減縮積分單元
關注創建者：匿名 創建時間：2026-01-04
減縮積分單元的視頻教程
考慮分層失效的三維RVE模型的建立與分析
(8) 減縮積分單元的沙漏現象？單元類型對結果的影響。 (9) cohesive接觸與零厚度cohesive單元的結果對比分析。 (10) digimat與abauqs的聯合仿真 (11) 剪切工況下的RVE模型與結果處理，位移如何施加？如何計算剪切的應力應變曲線？
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選擇積分與 Abaqus 梁單元內核
首先討論選擇積分與降階積分的理論爭議（Bathe vs 王勖成），分析零能模式與剪切鎖死的數學機制。隨后通過 Timoshenko 梁經典例題，對比經典梁、精確積分與縮減積分三種結果，解釋 25% 誤差來源。接著深入 Abaqus 梁單元理論，介紹中心線描述、變形梯度分解、四元數大轉動更新及虛功方程。最后說明普通梁、開口薄壁梁與混合梁單元的選型邏輯，并引入張量分析基礎。
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基于Matlab的J積分與等參單元求解應力強度因子
本視頻基于Matlab的J積分與等參單元求解應力強度因子，里面涉及有限元中的等參單元編程，有興趣可以看一下，講的時候可能有點啰嗦，大家見諒，相關代碼可在公眾號：易木木響叮當 回復：J積分 自動獲取。
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減縮積分單元的實例教程
引言：
莊茁P65對沙漏現象的描述如下圖：
本文試圖基于純彎曲加載下線性減縮積分的應變公式，對沙漏現象的產生機理進行淺淺的理論闡述。
我們在前一篇博文中簡述了有限元中的數值積分機理：
數峰青，公眾號：數峰青
有限元筆記#1：什么是剪切自鎖？為什么完全積分線性單元在彎曲載荷下會剪切自鎖？
以一個平面應力問題的四節點矩形單元為例。
單元的坐標系建立在中心。對于這樣一種線性單元，在構造剛度矩陣的時候，需要進行下式所示的積分。
（四節點矩形單元應該是8×8)
其中B矩陣是單元形函數對空間坐標的相關偏導，D矩陣是本構矩陣。該積分中的被積矩陣（8×8）的每一個元素都是一個三元函數，其針對單元域的積分值成為一個剛度系數。如上單元在高斯積分方案下的減縮積分就是取被積函數在積分域中心點的函數值乘以2（曾攀04P178），實際上就是梯形積分公式。
在純彎曲變形加載模式下，該剛度矩陣得出的節點位移向量解具有一定的特征，莊茁P65的圖示（本文圖1）也表示了這種特征：四個節點在2方向的位移相等，1、3節點在1方向上的位移相等，2、4節點在1方向上的位移相等，且它們互為相反數，也即我們可以得到如下形式的一個節點位移向量：
但是需注意，只有在純彎曲加載模式下，才會得到這樣形式的位移向量。
針對上面的線性矩形單元，其應變矩陣如下圖所示：
在減縮積分模式下，例如積分點(0,0)，并將得到的節點位移代入，可以得到該積分點下的應變值為：
可以看出，在該積分點處，應變的三個分量都為0。在非線性分析中，當前增量步得到積分點上的應力應變值需要代入本構曲線中，更新本構數據，進而構造下一個增量步迭代所需要的初始切線剛度矩陣。
展開 由于單元在此模式下沒有剛度，所以不能抵抗此種形式的位移。在粗網格中，這種零能量模式會通過網格擴展出去，從而產生無意義的結果，這就是所謂的沙漏問題。
可在ABAQUS中對減縮積分單元引入少量的人工“沙漏剛度”以限制沙漏模式的擴展。當模型中有更多的單元時，這種剛度在限制沙漏模式方面是更有效的，這意味著只要采用合理的細網格，線性減縮積分單元會給出可接受的結果。對許多應用而言，采用細網格的線性減縮積分單元所產生的誤差是在一個可接受的范圍內的。這個結果說明當用這類單元來模擬承受彎曲載荷的結構時，在厚度方向上至少應采用四個單元。當在梁的厚度方向只有一個線性減縮積分單元時，所有的積分點都位于中性軸上，從而該模型將不能抵抗彎曲載荷。(這種情況在表4－2中用*標出)。
因為線性減縮積分單元對變形的魯棒性，因此可在變形很大的模擬中采用剖分較細的此類單元。
二次減縮積分單元也有沙漏模式。然而在正常網格中這種模式幾乎不可能擴展出去，并且在網格足夠細時基本上不會造成什么問題。由于沙漏問題,C3D20R單元的1′6網格計算發散；若在寬度方向上變為兩個單元，即2×6網格，就不會發散，但對于更細的網格，即便在寬度方向上只有一個單元也不會發散。即使在復雜應狀態下，二次減縮積分單元對鎖閉并不敏感。因此一般來說，除了大應變的大位移問題和一些接觸分析問題外，這些單元是應力/位移模擬最佳選擇。
4.1.3 非協調單元
非協調單元是克服完全積分的一階單元的剪力鎖閉問題的一種嘗試。既然剪力鎖閉是由于單元的位移場不能模擬與彎曲相關的運動學而引起的，那么可以考慮把增強單元變形梯度的附加自由度引入到一階單元中去。對變形梯度的加強使一階單元在單元中的變形梯度呈線性變化，如圖4－9(a)所示。
展開 2階8節點減縮積分平面應變單元子程序UELMAT源代碼及計算算例
來源：力學與Abaqus仿真
對于大多數Abaqus用戶，在選擇單元類型時都會有這樣的困惑，可選的單元類型很多，還有減縮積分、完全積分、線性單元、二次單元、非協調單元、雜交單元、沙漏控制等眾多選擇（圖1），在實際有限元分析時，究竟應該如何選擇合適的單元類型。從今天開始，陸續介紹單元類型的選取原則，供大家參考。
圖1 單元類型選擇對話框
選擇三維實體單元類型時應遵循以下原則：
● 對于三維區域，盡可能采用結構化網格劃分技術或掃掠網格劃分技術，從而得到Hex單元網格，減小計算代價，提高計算精度。當幾何形狀復雜時，也可以在不重要的區域使用少量楔形（Wedge）單元。
● 如果使用了自由網格劃分技術，Tet單元的類型應選擇二次單元。在Abaqus/Explicit中應選擇修正的Tet單元 C3D10M，在Abaqus/Standard中可以選擇C3D10，但如果有大的塑性變形，或模型中存在接觸，而且使用的是默認的“硬”接觸關系（“hard”contact relationship），則也應選擇修正的Tet單元 C3D10M。
● Abaqus的所有單元均可用于動態分析，選取單元的一般原則與靜力分析相同。但在使用Abaqus/Explicit模擬沖擊或爆炸載荷時，應選用線性單元，因為它們具有集中質量公式，模擬應力波的效果優于二次單元所采用的一致質量公式。
如果使用的求解器是Abaqus/Standard，在選擇單元類型時還應注意以下方面：
● 對于應力集中問題，盡量不要使用線性減縮積分單元，可使用二次單元來提高精度。如果在應力集中部位進行了網格細化，使用二次減縮積分單元與二次完全積分單元得到的應力結果相差不大，而二次減縮積分單元的計算時間相對較短。
展開 ABAQUS中存在著豐富的單元類型，應用廣泛，下面主要介紹一下ABAUQS實體單元以及其應用。
ABAQUS實體單元大體可分為完全積分、減縮積分、非協調以及雜交這四種常見的單元模式。按階次可分為一階(線性)單元和二階單元。
（1）完全積分單元：單元具有規則形狀（邊是直線并且邊與邊相交成直角）時， 所用的Gauss積分點的數目足以對單元剛度矩陣中的多項式進行精確積分。
完全積分的線性單元在每一個方向上采用2個積分點；
完全積分的二次單元在每一個方向上采用3個積分點。如圖
不足：完全積分的線性單元存在“剪切自鎖”問題，原因是線性單元的邊不能彎曲。在復雜應力狀態下，完全積分的二次單元也有可能發生剪切自鎖。
（2）減縮積分單元：減縮積分單元比完全積分單元在每個方向上少用一個積分點。
完全積分的線性單元只在單元的中心有一個積分點
不足：線性減縮積分單元存在“沙漏模式”的數值問題，有可能過于柔軟。
ABAQUS通過繪制偽應變能(ALLAE)和內能(ALLIE)來評價沙漏模式對計算結果的影響。
（3）非協調單元：
優點：可以克服完全積分，一階單元中的剪力自鎖問題。
特點：在一階單元中引入一個增強單元變形梯度的附加自由度。這種對變形梯度的增強允許一階單元在單元域上對于變形梯度有一個線性變化。
不足：對單元的扭曲很敏感，在使用時必須小心以確保單元扭曲是非常小的。
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減縮積分單元的最新內容
所有實體層采用 C3D8R 減縮積分單元并激活單元刪除，內聚力層采用 COH3D8 單元，沖頭則使用離散剛體單元 R3D4。網格劃分基于掃掠技術（Advancing Front）生成。</p><p class="ql-align-justify"> 鋪層邏輯：支持非對稱鋪層序列輸入，用戶通過逗號分隔輸入各層角度。
單元選擇： 主體使用減縮積分殼單元（如S8R5或S4R）來模擬薄壁管道結構。
步驟 2：創建部件
分別創建代表直管段和90度彎管段的殼體部件。或一體的彎管部件。
幾何尺寸需嚴格按照案例提供的圖紙進行。關鍵尺寸包括：管道外徑、壁厚、彎管中心線半徑等。
步驟 3：定義材料屬性
材料模型： 定義彈塑性材料。楊氏模量 E = 193MPa，泊松比u= 0.264。名稱為PIPE。
SC8R 連續殼單元
SC8R 是8 節點減縮積分連續殼單元，屬于 Abaqus 中的連續殼單元系列，是一種降維殼單元（基于殼理論簡化）。
核心特性：
幾何與自由度：8 節點四邊形單元，節點包含3 個平移自由度 + 3 個轉動自由度（共 6 個自由度），通過殼中面描述幾何，厚度方向為離散的 "層"。
SC8R 單元的計算成本：
SC8R 單元由于采用減縮積分，計算成本最低。減縮積分單元比完全積分單元在每個方向上少用一個積分點，線性減縮積分單元只在單元的中心有一個積分點。這種積分方案使得 SC8R 單元在計算效率上具有明顯優勢，但可能在某些情況下出現沙漏問題。
三種單元在計算成本上的排序：
從計算成本 (由低到高) 排序為：SC8R < CSS8 < C3D8I。
鋼柱特征值屈曲分析10個月前
（來源：ABAQUS 結構工程分析及實例詳解 3.3）
2、 幾何模型與材料參數
（1） 模型構建：
本案例采用線性減縮積分梁單元 B31 模擬鋼柱，這種單元在保證計算精度的同時，能有效減少計算量。鋼柱模型的幾何尺寸根據常見工程實例確定，高度為 4200mm，截面采用工型鋼，型號為210×220×6×10（截面高度 × 翼緣寬度 × 腹板厚度 × 翼緣厚度）。
方鋼管混凝土短柱軸壓性能模擬11個月前
2、 幾何模型與材料參數
（1） 模型構建：
本案例采用減縮積分三維實體單元 C3D8R 模擬方鋼管混凝土短柱的混凝土和鋼管部分。混凝土六面體網格邊長為 20mm，鋼管網格邊長為 20mm。這樣的網格尺寸能夠在保證計算精度的同時，避免因網格尺寸過大導致模型不收斂，或尺寸過小使計算速度明顯減慢的問題，可較好地模擬實際試件的受力性能。
</p><p>2、 幾何模型與材料參數</p><p>（1） 模型構建：</p><p>本案例采用減縮積分三維實體單元 C3D8R 模擬雙鋼板-混凝土組合梁試件的混凝土、栓釘和鋼板部分，該單元對位移的求解結果較精確，在網格發生扭曲變形時分析精度不會受到大的影響。拉結筋采用T3D2三維二節點線性桁架單元進行模擬，墊塊和支座采用離散剛體殼單元進行模擬。
可以輸出umat接口中的變量coords進行查看
write(*,"(A,I4)") "npt = ", npt
write(*,"(A,3ES16.8)") "coords = ", coords
結果為：
npt = 1
coords = -5.77350269E-01 -5.77350269E-01 1.00000000E-02
npt = 2
建議使用非協調單元（如C3D8I）、一次減縮積分單元（如C3D8R）和修正的二次四面體單元（如C3D10M）。
22) 彈塑性分析與失效分析：ABAQUS/Standard僅在塑性應變較小時能給出準確結果，無法模擬因塑性變形過大導致的破壞過程。對于破壞和失效問題，應使用ABAQUS/Explicit進行分析，并定義適當的失效準則。可根據場變量STATUS的值隱藏失效單元。
如果使用了減縮積分的線性單元，即使不是在純彎曲加載模式下，其得到的應力應變值相比理論預示值應該要小（我推測的^_^，沒空詳細證實），所以用這樣的數據構造的切線剛度矩陣相比其他單元構造的切線剛度矩陣要小，這也許就是通常所說的出現沙漏問題的單元“太軟”的緣故。
結語：本文算不得什么，只是從公式上加深了商業軟件使用者對沙漏這一現象的了解，稍微知其所以然罷了。
