單元的其中一條邊壓縮，假設(shè)該單元邊由節(jié)點(diǎn)a, b和c構(gòu)成，壓縮之后節(jié)點(diǎn)a, b和c將合并共同構(gòu)成裂紋尖端，隨后與裂紋尖端相連的兩條單元邊上的中間節(jié)點(diǎn)將會(huì)被移動(dòng)到距離裂紋尖端1/4處的位置。

圖4 二階四邊形等參單元奇異性的構(gòu)建

如果節(jié)點(diǎn)a, b和c能夠自由移動(dòng)，并且中間節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到了1/4處，如圖4中的情況(1)所示，則在退化四邊形單元任意位置處的應(yīng)變具有如下奇異性：

如果節(jié)點(diǎn)a, b和c被約束在了一起，并且中間節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到了1/4處，如圖4中的情況(2)所示，則單元具有如下奇異性：

而由線彈性斷裂力學(xué)可知，裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)同樣具有r^-1/2的奇異性，例如對(duì)于I型裂紋，其裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)可表示為：

如果節(jié)點(diǎn)a, b和c能夠自由移動(dòng)，但中間節(jié)點(diǎn)沒有移動(dòng)，則單元具有如下奇異性：

此時(shí)應(yīng)變的奇異性適合于理想塑性的情況。

在ABAQUS，單元奇異性的設(shè)置如圖5所示。

圖5 單元奇異性設(shè)置界面

對(duì)于中間節(jié)點(diǎn)的調(diào)整，可以通過改變Midside node parameter的取值來實(shí)現(xiàn)，Collapsed element side, single node表示四邊形的單元邊被壓縮，并且裂紋尖端具有相同的節(jié)點(diǎn)號(hào)；Collapsed element side, duplicate nodes表示雖然四邊形的單元邊被壓縮，但裂紋尖端具有不同的節(jié)點(diǎn)號(hào)，兩種情況如圖6所示。

圖6 裂紋尖端退化單元控制

從圖6中可以看出，雖然兩種單元都是退化的四邊形單元，均具有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，但裂尖的節(jié)點(diǎn)有些不同。Single node對(duì)應(yīng)了圖6中右邊的情況，此時(shí)裂尖實(shí)際上只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，Duplicate nodes對(duì)應(yīng)了圖6中左邊的情況，裂尖具有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，只是節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)是重合的。

如果在退化單元控制中選擇No degeneracy，則四邊形的單元邊將不會(huì)壓縮，此時(shí)裂紋尖端的網(wǎng)格不同于圖2中網(wǎng)格，將完全由非退化的四邊形單元構(gòu)成，如圖7所示。

圖7 裂紋尖端采用非退化四邊形網(wǎng)格

如圖7所示，如果單元靠近裂紋尖端的中間節(jié)點(diǎn)被移動(dòng)到了1/4處，則在這些單元邊上應(yīng)變具有r^-1/2的奇異性，但在單元內(nèi)部不具有奇異性，這種情況要優(yōu)于沒有奇異性的情況，但沒有單元退化的情況好。

需要注意的是，如果模型采用的是外部導(dǎo)入的網(wǎng)格（orphan mesh），此時(shí)無法通過圖5所示的界面來控制單元奇異性，需要通過Mesh模塊的Mesh Edit工具中的Adjust midside來手動(dòng)調(diào)整裂紋尖端附近的中間節(jié)點(diǎn)。

如果在裂紋尖端使用了4節(jié)點(diǎn)的退化四邊形單元（一階單元），并且裂紋尖端的節(jié)點(diǎn)被約束到一起，如圖8所示，則單元具有如下奇異性：

圖8 一階退化四邊形單元

此時(shí)單元的奇異性為r^-1，沒有達(dá)到裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的奇異性。

為了在裂紋尖端劃分出退化的四邊形單元，需要在模型中裂紋尖端區(qū)域分割出一塊環(huán)形區(qū)域，并將該區(qū)域指定為以四面體為主（quad-dominated）的映射（sweep）網(wǎng)格。

2. 中心裂紋板應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

下面采用ABAQUS對(duì)一有限寬中心裂紋板進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子分析，中心裂紋板的尺寸如圖9所示，板的半寬W=100mm，半高 H=200mm，板厚B為1mm，半裂紋a的長度為10mm。該板在遠(yuǎn)端承受有均勻拉伸應(yīng)力σ=30MPa。由于模型存在對(duì)稱性，因此取1/2模型進(jìn)行分析。

圖9 中心裂紋板尺寸

采用ABAQUS建立中心裂紋板的幾何模型，由于裂紋尖端需要?jiǎng)澐滞嘶乃倪呅螁卧虼诵枰趲缀文Ｐ椭型ㄟ^面分割工具在裂紋尖端切割處一塊圓形區(qū)域，用于劃分退化的四邊形單元，而圓形區(qū)域外圍還需要?jiǎng)澐忠粔K環(huán)形區(qū)域，用于劃分用于過渡的四邊形單元。需要特別注意的是，由于裂紋尖端的網(wǎng)格本質(zhì)上是退化的四邊形單元，因此不能劃分為三角形單元，因此在Mesh Control中需要將該區(qū)域設(shè)置為四邊形單元為主（Quad-dominated）的掃略（Sweep）劃分方式，不能指定為三角形單元（Tri）。

圖10 裂紋尖端的網(wǎng)格控制

對(duì)于裂紋尖端區(qū)域外圍的環(huán)形區(qū)域，主要起到單元過渡的作用，因此劃分方式選擇結(jié)構(gòu)化（Structured）的四邊形（Quad）單元。對(duì)于其他區(qū)域，可采用四邊形單元或以四邊形單元為主的自由劃分方式，最終得到裂紋區(qū)域的網(wǎng)格控制如圖11所示。

圖11 裂紋區(qū)域網(wǎng)格控制

在ABAQUS的Mesh模塊中，不同顏色的區(qū)域代表不同的網(wǎng)格劃分方式，黃色代表掃略劃分方式，綠色代表結(jié)構(gòu)化的映射劃分方式，粉色代表自由劃分方式。為了保證裂紋區(qū)域的網(wǎng)格正常劃分，還需要通過Seed Edges工具調(diào)整裂紋區(qū)域的網(wǎng)格數(shù)量，如圖12所示。

圖12 裂紋區(qū)域網(wǎng)格布種

最終可以得到裂紋區(qū)域的網(wǎng)格如圖13所示。

圖13 裂紋區(qū)域網(wǎng)格

再次注意，雖然通過前面的劃分方法最終在裂紋尖端區(qū)域得到了三角形的網(wǎng)格，但其實(shí)際上是退化的四邊形單元，三角形單元是不能用于圍線積分計(jì)算的。這一點(diǎn)從單元類型的選擇也可以看出，本分析中假設(shè)中心裂紋板處于平面應(yīng)力狀態(tài)，采用帶有縮減積分的8節(jié)點(diǎn)四邊形單元CPS8R進(jìn)行計(jì)算，雖然此時(shí)ABAQUS自動(dòng)檢測(cè)處模型中存在三角形單元，并推薦使用6節(jié)點(diǎn)的平面應(yīng)力單元CPS6M，但從后面的分析可知，該單元類型實(shí)際上并沒有被用于裂紋尖端區(qū)域。

在完成裂紋體的網(wǎng)格劃分后下面開始創(chuàng)建裂紋，在Interaction模塊中選擇Special→Crack→ Assign Seam創(chuàng)建Seam裂紋，如前面所提到的，由于裂紋面上的網(wǎng)格是連續(xù)的，因此將裂紋面指定為Seam裂紋主要起到了網(wǎng)格分離的作用，如圖14所示。

圖14 創(chuàng)建Seam裂紋

圖14中的紅色邊線即為中心裂紋的裂紋面。需要注意的是，Seam裂紋只能指定為幾何邊線或幾何面，在外部導(dǎo)入的網(wǎng)格（Orphan mesh）中不能創(chuàng)建Seam裂紋，因此必須保證裂紋面上的節(jié)點(diǎn)是分離的。

通過Special→ Crack→ Create選擇Contourintegral（圍線積分），將裂紋前沿（Crack front）指定為裂紋尖端的幾何點(diǎn)，如圖15所示，并使用q向量指定裂紋擴(kuò)展方向，本例中裂紋沿X軸方向擴(kuò)展，因此可以將q向量設(shè)置為沿X軸的單位向量。

圖15 指定Crack front

本文中使用的8節(jié)點(diǎn)的二階四邊形單元，為了在裂紋尖端產(chǎn)生r^-1/2的奇異性，根據(jù)前面的討論，需要將四邊形單元的一條邊壓縮，將中間節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到1/4處，并且需要保證裂紋尖端的三個(gè)節(jié)點(diǎn)被完全約束到一起，如圖4中的情況（2）所示，因此在Singularity中將Midside node parameter設(shè)置為0.25，并選擇Collapse element side, single node。

為了在結(jié)果文件中輸出應(yīng)力強(qiáng)度因子，需要在Step模塊中創(chuàng)建時(shí)間歷程輸出（History output），并指定圍線積分的數(shù)量和輸出數(shù)據(jù)的類型，如圖16所示。

圖16 創(chuàng)建應(yīng)力強(qiáng)度因子歷程數(shù)據(jù)輸出

其他關(guān)于邊界條件和載荷的設(shè)置與常規(guī)的靜力分析流程完全相同，因此按靜力分析的流程進(jìn)行前處理即可。最終計(jì)算得到裂紋尖端的應(yīng)力分布如圖17所示。

圖17 裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)

提取裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子如圖18所示。

圖18 中心裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子

從圖18中可以看出，由于圍線積分1是在裂紋尖端處評(píng)估的，因此存在較大的誤差，在剔除掉圍線積分1之后，剩余圍線積分計(jì)算得到的平均值為244.713MPa?mm^1/2，與中心裂紋板的解析值243.6MPa?mm^1/2相比誤差僅為0.46%，因此可以認(rèn)為通過ABAQUS的圍線積分計(jì)算得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子是非常精確的。

為了驗(yàn)證裂紋尖端的單元為壓縮的四邊形單元，下面將前面分析的模型文件輸出為inp文件，并導(dǎo)入到ABAQUS中，此時(shí)模型中的部件將僅由孤立網(wǎng)格（orphan mesh）構(gòu)成，通過Mesh模塊的Query工具查詢裂紋尖端的網(wǎng)格，可以得到裂紋尖端的單元類型為8節(jié)點(diǎn)帶縮減積分的平面應(yīng)力單元CPS8R，因此可以確定裂紋尖端為壓縮的四邊形單元，而非三角形單元，其節(jié)點(diǎn)構(gòu)成如圖19所示。

圖19 裂紋尖端單元的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成

從圖19可以看出，裂紋尖端為具有8節(jié)點(diǎn)的退化的四邊形單元，而非三角形單元，并且中間節(jié)點(diǎn)被移動(dòng)到了1/4位置處，位于裂紋尖端的三個(gè)節(jié)點(diǎn)被約束在了一起，這樣的節(jié)點(diǎn)布置方式能夠保證整個(gè)單元都具有r^-1/2的奇異性。

文章來源：FEM and FEA