今天給大家分享的是等參單元中的雅可比矩陣行列式與單元面積的關系。

原文鏈接：

OK，先來普及一下何為雅可比矩陣，維基百科給出的解釋是這樣的：

在向量分析中，雅可比矩陣（也稱作Jacobi矩陣，英語：Jacobian matrix）是函數的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣。—維基百科

身為非數學專業的我們是不是感覺上述概念有些許抽象，在有限元的世界里，雅可比矩陣多出現與等參變換的過程中。

坐標系轉換

大家可看一眼下方的圖示，簡要的表述了等參單元的自然坐標系與物理坐標系變換的關系。

坐標系轉換過程

左側為等參單元在自然坐標系下的表示，為一個規則的正方形單元，邊長為2；右側為物理坐標系下的任意形狀四邊形單元。兩者坐標系通過特殊的變換，即可由其中一個坐標系代表另一個坐標系。

雅可比矩陣馬上登場！

其中，雅可比矩陣可表示為：

形函數對兩個坐標系坐標的偏導，可由雅可比矩陣進行轉換。至此，雅可比矩陣的概念已成功引出，再回到今天的主題：等參單元中的雅可比矩陣行列式與單元面積的關系

面積微元轉換

既然兩者坐標系可以相互轉化，那坐標系下的單元是不是也可以相互轉化？

對于單元的面積：自然坐標系下的等參單元的微元面積可表示為：

在這里補充一個數學知識：兩個向量叉乘數值等于與兩向量共線的平行四邊形的面積。

物理坐標系下的、方向可表示為、，兩方向的向量可表示為：

單元面積進而可以表示為：

雅可比行列式就此登場！

比如，常應變單元中的單元面積可在三節點等參單元區域內進行二重積分求解：

對于等參四邊形單元：

相同的道理，對于等參六面體單元：

通過上述變換，公式左側為物理坐標系下的單元面積，1/2、4、8均為相應等參單元的面積、體積，兩者通過雅可比行列式相連接。

以上觀點乃木木學習有限元過程中的一些個人觀點，不一定完全正確，僅供參考，感謝您的閱讀，歡迎批評指正！

聲明：文中的公式部分參考了張雄老師的《有限元法基礎》。

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