摘 要：用有限元法對進行結(jié)構(gòu)和自由度體系進行分析，其網(wǎng)格的生成是建立有限元模型的重要技術(shù)，利用分塊分割法對網(wǎng)格自動劃分，從而形成有限元網(wǎng)格模型，完成有限元分析的前處理。

關(guān)鍵詞：有限元法；分塊分割；網(wǎng)格

中圖分類號：O241.82；O24221 文獻標(biāo)識碼：A

0 前 言

有限元分析技術(shù)作為一種運用計算機工具的數(shù)值分析方法已經(jīng)取得了巨大的成功，其應(yīng)用的領(lǐng)域亦已從力學(xué)分析拓展到各類物理場的分析(如溫度場，電場，磁場，滲流場，聲波場等)，成為結(jié)構(gòu)和多自由度體系分析的有力工具，已被廣泛用于產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計、傳導(dǎo)、屈曲分析及其它科學(xué)研究領(lǐng)域，原來進行有限元分析常常采用手工計算生成有限元模型的輸入數(shù)據(jù)，既耗費時間，又容易出錯，特別是大型復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，其手工輸入數(shù)據(jù)的計算工作量大得驚人。故為減少數(shù)據(jù)輸入的準(zhǔn)備工作和提高工作效率，有限元系統(tǒng)都應(yīng)配有使用方便，功能齊全的前處理程序。有限元網(wǎng)格自動生成，是建立有限元模型的重要技術(shù)條件。但目前還沒有一種通用的網(wǎng)格自動自動生成方法。本文采用分塊分割法對網(wǎng)格自動劃分，使用這種方法首先將整體結(jié)構(gòu)分割成若干個適用于網(wǎng)格自動劃分的參數(shù)子域，然后在相應(yīng)的參數(shù)域上生成子域的網(wǎng)格，再組合成完整的有限元網(wǎng)格模型。

1 傳統(tǒng)等參數(shù)映射法計算節(jié)點坐標(biāo)

如果子域看作是一個大的等參單元，根據(jù)等參單元坐標(biāo)變換公式，可以計算子域的點坐標(biāo)：

對于二維，三維問題，分別采用6節(jié)點三角形，8節(jié)點四邊形和20節(jié)點六面體等參單元。因此N_i是對應(yīng)單元的形函數(shù)，n是等參單元的節(jié)點數(shù)，X_i，Y_i，Z_i是等參單元節(jié)點坐標(biāo)，子域可選擇由曲面三角形，曲面四邊形和曲面六面體。

一般情況下，采用等參數(shù)映射法生成結(jié)構(gòu)網(wǎng)格模型，這樣，等參單元模擬圓時會出現(xiàn)誤差。如果圓心角小于90°時，誤差較小，但圓心角大于90°時，則誤差較大不可忽略。因此用等參數(shù)映射法生成旋轉(zhuǎn)面或旋轉(zhuǎn)體的網(wǎng)格，需要分割的子域多，故輸入計算工作量較大，自動生成程度低。

2 改進分塊分割法計算旋轉(zhuǎn)面節(jié)點坐標(biāo)

如圖1所示，在Y-Z平面上的參數(shù)曲線P為Y=Y(t)；Z=Z(t)，若將曲線P繞Z軸旋轉(zhuǎn)，可得環(huán)面方程為： (0≤≤) 所以確定旋轉(zhuǎn)面方程主要是確定其母參數(shù)方程。

圖1

根據(jù)不同類型的母線參數(shù)方程，即得不同的旋轉(zhuǎn)面。

1)母線為直

若母線是從點(Y₁，Z₁)到點(Y₂，Z₂)的一段直線，

則其方程是：

Y(t)=Y₁+t(Y₂-Y₁) (0≤t≤1)

Z(t)=Z₁+t(Z₂-Z₁)

2)母線為一段圓弧

若圓弧的圓心為(a,b)，半徑為R，則母線方程是：

Y(t)=a+Rcost (t₁≤t≤t₂)

Z(t)=b+Rsint

3)母線是雙曲線

若母線是雙曲線，則其參數(shù)方程是：

Y(t)=acht (t₁≤t≤t₂)

Z(t)=bsht

4)母線是任意曲線

若母線是平面上的一條任意曲線，采用二次Bezier曲線來擬合其母線。如圖2所示，在旋轉(zhuǎn)面母線上選取三點P1，P2和P3，其中P1，P3是母線的兩個端點，P2一般選取母線中點或母線上曲率最大的點，令V1=P1，V3=P3，為使擬合的Bezier曲線通過P2點，控制多邊形的另一點V2，可按下式計算： P2(t2)=(1-t２)2V1+2t2(1-t2)V２+t2V3 則用控制頂點為V1：(Y1，Z1)，V2：(Y2，Z2)和V3：(Y3，Z3)的二次Bezier曲線擬合旋轉(zhuǎn)面的母線，其母線上對應(yīng)參數(shù)t的分割點坐標(biāo)為：

圖2

Y(t)=(1-t)²Y₁+2t(1-t)Y₂+t²Y₃ (t₁≤t≤t₂)

Z(t)=(1-t)²Z₁+2t(1-t)Z₂+t²Z₃

對于幾何形狀復(fù)雜的母線，可采用三次Bezier曲線或分段Bezier曲線拼接擬合。網(wǎng)格劃分時，首先對參數(shù)進行分割，然后用分割點的參數(shù)求得旋轉(zhuǎn)面上對應(yīng)點的坐標(biāo)，以t和θ為分割參數(shù)。 參數(shù)t的分割可根據(jù)曲線上點的曲率半徑大小確定分割段數(shù)和分割點參數(shù)ti 參數(shù)θ的分割為: θj=360j/N2(j=0，1，…，N2) 若母線繞Z軸從角θ1旋轉(zhuǎn)到θ2，則： θj+1=θ1+j (θ2-θ1) /N2 (j=0，1，…，N2) 其中N2是沿圓周方向的分割段數(shù)。 則在旋轉(zhuǎn)面上對應(yīng)于參數(shù)ti,θj的分割點坐標(biāo)為： Xij=Y(ti)cosθj Yij=Y(ti)sinθj Zij=Z(ti)

圖3

3 改進分塊分割法計算旋轉(zhuǎn)體節(jié)點坐標(biāo)

旋轉(zhuǎn)體是由一平面繞該平面中的一個軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的曲面立體。通常可理解為軸對稱問題，它的節(jié)點坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)面節(jié)點坐標(biāo)的計算方法類似。當(dāng)然旋轉(zhuǎn)體的母線可以是一段圓弧，雙曲線，直線和任意曲線。如圖3所示，設(shè)曲線C₁和C₂分別為：

Y′=Y′(t_i′)

Z′=Z′(t_i′)

Y″=Y″(t_i″)

Z″=Z″(t_i″)

m，n分別為根據(jù)母線曲率半徑大小把母線成正比例分割的參數(shù)

旋轉(zhuǎn)體在Y-Z平面上的某點坐標(biāo)可以這樣計算：

y(u_j)=y′(t_i′)+u_j［y″(t_i″)-y′(t_i′)］

Z(u_j)=Z′(t_i′)+u_j［Z″(t_i″)-Z′(t_i′)］

平面ABCD繞Z軸從θ₁旋轉(zhuǎn)到θ₂，則旋轉(zhuǎn)體上對應(yīng)參數(shù)t_i，u_j和θ_k的分割點坐標(biāo)為：

X_ijk=y(u_j)cosθ_k

Y_ijk=y(u_j)sinθ_k

Z_ijk=Z(u_j)

其中N₁，N₂，N₃分別是母線C₁壁厚和圓周方向的分割段數(shù)。

4 計算實例

一個復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，用這種分塊分割法生成有限元網(wǎng)格，生成節(jié)點坐標(biāo)，并在各個子域內(nèi)生成，如圖4所示，是網(wǎng)格自動生成的例子，為有限元計算提供了條件，也簡化了輸入數(shù)據(jù)。

用等參數(shù)映射法生成旋轉(zhuǎn)面和旋轉(zhuǎn)體網(wǎng)格時，為減少誤差，必須通過增加子域來提高節(jié)點坐標(biāo)的計算精度，這樣將導(dǎo)致輸入數(shù)據(jù)大幅度增加。但用參數(shù)方程表示旋轉(zhuǎn)面和旋轉(zhuǎn)體，由分割點參數(shù)計算對應(yīng)節(jié)點坐標(biāo)，只需要知道母線上3個點的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)角度，因此輸入數(shù)據(jù)少，自動生成程度高。

來自：貴州工業(yè)大學(xué)學(xué)報 作者：許賢澤