ABAQUS中實體單元的應用（完整可以看附件）

（此為學習時看到的一個很好的講解。                  學習交流群：1063594113）

在ABAQUS的單元庫中，應用最廣泛的是應力/位移實體單元族。對三維單元，可以選擇六面體、四面體和楔形體；對二維單元則可在三角形與四邊形之間進行選擇。這些基本的單元形狀，每一種都有線性和二次的兩類選擇。對六面體和四邊形，還可選擇完全積分或減縮積分。最后，還可選用標準元或雜交元列式。另外對線性六面體或四邊形單元，還有個附加的功能，可選擇非協調模式，而對二次的三角形或四面體單元可以應用修正列式。

若列出所有種類的單元，所面臨的實體單元的總數目是相當大的，僅三維單元而言就超過20種。模擬的精度將強烈地依賴于所采用的單元類型。特別是在初次使用時，在這些單元中選擇哪一個最為合適很可能是一件令人苦惱的事情。然而，用戶會逐漸把這個工作看作是從一個20多件的工具組中，有能力選擇最恰當的工具或單元來完成的一個有價值的工作。

這一章討論了不同的單元列式和積分水平對一個特定分析的精度的影響。同時也討論了一些選擇實體單元的一般性原則。這些討論提供了獲得更多應用ABAQUS經驗和知識的基礎。在本節末的例子將允許用戶應用這些知識建立和分析一個連接柄構件的模型。

 

4.1  單元列式和積分

 

通過圖4-1所示的懸臂梁，可闡明單元階數（線性或二次），單元列式及積分水平等因素對結構模擬精度的影響。這是評估一個給定單元的性能的經典測試。因為該構件相對是細長的，我們通常用梁單元來對它建立模型。但在這里我們用這個測試來幫助評估各種實體單元的效率。

梁長150mm，寬2.5mm，高5mm；一端固定；自由端承受5N的荷載。材料的楊氏模量E為70GPa，泊松比為0.0。采用梁的理論，在載荷P作用下，梁自由端的撓度為

其中，是長度，b是寬度，d是梁的高度。

P = 5N時自由端撓度是3.09mm。

 

圖4-1  自由端受集中載荷的懸臂梁

 

4.1.1  完全積分

 

所謂“完全積分”是指當單元具有規則形狀時，所用的Gauss積分點的數目足以對單元剛度矩陣中的多項式進行精確積分。對六面體和四邊形單元而言，所謂“規則形狀”是指單元的邊相交成直角，而任何的節點位于邊的中點。線性單元如要完全積分，則在每一方向需要兩個積分點。因此，三維單元C3D8在單元中排列了2′2′2個積分點。而二次單元如要完全積分則在每一方向需要3個積分點。在完全積分的二維四邊形單元中積分點的位置如圖4-2所示。

 

圖4－2  完全積分時，二維四邊形單元中的積分點

 

 

如圖4－3所示，我們采用了幾種不同的有限元網格來對懸臂梁問題進行模擬。模擬采用了線性或二次的完全積分單元，并說明了單元階數(一階與二階)和網格密度對結果精度的影響。

表4－1列出了不同網格情況下自由端位移與梁的理論解3.09mm的比值。

用線性單元CPS4和C3D8所得的撓度值是如此之差以至于其結果是不可用的。網格越粗，結果的精度越差，但即使網格劃分得相當細(8′24)，得到的位移仍只是理論值的56%。注意到對線性完全積分單元而言，在厚度方向單元的剖分數并不會造成什么差異。這是由剪力鎖閉引起的，它是對所有完全積分的一階實體單元都存在的問題。

 

圖4－3  懸臂梁模擬所采用的網格

 

表4－1  完全積分單元的梁撓度比值

 

單元	網格尺寸(高度′長度)
1′6	2′12	4′12	8′24
CPS4	0.074	0.242	0.242	0.561
CPS8	0.994	1.000	1.000	1.000
C3D8	0.077	0.248	0.243	0.563
C3D20	0.994	1.000	1.000	1.000

 

正如我們已經看到的，剪力鎖閉使單元在彎曲時過于剛硬。對之可作如下解釋：考慮一個受純彎的結構中的一小塊材料，材料將產生的彎曲如圖4－4所示。開始時平行于水平軸的直線按常曲率彎曲，而厚度方向的直線將保持為直線。水平線與豎直線之間的夾角保持。

因為線性單元的邊不能彎曲，所以，如果用單個單元來模擬小塊材料，則其變形后的形狀如圖4－5所示。

為清楚起見，畫出了通過積分點的虛線。很明顯，上部直線的長度增加，這說明1方向的應力，s₁₁，是拉伸的。類似地，下部直線的長度縮短，說明s₁₁是壓縮的。豎直直線的長度沒有改變(假設位移很小)。因此，所有積分點上的s₂₂為零。所有這些結論與受純彎的小塊材料所預計的應力狀態是一致的。但是在每一個積分點，豎直線與水平線之間夾角開始時是，變形后改變了。這說明每一點的剪應力 s₁₂不為零。這是不正確的：純彎時一小塊材料中的剪應力應為零。

圖4－4  受彎曲材料的變形

 

圖4－5  受彎曲的完全積分線性單元的變形

 

 

 

出現這個偽剪應力的原因是因為單元的邊不能彎曲。它的存在意味著應變能導致剪切變形，而不是導致彎曲變形，其結果導致總的撓度變小了：即單元太剛硬了。剪力鎖閉只影響受彎曲載荷的完全積分線性單元，這些單元的功能在受縱向或剪切荷載時并沒有問題。而二次單元的邊界可以彎曲(見圖4－6)，故它沒有剪力鎖閉的問題。對表4－1所示的二次單元，計算所得的自由端位移接近于理論解。但是，如果二次單元扭曲或彎曲應力有梯度，則也可能出現某些鎖閉現象，而這兩種情況在實際問題中是可能發生的。

只有在確認載荷將產生小彎曲時，才可采用完全積分的線性單元。而如果對載荷產生的位移類型有懷疑，則應采用不同的單元類型。在復雜應力狀態下，完全積分的二次單元也可能發生鎖閉。因此如果在模型中有此類單元，則應細心地檢查計算的結果。但是，對于局部應力集中問題，完全積分的線性單元是非常有用的。

 

圖4－6 受彎曲的完全積分二次單元的變形

 

4.1.2  減縮積分

 

只有四邊形和六面體單元才能采用減縮積分；而所有的楔形體、四面體和三角形實體單元只能采用完全積分，即使它們與減縮積分的六面體或四邊形單元用在同一個網格中。

減縮積分單元比完全積分單元在每個方向少用一個積分點。減縮積分的線性單元只在單元中心有一個積分點。（實際上，在ABAQUS中這些一階單元采用了更精確的均勻應變公式，對此單元計算了其應變分量的平均值。在這里的討論中此種區別是不重要的）。對減縮積分四邊形單元，積分點的位置如圖4－7所示：

 

圖4－7  采用減縮積分的二維單元的積分點

 

 

利用前敘的四類單元及圖4－3所示的四種有限元網格，通過減縮積分來對懸臂梁問題進行計算，其結果列于表4－2。

 

表4－2  減縮積分單元的梁撓度比值

單元	網格尺寸(高度′長度)
1′6	2′12	4′12	8′24
CPS4R	20.3*	1.308	1.051	1.012
CPS8R	1.000	1.000	1.000	1.000
C3D8R	70.1*	1.323	1.063	1.015
C3D20R	1.000	1.000	1.000	1.000

^* 沒有剛度抵抗所加載荷

 

線性的減縮積分單元由于存在著所謂沙漏 (hourglassing) 的數值問題而過于柔軟。再一次考慮用單個減縮單元模擬受純彎載荷的小塊材料（見圖4－8）。

 

圖4－8  受彎曲的減縮積分線性單元的位移

 

單元中虛線的長度均沒有改變，并且它們的夾角也沒有改變，這意味著在單元單個積分點上的所有應力分量都為零。由于單元變形沒有產生應變能，所以這種彎曲的變形模式是一個零能量模式。由于單元在此模式下沒有剛度，所以不能抵抗此種形式的位移。在粗網格中，這種零能量模式會通過網格擴展出去，從而產生無意義的結果，這就是所謂的沙漏問題。

可在ABAQUS中對減縮積分單元引入少量的人工“沙漏剛度”以限制沙漏模式的擴展。當模型中有更多的單元時，這種剛度在限制沙漏模式方面是更有效的，這意味著只要采用合理的細網格，線性減縮積分單元會給出可接受的結果。對許多應用而言，采用細網格的線性減縮積分單元所產生的誤差是在一個可接受的范圍內的。這個結果說明當用這類單元來模擬承受彎曲載荷的結構時，在厚度方向上至少應采用四個單元。當在梁的厚度方向只有一個線性減縮積分單元時，所有的積分點都位于中性軸上，從而該模型將不能抵抗彎曲載荷。(這種情況在表4－2中用*標出)。

因為線性減縮積分單元對變形的魯棒性，因此可在變形很大的模擬中采用剖分較細的此類單元。

二次減縮積分單元也有沙漏模式。然而在正常網格中這種模式幾乎不可能擴展出去，并且在網格足夠細時基本上不會造成什么問題。由于沙漏問題,C3D20R單元的1′6網格計算發散；若在寬度方向上變為兩個單元，即2×6網格，就不會發散，但對于更細的網格，即便在寬度方向上只有一個單元也不會發散。即使在復雜應狀態下，二次減縮積分單元對鎖閉并不敏感。因此一般來說，除了大應變的大位移問題和一些接觸分析問題外，這些單元是應力/位移模擬最佳選擇。

 

 

 

 

4.1.3  非協調單元

 

非協調單元是克服完全積分的一階單元的剪力鎖閉問題的一種嘗試。既然剪力鎖閉是由于單元的位移場不能模擬與彎曲相關的運動學而引起的，那么可以考慮把增強單元變形梯度的附加自由度引入到一階單元中去。對變形梯度的加強使一階單元在單元中的變形梯度呈線性變化，如圖4－9(a)所示。在標準單元列式中，變形梯度在單元中是常量，見圖4－9(b)所示，故標準單元列式必然導致與剪力鎖閉相關的非零剪切應力。變形梯度的增強完全是在單元內部的，并且與邊節點無關。與直接增強位移場的非協調模式的單元列式不同，在ABAQUS中所采用的列式不會導致圖4－10那樣的兩個單元交界處的重疊或裂隙，進而ABAQUS中的非協調單元列式很容易拓廣到非線性有限應變模擬以及某些難以采用增強位移場的場合。

圖4－9  位移梯度的變化 (a) 非協調單元（增強位移梯度）和 (b) 采用標準構造的一階單元

 

 

圖4－10 利用增強位移場而不是增強位移梯度所導致的非協調單元的可能運動非協調性。ABAQUS對非協調單元采用了增強位移梯度形式

 

在彎曲問題中，非協調元可得到與二次單元相當的結果，而計算費用卻明顯降低。但非協調元對單元扭曲很敏感。圖4－11表示用有意扭歪的非協調單元來模擬懸臂梁：一種情況是“平行”扭歪，另一種是“交錯”扭歪。

圖4－12畫出了懸臂梁模型的自由端位移相對于單元扭歪水平的曲線。圖中比較了三類平面應力單元：完全積分的線性單元、減縮積分的二次單元以及線性非協調單元。象所預見的那樣，完全積分的線性單元的結果較差。而減縮積分的二次單元則給出了很好的結果，直到單元扭歪得很嚴重時其結果才會惡化。

當非協調單元是矩形時，即使在懸臂的厚度方向只有一個單元，也能給出與理論值十分相近的結果。但是即使很小的交錯扭歪也使單元過于剛硬。平行扭歪也降低了單元的精度，但程度較小。

 

圖 4－11  非協調單元的扭歪網格

 

 

圖4－12  平行和交錯扭曲對非協調單元的影響

 

非協調單元之所以有用，是因為如果應用得當，則在很低花費時仍可得到較高的精度。但是必須注意保證單元扭歪是非常小的，然而當網格較復雜時這一點是很難保證的；因此，對于具有這種幾何形狀的模型，應再次考慮應減縮積分的二次單元，因為它們對網格扭歪并不敏感。

 

4.1.4  雜交單元

 

ABAQUS中的每一種實體單元，包括所有的減縮積分單元和非協調單元，都還有雜交單元列式。雜交單元名字前標有字母“H”。

對不可壓縮材料（泊松比＝0.5）或非常接近于不可壓縮的材料（泊松比>0.495）問題需采用雜交單元。橡膠就是具有不可壓縮性質的材料的例子。不能用常規單元來模擬不可壓縮材料的響應（除了平面應力情況），這是因為在單元中的壓應力是不確定的。現在考慮均勻靜水壓力作用下的一個        圖4－13  在靜水壓力下的單元單元（圖4－13）。                                   

如果材料不可壓縮，其體積在載荷作用下并不改變。因此壓應力不能由節點位移計算，對于具有不可壓縮材料性質的單元，一個純位移列式是不適定的。

雜交單元包含一個可直接確定單元壓應力的附加自由度。其節點位移只用來計算偏（剪）應變和偏應力。

在第8章將給出對橡膠材料的更詳細的描述。

 

4.2  選擇實體單元

 

對某一具體的模擬計算，如果要想以合理的費用達到精確的結果，則正確地選擇單元是非常關鍵的。在使用ABAQUS的經驗日益豐富時，毫無疑問每個用戶會建立起自己的單元選擇準則來解決具體問題，但若是剛開始使用ABAQUS，則可考慮下面的建議：

l   如果不需要模擬非常大的應變或進行復雜的需改變接觸條件的問題，則應采用二次減縮積分單元（CAX8R，CPE8R，CPS8R，C3D20R等）。

l   如果存在應力集中，則應在局部采用二次完全積分單元（CAX8，CPE8，CPS8，C3D20等）。它們可用最低費用提供應力梯度最好的解答。

l   涉及到有非常大的網格扭曲問題（大應變分析），建議采用細網格剖分的線性減縮積分單元（CAX4R，CPE4R，CPS4R，C3D8R等）。

l   對接觸問題采用線性減縮積分單元或細分的非協調單元（CAX4I，CPE4I，CPS4II，C3D8I等）。詳見第11章。

l   盡可能地減少網格形狀的扭歪，形狀扭歪的粗網格線性單元會導致非常差的結果。

l   對三維問題應盡可能采用六面體單元。它們以最小費用給出最好的結果。當幾何形狀復雜時，完全采用六面體單元構造網格往往難以辦到；因此可能需要采用楔形和四面體單元。眾所周知，這些形狀的一階單元，如C3D6和C3D4，是較差的單元；若要取得較好的精度，需剖分很細的網格，因此，只有在為了完成網格建模而萬不得已的情況下才會應用這些單元，即使如此，這些單元也應遠離精度要求較高的區域。

l   一些前處理程序包含了自由網格算法，它們可用四面體單元構造任意形狀的網格。只要采用二次四面體單元（C3D10），除了接觸問題，其結果對小位移問題應該是合理的。C3D10單元的修正單元C3D10M對大變形問題、接觸問題有魯棒性，并表現出最小剪切和體積鎖閉性質。但無論采用何種四面體單元，計算所花費的時間都多于采用相應密度的六面體單元。建議不采用只包含線性四面體單元（C3D4）的網格，因為如果不用大量的單元其結果將是不準確的。

附件：里面包括以上所述以及一個實例分析講解

ABAQUS中實體單元的應用.doc