等參單元的案例
等參單元的雅可比矩陣行列式與單元面積的關系
物理坐標系下的、方向可表示為、，兩方向的向量可表示為：
單元面積進而可以表示為：
雅可比行列式就此登場！
比如，常應變單元中的單元面積可在三節點等參單元區域內進行二重積分求解：
對于等參四邊形單元：
相同的道理，對于等參六面體單元：
通過上述變換，公式左側為物理坐標系下的單元面積，1/2、4、8均為相應等參單元的面積、體積，兩者通過雅可比行列式相連接。
以上觀點乃木木學習有限元過程中的一些個人觀點，不一定完全正確，僅供參考，感謝您的閱讀，歡迎批評指正！
聲明：文中的公式部分參考了張雄老師的《有限元法基礎》。
覺得本篇推文對你有幫助的話，可以動動的小手一鍵三連（點贊?在看?分享）哦~
展開 平面四節點等參單元程序
用C語言編寫的程序，計算結果寫成兩個文件，一個輸出節點位移和單元應力，另一個可以用tecplot打開，看位移云圖和應力云圖
平面四節點等參單元.part3.rar
平面四節點等參單元.part1.rar
平面四節點等參單元.part2.rar
基于ABAQUS的UEL子程序定義4節點平面應變等參單元的剛度問題
摘要：
采用基于ABAQUS的UEL子程序開發4節點平面應變等參單元，采用雙線性形函數，4點高斯積分，本構關系為線彈性各向同性材料，得到的單元剛度矩陣和ABABUS自帶的CPE4單元的單元剛度矩陣（剛度矩陣輸出方式為*element matrix output, elset= ALLE, stiffness=yes, OUTPUT FILE=USER DEFINED）不同；對比ANSYS的單元剛度矩陣，結果顯示兩者也不相同。問題出在哪里呢？本文檔將對此問題進行回答。
本文可以作為ABAQUS高級子程序UEL的入門級教程，做UEL的應該關注下！
基于ABAQUS的UEL子程序定義4節點平面應變等參單元的剛度問題（技術鄰 藍牙）.pdf
展開 有限元理論簡介及常見問題課程
單元剛度矩陣為啥是半正定的？
總體剛度矩陣為什么會有奇異性？如何消除？
有限元插值函數與單元
啥是廣義坐標系下的插值函數？自然坐標下的插值函數？有啥特點？
啥是拉格朗日插值函數？
有限元中單元如何分類？
什么是拉格朗日單元？
二維拉格朗日單元如何構造？
啥是面極坐標？體積坐標？
有限元誤差分析與收斂準則
有限元分析的誤差來源到底有哪些？
從數學角度如何理解有限元解的收斂準則？
有限元收斂準則的物理意義是啥？
為什么有限元位移解總是偏小？
為啥有限元計算的應力解不可靠？
有限元等參單元
為什么要引入等參單元？
什么是等參單元？
什么是雅克比矩陣？她對于等參單元有啥影響？
下面是受到的一些反饋
展開 
旋轉體結構有限元網格自動劃分法
1 傳統等參數映射法計算節點坐標
如果子域看作是一個大的等參單元，根據等參單元坐標變換公式，可以計算子域的點坐標：
對于二維，三維問題，分別采用6節點三角形，8節點四邊形和20節點六面體等參單元。因此Ni是對應單元的形函數，n是等參單元的節點數，Xi，Yi，Zi是等參單元節點坐標，子域可選擇由曲面三角形，曲面四邊形和曲面六面體。
一般情況下，采用等參數映射法生成結構網格模型，這樣，等參單元模擬圓時會出現誤差。如果圓心角小于90°時，誤差較小，但圓心角大于90°時，則誤差較大不可忽略。因此用等參數映射法生成旋轉面或旋轉體的網格，需要分割的子域多，故輸入計算工作量較大，自動生成程度低。
2 改進分塊分割法計算旋轉面節點坐標
如圖1所示，在Y-Z平面上的參數曲線P為Y=Y(t)；Z=Z(t)，若將曲線P繞Z軸旋轉，可得環面方程為：
(0≤≤)
所以確定旋轉面方程主要是確定其母參數方程。
圖1
根據不同類型的母線參數方程，即得不同的旋轉面。
1)母線為直
若母線是從點(Y1，Z1)到點(Y2，Z2)的一段直線，
則其方程是：
Y(t)=Y1+t(Y2-Y1) (0≤t≤1)
Z(t)=Z1+t(Z2-Z1)
2)母線為一段圓弧
若圓弧的圓心為(a,b)，半徑為R，則母線方程是：
Y(t)=a+Rcost (t1≤t≤t2)
Z(t)=b+Rsint
3)母線是雙曲線
若母線是雙曲線，則其參數方程是：
Y(t)=acht (t1≤t≤t2)
Z(t)=bsht
4)母線是任意曲線
若母線是平面上的一條任意曲線，采用二次Bezier曲線來擬合其母線。
展開 學習有限元需了解的知識點
答：1.均質材料單元所受體力等效，只需將單元外載荷均勻等分至各個節點即可
2.邊界受均勻分布力等效，只需將單元邊界上的分布載荷之和平均分配至受力的連個節點
3.邊界受三角形分布面力等效，總力ql/2，分布力ql/6;ql/3
4.邊界受梯形分布面力的等效，疊加原理，
32、 何謂等參單元？等參單元具有哪些特點？使用等參單元應注意什么？在等參單元計算中，數值積分階次是否越高越好呢？為什么？
答：定義：以規則形狀單元的位移函數相同階次函數為單元幾何邊界的變換函數，通過
坐標變換所獲得的單元。
特點：單元幾何邊界的變換函數與規則單元位移函數具有相同的節點參數。
注意：單元為凸
不是，階次提高，單元自由度相應增加，計算更加復雜，積分更困難。
33、 平面三角形單元能否看成等參數單元，如能，其母元（標準元）為何？按等參單元定義進行解釋。
答：能；直角等腰三角形；以三角形單元的位移函數相同階次函數為單元幾何邊界的變換函數，通過坐標變換所獲得的單元。
34、 桿梁單元如何區分？各有何特點？應用時如何選擇？
答：桿：承受軸力和扭矩的桿件；梁：承受橫向力和彎矩的桿件。
桿：節點數2，節點自由度1；梁：節點數2，節點自由度2。
根據受力情況進行選擇。
展開 基于abaqus的有限元理論詳解
而線性減縮積分單元計算的數值剛度相對于結構的真實剛度偏小。具體看下文的數值積分。
三、等參單元與數值積分
當采用等參單元時，在單元剛度矩陣和等效節點載荷的計算公式中，要進行積分運算，并且被積函數的非常復雜。很難求出原函數來精確積分。一般采用數值積分方法，即在單元內選出某些點作為積分點，計算被積函數在這些積分點的值，再分別乘以權系數，然后求其和作為近似積分值。數值積分方法很多，在有限元分析中通常采用高斯積分法，它能以較小的積分點達到較高的計算精度。
對于等參單元，在計算單元剛度時，被積函數通常不能化為多項式因而難以確定積分點個數。但是如果單元很小，以致應變和應力的中的元素可視為常量時，則被積函數中的冪次將取決于剛度矩陣的被積函數中的雅克比行列式J的冪次。J的冪次取決于標準單元與等參單元之間的坐標變換關系。對于20節點空間單元，通常J中的局部坐標以5次冪的形式出現，也即是一維積分點個數N》（5+1）/2=3，才能zuo到精確積分。對于8節點空間單元，通常J中的局部坐標以3次冪的形式出現。
由于單元中的應力和應變不是常量，除了僅由一個積分點的常應變單元。故上述積分點的數目少于精確積分所需的數目。階次低于精確積分所需階次的高斯積分稱為減縮積分。這種積分方案對于提高有限元位移解的精度是有益的。因為減縮積分較精確積分所得的積分值偏小。而位移有限單元法中位移函數用有限自由度來逼近無限自由度，使單元的剛度值擴大了。從而上述兩種因素引起的誤差被部分的抵消了。
精確積分通常由形函數中非完全多項式的最高階次所要求，而決定有限元精度的通常是完全多項式的階次。非完全的高次項往往不能提高精度，反而帶來不利的影響，也就是說，積分點的選擇只要能保證形函數中完全多項式部分的精確積分就可以了。不會因積分誤差帶來對有限元計算精度的影響。
展開 四節點/八節點四邊形單元懸臂梁的Matlab有限元編程——《Matlab有限元編程從入門到精通》系列
從上述剛度矩陣的表達式可以看出，自然坐標和物理坐標間要完成坐標映射、偏導映射、面積隱射三個部分，具體映射公式已在上一節的等參單元講解中詳細給出。
(21)
4、高斯積分
公式（20）中的單元剛度矩陣通過數值積分求得，本案例中的四節點和八節點四邊形等參單元均采用2*2個積分點的高斯積分即可求得精確結果。高斯積分點的坐標具體如圖所示。
案例實操：四面體單元懸臂梁的Matlab有限元編程過程講解
之前的課程我們學習了一維梁單元，二維平面單元，三維板殼單元的matlab有限元編程，本次案例主要講解如何用matlab實現針對四面體單元劃分的三維結構進行有限元編程，具體案例是一個懸臂梁受集中荷載的問題。圖1為本案例Matlab編程計算得到的結果。主要內容涉及四面體單元的有限元基本理論的推導，主要是單元剛度矩陣的推導，此外還包括等參單元和Hammer數值積分以及三維問題的后處理計算。
圖1 懸臂梁受集中荷載的應力云圖
一個完整的有限元程序基本組成部分包括前處理模塊、分析主程序模塊和后處理模塊。在前處理模塊中，實現節點坐標輸入、單元節點編號、網絡劃分以及邊界條件輸入等工作；在分析主程序模塊中，求解整體剛度方程；在后處理模塊中，實現結果顯示、數據輸出等工作。對應的有限元法的基本步驟：（1）幾何域離散，獲得標準化的單元；（2）通過能量原理（虛功原理或最小勢能原理，獲得單元剛度方程；（3）單元的集成（裝配）；（4）處理位移邊界條件；（5）計算位移場；（6）計算單元的其他物理量（應力應變）。這幾步中，最核心的內容是單元研究，具體包括：（1）節點描述（不同坐標系節點坐標的變化）；（2）場描述（位移場，應變場，應力場，形函數）；（3）單元剛度方程（基于能量原理推導）。需要說明的是后文的四面體單元有限元方程的推導過程是基于等參單元的基本理論從局部坐標（自然坐標、體積坐標）出發來推導四面體單元的剛度矩陣，因為這樣做比較規范自然，推導過程也適用于其他類型單元。但是因為四面體單元相對簡單也可以直接從直角坐標（全局坐標）進行推導，具體推導過程可參考清華大學曾攀老師的課程，直接從直角坐標（全局坐標）進行推導的過程省去了等參單元雅各比矩陣呀等坐標系映射的各種概念，理解起來相對容易。
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在附件中，給出了Matlab代碼和視頻中的PPT，代碼主要包含四個部分，主程序（簡易網格劃分，矩陣組裝，求解，后處理）和三個函數（矩陣組裝函數，等參單元高斯積分函數，等參單元剛度矩陣函數）。
下圖為6個單元時數值解與準確解的對比，隨著節點的加密（單元劃分更多）數值解會逐漸逼近準確解，有限元法具有嚴格的一致收斂特性，有興趣的同學可以在附件的代碼中自己嘗試下，代碼中包含網格劃分程序。
希望對大家有所幫助！同時歡迎有興趣的同學一起探討學習。
你不知道的CAE小常識（二十一）（二十二）
在等參元中，單元中n+1階(n=p-m)高斯積分點上的應變或應力近似解比其它部位具有較高的精度，因此我們稱(n+1)階高斯積分點是等參元中的最佳應力點。因此有限元法中是以通過節點位移根據位移模式推出高斯點位移，然后求得應變和應力結果（苦逼的常應力單元，單元內各點應變、應力是一樣的，so，你懂的）。
4.高斯點是等參單元內最佳應力點。高斯積分點雖然是單元內最佳應力點，但在節點上并非最佳，節點應力有一種Newton-cotes積分方法。因此，有的FEM程序會采用其他積分方法以獲得單元邊界或者節點上的精確應力。
5.節點力是高斯點應力在單元內積分，再累加其他單元的相同節點結果得到節點力;而節點應力是通過高斯點應力外推通過平均各單元外推應力而得（應力磨平）。
6.常見單元的高斯積分點位置示意。
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Abaqus中獲取積分點坐標的三種方法
3通過等參單元映射函數計算
等參元中，為了方便計算，把整體坐標映射到自然坐標，然后在自然坐標下進行高斯積分。如果知道了自然坐標下的高斯積分點，通過映射函數反算，便能得到整體坐標下的高斯積分點坐標。以四邊形等參單元為例，其以自然呢坐標為變量的插值形函數如下
坐標變換采取同樣的插值函數(叫做等參的原因)，整體坐標和自然坐標的關系式如下，如果知道自然坐標下的高斯積分點，直接通過此公式計算其在整體坐標下的坐標。
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展開 關于有限單元法中節（結）點與積分點的幾點釋疑
節點和積分點是有限單元法（FEM）的兩個基本概念，初涉有限元計算的同志往往在這點上產生混淆，假設導師面試的時候，問單元應力是什么，若回答不慎，將貽笑大方，得不償失。本文試圖以簡略易懂的說法來闡述節點和積分點的區別。
1.節點位移是有限元法的基本未知量。節點構筑了問題域的幾何離散化形狀，節點是形函數的零點，通常形函數是以節點為依據進行假設的。形函數決定了單元內部各點運動的位移模式（常用帕斯卡三角形來選擇單元位移模式），這樣就形成了數學上所說的插值。
有限元法的原理就是將問題域分割成N多小單元，在每個單元內采用簡單的函數來近似表達單元的真實位移，將各單元再連接起來，就可以近似描述整個問題域的運動。因此，有限元法從根本上就是精確的，而不是準確的。
2.積分點是單元進行數值積分的已知量。有限元法中一般采用高斯積分，但是積分方法不限于高斯積分，如果有人用了Irons積分或者Hammer積分，請不要驚訝。在形成單元剛度矩陣和進行節點應力磨平的時候，需要高斯積分。
以等參單元為例，其剛度矩陣
，這個就需要數值積分來快速計算，高斯點坐標及權系數如表4.2[王勖成]所示。
老師授課時一般對常應力單元進行推導，而常應力單元只有一個積分點，被積函數是常數，因此體現不出高斯積分來。很多老師對高斯積分在單元剛度矩陣的應用不予細述，導致部分同學對單元積分點認識不足。
3.單元應力指的是高斯積分點的應力，而非節點上的應力。有了位移模式，再通過虛功原理得到單元剛度矩陣，然后聚合總剛，求解平衡方程，就會把基本未知量——節點位移求出來了。通過節點位移得到單元應變結果，利用物理方程求得單元應力結果。
在等參元中，單元中n+1階(n=p-m)高斯積分點上的應變或應力近似解比其它部位具有較高的精度，因此我們稱(n+1)階高斯積分點是等參元中的最佳應力點。
展開 一個單元也能干大事之單元剛度初探
本公眾號將推出“一個單元也能干大事”系列文章，試圖從最小的單元出發，來為初學者講解一些有限元基本理論。該系列文章力爭篇幅短小，簡單通俗，深入本質，一看就懂，并且希望能跟讀者討論互動。
一個單元能干什么？今天我們來研究一下四邊形等參單元，試圖帶大家探討一下它的單元剛度矩陣。來，先跟我一起玩個小游戲，放松一下。
1個單元，4個點，8個位移，4條邊，哇
2個單元，8個點，16個位移，8條變，哇哇
3個單元，12個點，24個位移，12條變，哇哇哇……
關于四邊形等參單元剛度矩陣的推導，一般有限元教材都有詳細的介紹，這里就不再討論。書看千遍，不如公式推一遍，公式推千遍，不如代碼擼一行，我們直接上代碼，進行計算。
單元剛度矩陣如下，這是一個8*8的矩陣，我們來研究一下，該單元剛度矩陣的特性。
一、單元剛度矩陣是對稱矩陣，即滿足Kij=Kji
二、單元剛陣主對角線元素恒為正值；因為主對角元素表示力的方向和位移方向一致，故總為正值。
三、我們計算一下剛度矩陣的行列式
可以看到，行列式|K|=0，即單元剛陣是奇異陣，從物理意義上來解釋，這是因為計算單元剛陣時沒有對單元的節點加以約束，雖然，單元處于平衡狀態，但容許單元產生剛體位移，故從單元剛度平衡方程不可能得到唯一位移解。
四、我們來計算一下剛度矩陣的特征值
可以看到，矩陣共有八個特征值，其中有三個零特征值。你覺得這是偶然嗎？不，冥冥之中自有天數。剛度陣的秩為5，說明剛度矩陣只有5行是線性無關的，需要約束其中的3個自由度，方程Ku=F才能求解。而約束3個自由度，就是為了消除3個剛體位移。
展開 《有限元分析：ANSYS理論與應用（第二版）》
【目錄】
緒論
1.1 工程問題
1.2 數值方法
1.3 有限元方法和ANSYS簡介
1.4 有限元分析的基本步驟
1.5 直接法
1.6 最小總勢能法
1.7 加權余數法
1.8 結果驗證
1.9 理解問題
小結
參考文獻
習題
第2章 預備知識：矩陣基本運算
2.1 矩陣的基本定義
2.2 矩陣的相加或相減
2.3 矩陣相乘
2.4 矩陣分塊
2.5 矩陣轉置
2.6 矩陣的行列式
2.7 線性方程組的求解
2.8 矩陣求逆
2.9 特征值和特征向量
2.10 MATLAB在矩陣運算中的應用
小結
參考文獻
習題
第3章 桁架
3.1 桁架的定義
3.2 有限元公式
3.3 空間桁架
3.4 ANSYS程序概述
3.5 ANSYS應用
3.6 結果驗證
小結
參考文獻
習題
第4章 軸力構件，梁和框架
4.1 軸向荷載作用下的構件
4.2 梁
4.3 梁的有限元分析
4.4 框架的有限元分析
4.5 三維梁單元
4.6 ANSYS應用
4.7 結果驗證
小結
參考文獻
習題
第5章 一維單元
5.1 線性單元
5.2 二次單元
5.3 三次單元
5.4 整體坐標，局部坐標和自然坐標
5.5 等參單元
5.6 數值積分：高斯-勒讓德積分
5.7 ANSYS中一維單元舉例
小結
參考文獻
習題
第6章 一維問題分析
6.1 熱傳遞問題
6.2 流體力學問題
6.3 ANSYS應用
6.4 結果驗證
小結
參考文獻
習題
第7章 二維單元
7.1 矩形單元
7.2 二次四邊形單元
7.3 線性三角形單元
7.4 二次三角形單元
7.5 軸對稱單元
7.6 等參單元
7.7 二維高斯-勒讓德積分
7.8 ANSYS中的二維單元
小結
參考文獻
習題
第8章 再論ANSYS
8.1 ANSYS程序
8.2 ANSYS數據庫和文件
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