減縮積分單元的案例
為什么減縮積分線性單元會存在沙漏問題？
引言：
莊茁P65對沙漏現(xiàn)象的描述如下圖：
本文試圖基于純彎曲加載下線性減縮積分的應(yīng)變公式，對沙漏現(xiàn)象的產(chǎn)生機理進行淺淺的理論闡述。
我們在前一篇博文中簡述了有限元中的數(shù)值積分機理：
數(shù)峰青，公眾號：數(shù)峰青
有限元筆記#1：什么是剪切自鎖？為什么完全積分線性單元在彎曲載荷下會剪切自鎖？
以一個平面應(yīng)力問題的四節(jié)點矩形單元為例。
單元的坐標(biāo)系建立在中心。對于這樣一種線性單元，在構(gòu)造剛度矩陣的時候，需要進行下式所示的積分。
（四節(jié)點矩形單元應(yīng)該是8×8)
其中B矩陣是單元形函數(shù)對空間坐標(biāo)的相關(guān)偏導(dǎo)，D矩陣是本構(gòu)矩陣。該積分中的被積矩陣（8×8）的每一個元素都是一個三元函數(shù)，其針對單元域的積分值成為一個剛度系數(shù)。如上單元在高斯積分方案下的減縮積分就是取被積函數(shù)在積分域中心點的函數(shù)值乘以2（曾攀04P178），實際上就是梯形積分公式。
在純彎曲變形加載模式下，該剛度矩陣得出的節(jié)點位移向量解具有一定的特征，莊茁P65的圖示（本文圖1）也表示了這種特征：四個節(jié)點在2方向的位移相等，1、3節(jié)點在1方向上的位移相等，2、4節(jié)點在1方向上的位移相等，且它們互為相反數(shù)，也即我們可以得到如下形式的一個節(jié)點位移向量：
但是需注意，只有在純彎曲加載模式下，才會得到這樣形式的位移向量。
針對上面的線性矩形單元，其應(yīng)變矩陣如下圖所示：
在減縮積分模式下，例如積分點(0,0)，并將得到的節(jié)點位移代入，可以得到該積分點下的應(yīng)變值為：
可以看出，在該積分點處，應(yīng)變的三個分量都為0。在非線性分析中，當(dāng)前增量步得到積分點上的應(yīng)力應(yīng)變值需要代入本構(gòu)曲線中，更新本構(gòu)數(shù)據(jù)，進而構(gòu)造下一個增量步迭代所需要的初始切線剛度矩陣。
展開 ABAQUS中實體單元的應(yīng)用
由于單元在此模式下沒有剛度，所以不能抵抗此種形式的位移。在粗網(wǎng)格中，這種零能量模式會通過網(wǎng)格擴展出去，從而產(chǎn)生無意義的結(jié)果，這就是所謂的沙漏問題。
可在ABAQUS中對減縮積分單元引入少量的人工“沙漏剛度”以限制沙漏模式的擴展。當(dāng)模型中有更多的單元時，這種剛度在限制沙漏模式方面是更有效的，這意味著只要采用合理的細(xì)網(wǎng)格，線性減縮積分單元會給出可接受的結(jié)果。對許多應(yīng)用而言，采用細(xì)網(wǎng)格的線性減縮積分單元所產(chǎn)生的誤差是在一個可接受的范圍內(nèi)的。這個結(jié)果說明當(dāng)用這類單元來模擬承受彎曲載荷的結(jié)構(gòu)時，在厚度方向上至少應(yīng)采用四個單元。當(dāng)在梁的厚度方向只有一個線性減縮積分單元時，所有的積分點都位于中性軸上，從而該模型將不能抵抗彎曲載荷。(這種情況在表4－2中用*標(biāo)出)。
因為線性減縮積分單元對變形的魯棒性，因此可在變形很大的模擬中采用剖分較細(xì)的此類單元。
二次減縮積分單元也有沙漏模式。然而在正常網(wǎng)格中這種模式幾乎不可能擴展出去，并且在網(wǎng)格足夠細(xì)時基本上不會造成什么問題。由于沙漏問題,C3D20R單元的1′6網(wǎng)格計算發(fā)散；若在寬度方向上變?yōu)閮蓚€單元，即2×6網(wǎng)格，就不會發(fā)散，但對于更細(xì)的網(wǎng)格，即便在寬度方向上只有一個單元也不會發(fā)散。即使在復(fù)雜應(yīng)狀態(tài)下，二次減縮積分單元對鎖閉并不敏感。因此一般來說，除了大應(yīng)變的大位移問題和一些接觸分析問題外，這些單元是應(yīng)力/位移模擬最佳選擇。
4.1.3 非協(xié)調(diào)單元
非協(xié)調(diào)單元是克服完全積分的一階單元的剪力鎖閉問題的一種嘗試。既然剪力鎖閉是由于單元的位移場不能模擬與彎曲相關(guān)的運動學(xué)而引起的，那么可以考慮把增強單元變形梯度的附加自由度引入到一階單元中去。對變形梯度的加強使一階單元在單元中的變形梯度呈線性變化，如圖4－9(a)所示。
展開 2階8節(jié)點減縮積分平面應(yīng)變單元子程序UELMAT ￥1
2階8節(jié)點減縮積分平面應(yīng)變單元子程序UELMAT源代碼及計算算例
ABAQUS中實體單元的應(yīng)用
ABAQUS中存在著豐富的單元類型，應(yīng)用廣泛，下面主要介紹一下ABAUQS實體單元以及其應(yīng)用。
ABAQUS實體單元大體可分為完全積分、減縮積分、非協(xié)調(diào)以及雜交這四種常見的單元模式。按階次可分為一階(線性)單元和二階單元。
（1）完全積分單元：單元具有規(guī)則形狀（邊是直線并且邊與邊相交成直角）時， 所用的Gauss積分點的數(shù)目足以對單元剛度矩陣中的多項式進行精確積分。
完全積分的線性單元在每一個方向上采用2個積分點；
完全積分的二次單元在每一個方向上采用3個積分點。如圖
不足：完全積分的線性單元存在“剪切自鎖”問題，原因是線性單元的邊不能彎曲。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，完全積分的二次單元也有可能發(fā)生剪切自鎖。
（2）減縮積分單元：減縮積分單元比完全積分單元在每個方向上少用一個積分點。
完全積分的線性單元只在單元的中心有一個積分點
不足：線性減縮積分單元存在“沙漏模式”的數(shù)值問題，有可能過于柔軟。
ABAQUS通過繪制偽應(yīng)變能(ALLAE)和內(nèi)能(ALLIE)來評價沙漏模式對計算結(jié)果的影響。
（3）非協(xié)調(diào)單元：
優(yōu)點：可以克服完全積分，一階單元中的剪力自鎖問題。
特點：在一階單元中引入一個增強單元變形梯度的附加自由度。這種對變形梯度的增強允許一階單元在單元域上對于變形梯度有一個線性變化。
不足：對單元的扭曲很敏感，在使用時必須小心以確保單元扭曲是非常小的。
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Abaqus中選擇三維實體單元類型的基本原則 附abaqus三維筒體過渡網(wǎng)格劃分下載
來源：力學(xué)與Abaqus仿真
對于大多數(shù)Abaqus用戶，在選擇單元類型時都會有這樣的困惑，可選的單元類型很多，還有減縮積分、完全積分、線性單元、二次單元、非協(xié)調(diào)單元、雜交單元、沙漏控制等眾多選擇（圖1），在實際有限元分析時，究竟應(yīng)該如何選擇合適的單元類型。從今天開始，陸續(xù)介紹單元類型的選取原則，供大家參考。
圖1 單元類型選擇對話框
選擇三維實體單元類型時應(yīng)遵循以下原則：
● 對于三維區(qū)域，盡可能采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分技術(shù)或掃掠網(wǎng)格劃分技術(shù)，從而得到Hex單元網(wǎng)格，減小計算代價，提高計算精度。當(dāng)幾何形狀復(fù)雜時，也可以在不重要的區(qū)域使用少量楔形（Wedge）單元。
● 如果使用了自由網(wǎng)格劃分技術(shù)，Tet單元的類型應(yīng)選擇二次單元。在Abaqus/Explicit中應(yīng)選擇修正的Tet單元 C3D10M，在Abaqus/Standard中可以選擇C3D10，但如果有大的塑性變形，或模型中存在接觸，而且使用的是默認(rèn)的“硬”接觸關(guān)系（“hard”contact relationship），則也應(yīng)選擇修正的Tet單元 C3D10M。
● Abaqus的所有單元均可用于動態(tài)分析，選取單元的一般原則與靜力分析相同。但在使用Abaqus/Explicit模擬沖擊或爆炸載荷時，應(yīng)選用線性單元，因為它們具有集中質(zhì)量公式，模擬應(yīng)力波的效果優(yōu)于二次單元所采用的一致質(zhì)量公式。
如果使用的求解器是Abaqus/Standard，在選擇單元類型時還應(yīng)注意以下方面：
● 對于應(yīng)力集中問題，盡量不要使用線性減縮積分單元，可使用二次單元來提高精度。如果在應(yīng)力集中部位進行了網(wǎng)格細(xì)化，使用二次減縮積分單元與二次完全積分單元得到的應(yīng)力結(jié)果相差不大，而二次減縮積分單元的計算時間相對較短。
展開 如何才能選出適合于分析的單元類型?
一個好的有限元模型，不僅需要較高的 網(wǎng)格質(zhì)量，還需要擁有合適的單元類型。ABAQUS為用戶提供了豐富的單元庫，幾乎可以模擬實際工程中任意幾何形狀的有限元模型，在對一個問題進行分析 時，可以根據(jù)情況選擇使用。
如何才能選取出適合于分析的單元類型呢？我認(rèn)為首先要了解ABAQUS中對于單元的分類，每種單元特定的使用范圍，各種單元類型的節(jié)點數(shù)目、單元形狀、插值函數(shù)階次以及單元構(gòu)造的方式。然后再根據(jù)分析類型和具體問題合理選擇。
ABAQUS中最常用的單元包括實體(Solid)單元、殼(Shell)單元和梁(Beam)單元。下面就根據(jù)自己對于ABAQUS應(yīng)用實體單元的學(xué)習(xí)，將這些單元的特點和使用簡單總結(jié)如下：
實體單元主要包括完全積分、減縮積分、非協(xié)調(diào)以及雜交這四種常見的單元模式。
（1）完全積分單元：單元具有規(guī)則形狀（邊是直線并且邊與邊相交成直角）時，所用的Gauss積分點的數(shù)目足以對單元剛度矩陣中的多項式進行精確積分。
完全積分的線性單元在每一個方向上采用2個積分點；
完全積分的二次單元在每一個方向上采用3個積分點。如圖
不足：完全積分的線性單元存在“剪切自鎖”問題，原因是線性單元的邊不能彎曲。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，完全積分的二次單元也有可能發(fā)生剪切自鎖。
（2）減縮積分單元：減縮積分單元比完全積分單元在每個方向上少用一個積分點。
完全積分的線性單元只在單元的中心有一個積分點
不足：線性減縮積分單元存在“沙漏模式”的數(shù)值問題，有可能過于柔軟。
ABAQUS通過繪制偽應(yīng)變能(ALLAE)和內(nèi)能(ALLIE)來評價沙漏模式對計算結(jié)果的影響。
（3）非協(xié)調(diào)單元：
優(yōu)點：可以克服完全積分，一階單元中的剪力自鎖問題。
特點：在一階單元中引入一個增強單元變形梯度的附加自由度。這種對變形梯度的增強允許一階單元在單元域上對于變形梯度有一個線性變化。
展開 ABAQUS網(wǎng)格劃分
ABAQUS網(wǎng)格劃分講解
學(xué)習(xí)交流群：1063594113
如何使用3D實體單元？
1 如果不需要模擬非常大的應(yīng)變或進行一個復(fù)雜的、改變接觸條件的問題，則應(yīng)采用二次減縮積分單元(CAX8R,CRE8R,CPS8R.C3D20R等)。
2 如果存在應(yīng)力集中，則應(yīng)在局部采用二次完全積分單元（CAX8,CPE8,CPS8,C3D20等）。它們可在較低費用下對應(yīng)力梯度提供最好的 解決。 盡量不要使用線性減縮積分單元。用細(xì)化的二次減縮積分單元與二次完全積分單元求解結(jié)果相差不大，且前者時間短。
3 對含有非常大的網(wǎng)格扭曲模擬（大應(yīng)變分析），采用細(xì)網(wǎng)格劃分的線性減縮積分單元（CAX4R,CPE4R.CPS4R,C3D8R等）。
4 對接觸問題采用線性減縮積分單元或非協(xié)調(diào)單元（CAX4I,CPE4I,CPS4II,C3D8I等）的細(xì)網(wǎng)格劃分。
5 對以彎曲為主的問題，如能保證所關(guān)心部位單元扭曲較小，使用非協(xié)調(diào)單元（如C3D8I），求解很精確。
6 對于彈塑性分析，不可壓縮材料（如金屬），不能使用二次完全積分單元，否則易體積自鎖，應(yīng)使用修正的二次三角形或四面體單元、非協(xié)調(diào)單元，以及線性減縮積分單元。若使用二次減縮積分單元，當(dāng)應(yīng)變超過20%-40%要劃分足夠密的網(wǎng)格。
7 除平面應(yīng)力問題之外，如材料完全不可壓縮（如橡膠），應(yīng)使用雜交單元；
在某些情況下，近似不可壓縮材料也應(yīng)使用雜交單元。
8 當(dāng)幾何形狀復(fù)雜時，萬不得已采用楔形和四面體單元。這些單元的線性形式，如C3D6和C3D4，是較差的單元（若需要時，劃分較細(xì)的網(wǎng)格以使結(jié)果達(dá)到合理的精度），這些單元也應(yīng)遠(yuǎn)離需要精確求解的區(qū)域。
9 如使用了自由網(wǎng)格劃分技術(shù)，四面體單元應(yīng)選二次的，其結(jié)果對小位移問題應(yīng)該是合理的，但花時間多。
展開 ABAQUS中的單元選擇
ABAQUS中的單元選擇
在有限元分析中，為了能夠得到較為精確的收斂解，一方面取決于所用模型的誤差，另一方面取決于模擬計算的誤差。一個好的有限元模型，不僅需要較高的網(wǎng)格質(zhì)量，還需要擁有合適的單元類型。ABAQUS為用戶提供了豐富的單元庫，幾乎可以模擬實際工程中任意幾何形狀的有限元模型，在對一個問題進行分析時，可以根據(jù)情況選擇使用。
如何才能選取出適合于分析的單元類型呢？我認(rèn)為首先要了解ABAQUS中對于單元的分類，每種單元特定的使用范圍，各種單元類型的節(jié)點數(shù)目、單元形狀、插值函數(shù)階次以及單元構(gòu)造的方式。然后再根據(jù)分析類型和具體問題合理選擇。
ABAQUS中最常用的單元包括實體(Solid)單元、殼(Shell)單元和梁(Beam)單元。下面就根據(jù)自己對于ABAQUS應(yīng)用實體單元的學(xué)習(xí)，將這些單元的特點和使用簡單總結(jié)如下：
實體單元主要包括完全積分、減縮積分、非協(xié)調(diào)以及雜交這四種常見的單元模式。
（1）完全積分單元：單元具有規(guī)則形狀（邊是直線并且邊與邊相交成直角）時，
所用的Gauss積分點的數(shù)目足以對單元剛度矩陣中的多項式進行精確積分。
完全積分的線性單元在每一個方向上采用2個積分點；
完全積分的二次單元在每一個方向上采用3個積分點。如圖
不足：完全積分的線性單元存在“剪切自鎖”問題，原因是線性單元的邊不能彎曲。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，完全積分的二次單元也有可能發(fā)生剪切自鎖。
（2）減縮積分單元：減縮積分單元比完全積分單元在每個方向上少用一個積分點。
完全積分的線性單元只在單元的中心有一個積分點
不足：線性減縮積分單元存在“沙漏模式”的數(shù)值問題，有可能過于柔軟。
ABAQUS通過繪制偽應(yīng)變能(ALLAE)和內(nèi)能(ALLIE)來評價沙漏模式對計算結(jié)果的影響。
展開 abaqus檢驗總結(jié)1-論壇整理
線性減縮積分單元優(yōu)點：
位移計算結(jié)果較精確；
網(wǎng)格存在扭曲變形時（例如Quad 單元的角度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于或小于90o），分析精度不會受到明顯的影響；
在彎曲載荷下不易發(fā)生剪切自鎖。
線性減縮積分單元缺點：
需要較細(xì)網(wǎng)格克服沙漏問題；
如果希望以應(yīng)力集中部位的節(jié)點應(yīng)力作為分析目標(biāo)，則不能選用此單元。
二次減縮積分單元不但保持線性減縮積分單元的上述優(yōu)點，還具有如下特點：
即使不劃分很細(xì)的網(wǎng)格也不會出現(xiàn)嚴(yán)重的沙漏問題；
即使在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，對自鎖問題也不敏感。
二次減縮積分單元缺點：
不能用于接觸分析；
不能用于大應(yīng)變問題；
存在與線性減縮積分單元類似的問題，即節(jié)點應(yīng)力的精度往往低于二次完全積分單元。
非協(xié)調(diào)模式單元可克服線性完全積分單元中的剪切自鎖問題，僅在ABAQUS/Standard 有。
非協(xié)調(diào)模式單元優(yōu)點：
克服了剪切自鎖問題，在單元扭曲比較小的情況下，得到的位移和應(yīng)力結(jié)果很精確；
在彎曲問題中，在厚度方向上只需很少的單元，就可以得到與二次單元相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果，而計算成本卻明顯降低；
使用了增強變形梯度的非協(xié)調(diào)模式，單元交界處不會重疊或開洞，因此很容易擴展到非線性、有限應(yīng)變得位移。但使用這種單元時要注意：如果所關(guān)心部位的單元扭曲比較大，尤其是出現(xiàn)交錯扭曲時，分析精度會降低。
展開 仿真過程中單元合理選取高級精髓
當(dāng)前市場商業(yè)化仿真軟件已經(jīng)遍地開花，但其都是基于有限單元法理論，這就要求我們仿真工程能夠?qū)τ邢拊?em>單元法理論要完全掌握。另外在我們實際仿真工作過程中，存在一個比較大的缺陷，仿真工程師在對結(jié)構(gòu)離散過程中，忽視了對單元的合理選擇及單元選擇對仿真精度影響，因此本文重點對因單元選擇引起的誤差進行說明，以問答的方式進行闡述，使仿真工作者能夠?qū)σ?em>單元引起的結(jié)果偏差找到原因、解決方法。
沙漏模式：
哪種單元出現(xiàn)：線性減縮積分單元的應(yīng)力/位移場分析中；
何為沙漏模式：因線性減縮積分單元積分點較少，可能出現(xiàn)沒有剛度的零能量模
式（沙漏模式），網(wǎng)格較粗時，零能模式會通過網(wǎng)格擴展出去，
是計算結(jié)果無意義；
判斷：
方法1：查看單元的變形情況，如果單元變成交替出現(xiàn)的梯形形狀，就可能出現(xiàn)沙漏模式，如下圖：
方法2：result-history output，繪制ALLAE（偽應(yīng)變能）和內(nèi)能ALLIE曲線，
ALLAE占ALLIE的1%時，表明沙漏模式對計算結(jié)果影響不大；超過10%
時，分析認(rèn)為無效。
沙漏控制：
沙漏控制：abaqus中的偽應(yīng)變能或沙漏剛度主要用來控制沙漏變形能量；
措施：
l 細(xì)化網(wǎng)格：線性減縮積分單元要避免過于粗糙的網(wǎng)格，如結(jié)構(gòu)發(fā)生彎曲變形，則在厚度方向上至少劃分4個單元；
l 設(shè)置沙漏控制：引入少量的人工“沙漏剛度”來限制沙漏模式的擴展。網(wǎng)格足夠細(xì)化時，方法非常有效，可獲得足夠精確的計算結(jié)果。enhanced、relax stiffness、stiffness、viscous、combined。
展開 【JY】有限單元分析的常見問題及單元選擇
減縮積分單元比完全積分單元在每個方向少用一個積分點。減縮積分的線性單元只在單元中心有一個積分點。只有四邊形和六面體單元才能采用減縮積分；而所有的楔形體、四面體和三角形實體單元只能采用完全積分，即使它們與減縮積分的六面體或四邊形單元用在同一個網(wǎng)格中。
正確使用減縮積分可以使得計算量減小的同時得到較為滿意的數(shù)值解。實際上，在Abaqus中這些一階單元采用了更精確的均勻應(yīng)變公式，對此單元計算了其應(yīng)變分量的平均值。
強化應(yīng)變
強化應(yīng)變單元模式中，通常采用非協(xié)調(diào)單元進行分析，主要是為了克服完全積分中一階單元的剪力鎖閉問題（見前文）。
剪力鎖閉是由于單元的位移場不能模擬與彎曲相關(guān)的運動學(xué)而引起的，那么可以考慮把增強單元變形梯度的附加自由度引入到一階單元中去。
展開 
Abaqus單元的選擇
（6） 對于ABAQUS/Standard求解器，在存在應(yīng)力集中的局部區(qū)域，采用二次、完全積分單元（CAX8, CPE8, CPS8, C3D20等）。它們以最低的成本提供了應(yīng)力梯度的最好解答。
（7） 對于ABAQUS/Standard求解器，采用細(xì)劃網(wǎng)格的線性、減縮積分單元或者非協(xié)調(diào)模式單元（CAX4I, CPE4I, CPS4I, C3D8I）。
2、殼單元的選擇
（1）對于需要考慮薄膜作用或含有彎曲模式沙漏的問題以及平面彎曲的問題，當(dāng)希望得到更精確的解答時，可使用ABAQUS/Standard中的線性、有限薄膜應(yīng)變、完全積分的四邊形殼單元（S4）。
（2）線性、有限薄膜應(yīng)變、減縮積分、四邊形殼單元（S4R）是強健的，而且應(yīng)用很廣。
（3）線性、有限薄膜應(yīng)變、三角形殼單元（S3/S3R）可作為通用目的的殼單元使用。因為在單元中是常應(yīng)變的近似場，所以求解彎曲變形或者高應(yīng)變梯度時可能需要精細(xì)的網(wǎng)格劃分。
（4）在復(fù)合材料層合殼模型中，考慮到剪切變形的影響，采用適合于模擬厚殼問題的單元（S4, S4R, S3/S3R, S8R），并檢驗是否滿足平截面保持平面的假定。
（5）四邊形或三角形的二次殼單元用于一般的小應(yīng)變薄殼是很有效的，這些單元對于剪力自鎖或薄膜自鎖都不敏感。
（6）對于規(guī)模非常大但公經(jīng)歷幾何線性行為的模型，使用線性、薄殼單元（S4R5）通常比通用目的的殼單元更節(jié)約計算成本。
（7）對于包含任意的大轉(zhuǎn)動和小薄膜應(yīng)變的顯式動態(tài)問題，小薄膜應(yīng)變單元很有效。
3、梁單元的選擇
（1）在任何包含接觸的模擬中，應(yīng)該使用一階剪切變形梁單元（B21, B31）。
（2）如果橫向剪切變形是非常重要的，則采用Timoshenko二階梁單元（B22, B32）。
展開 ABAQUS單元的選擇
（5） 對于ABAQUS/Standard求解器，除非需要模擬非常大的應(yīng)變或者模擬一個復(fù)雜的、接觸條件不斷變化的問題，對于一般的分析工作，應(yīng)采用二次、減縮積分單元（CAX8R，CPE8R，CPS8R, C3D20R等）。
（6） 對于ABAQUS/Standard求解器，在存在應(yīng)力集中的局部區(qū)域，采用二次、完全積分單元（CAX8, CPE8, CPS8, C3D20等）。它們以最低的成本提供了應(yīng)力梯度的最好解答。
（7） 對于ABAQUS/Standard求解器，采用細(xì)劃網(wǎng)格的線性、減縮積分單元或者非協(xié)調(diào)模式單元（CAX4I, CPE4I, CPS4I, C3D8I）。
2、殼單元的選擇
（1）對于需要考慮薄膜作用或含有彎曲模式沙漏的問題以及平面彎曲的問題，當(dāng)希望得到更精確的解答時，可使用ABAQUS/Standard中的線性、有限薄膜應(yīng)變、完全積分的四邊形殼單元（S4）。
（2）線性、有限薄膜應(yīng)變、減縮積分、四邊形殼單元（S4R）是強健的，而且應(yīng)用很廣。
（3）線性、有限薄膜應(yīng)變、三角形殼單元（S3/S3R）可作為通用目的的殼單元使用。因為在單元中是常應(yīng)變的近似場，所以求解彎曲變形或者高應(yīng)變梯度時可能需要精細(xì)的網(wǎng)格劃分。
（4）在復(fù)合材料層合殼模型中，考慮到剪切變形的影響，采用適合于模擬厚殼問題的單元（S4, S4R, S3/S3R, S8R），并檢驗是否滿足平截面保持平面的假定。
（5）四邊形或三角形的二次殼單元用于一般的小應(yīng)變薄殼是很有效的，這些單元對于剪力自鎖或薄膜自鎖都不敏感。
（6）對于規(guī)模非常大但公經(jīng)歷幾何線性行為的模型，使用線性、薄殼單元（S4R5）通常比通用目的的殼單元更節(jié)約計算成本。
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Abaqus使用umat子程序的沙漏問題
在了解沙漏問題前線需要了解有限元計算的完全積分和縮減積分。
完全積分分為線性完全積分和二次完全積分。 是指當(dāng)單元具有規(guī)則形狀時，所用的高斯積分點的數(shù)目足以對單元剛度矩陣中的多項式進行精確積分。在承受彎曲載荷時，線性完全積分單元會出現(xiàn)剪切自鎖問題，造成單元過于剛硬，即使劃分很細(xì)的網(wǎng)格，計算精度依然很差；二次完全積分較好的解決了剪切自鎖問題（某些情況依然存在），精度很高，但不能用于接觸分析。
減縮積分也分為線性減縮與二次減縮積分。是指單元比普通的完全積分單元在每個方向少用一個積分點，在單元的中心只有一個積分點。線性減縮積分單元存在沙漏問題，需要劃分很細(xì)的網(wǎng)格，對位移求解較準(zhǔn)確。二次減縮積分單元克服了上述沙漏與自鎖問題，但同樣不能用于接觸分析。
實際使用過程中，完全積分單元其實是用的比較少的，因為它的問題比較多，用的更多的是減縮積分和修正單元。
1.在最小位能原理基礎(chǔ)上建立的位移有限元，其解答具有下限性質(zhì)，即有限元的計算模型具有較實際結(jié)構(gòu)偏大的整體剛度。選用減縮積分方案將使有限元計算模型的剛度有所降低，因此有助于提高計算精度；
2.在分析單元過大扭曲時，選用減縮積分更貼近實際情況；
3.減縮積分較完全積分，積分點少，計算效率高。
沙漏問題是在使用縮減積分的過程中可能產(chǎn)生的。
沙漏的產(chǎn)生是一種數(shù)值問題，單元自身存在的一種數(shù)值問題，舉個例子，對于單積分點線性單元，單元受力變形沒有產(chǎn)生應(yīng)變能--也叫0能量模式，在這種情況下，單元沒有剛度，所以不能抵抗變形，不合理，所以必須避免這種情況的出現(xiàn)，需要加以控制，既然沒有剛度，就要施加虛擬的剛度以限制沙漏模式的擴展---人為加的沙漏剛度就是這么來的。
展開 有限元---剪切鎖死、體積鎖死、沙漏，零能模式
剪切鎖死（shear locking）
簡單地說就是在理論上沒有剪切變形的單元中發(fā)生了剪切變形。該剪切變形也常稱伴生剪切（ parasitic shear）。
發(fā)生的條件：1.一階、全積分單元；2.受純彎狀態(tài)；
產(chǎn)生的結(jié)果：使得彎曲變形偏小，即彎曲剛度太剛。
解決方法：1.采用減縮積分；2.細(xì)化網(wǎng)格；3.非協(xié)調(diào)單元；4.假定剪切應(yīng)變法；
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體積鎖死（volumetric locking）
簡單地說就是應(yīng)該有單元的體積變化的時候體積卻沒發(fā)生變化。該原因是受到了偽圍壓應(yīng)力（Spurious pressure stresses ）。
發(fā)生的條件：1.全積分單元；2.材性幾乎不可壓縮；
二階單元：對于彈塑性材料（塑性部分幾乎屬于不可壓縮），二階全積分四邊形和六面體單元在塑性應(yīng)變和彈性應(yīng)變在一個數(shù)量級時會發(fā)生體積鎖死。二次減縮積分單元發(fā)生大應(yīng)變時體積鎖死也伴隨出現(xiàn)。
但值得注意的是，一階全積分單元當(dāng)采用選擇性減縮積分（selectively reduced integration）時可以避免出現(xiàn)體積鎖死。
產(chǎn)生的結(jié)果：使得體積不變，即體積模量太大，剛度太剛。
解決方法：1.將大應(yīng)變區(qū)域網(wǎng)格細(xì)化；2.mixed
formulation法；
檢查方法：輸出積分點的圍壓應(yīng)力，分析圍壓應(yīng)力是否在相鄰積分點存在突變，是否顯棋格式分布，是的話
就說明出現(xiàn)體積鎖死。
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沙漏（hourglassing）
簡單地說就是單元只有一個積分點，周邊的節(jié)點可以隨意變形。
發(fā)生的對象：1.一階、減縮積分單元；
產(chǎn)生的結(jié)果：單元太柔；
解決方法：1.對一階減縮單元，合理細(xì)化網(wǎng)格；荷載避免使用點荷載；
2.在大應(yīng)變區(qū)或大應(yīng)變梯度區(qū)使用一階單元，而不是使用二階單元。
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