衍射理論
關注創建者：匿名 創建時間：2026-01-04
衍射理論的實例教程
同時，考慮到知識的難度，我們需要結合虛擬仿真實驗對光學理論和模型進行精確仿真和可視化，從而直觀呈現抽象的物理過程，提高教學效果和學習效率[2]。
本文以矢量偏振光束通過高數值孔徑物鏡的衍射為例，基于MATLAB模擬仿真展示偏振態對光場傳播過程和聚焦光場的影響。對于低數值孔徑透鏡，只需使用傍軸近似或夫瑯禾費近似的標量衍射理論。但是，對于高數值孔徑透鏡，聚焦光場與偏振狀態密切相關，特別是對于矢量光束，聚焦光場將呈現顯著的偏振特性[3], 此時就需要使用由RICHARDS B和WOLF E在德拜標量衍射積分的基礎上建立的矢量衍射理論[4,5]。借助矢量衍射理論，可以精確描述矢量光束的衍射光場分布，包括振幅、相位和偏振態等。首先，根據矢量衍射理論推導了聚焦場分布積分表示；進一步借助MATLAB仿真給出了矢量偏振光束入射情況下的聚焦光場分布，為學生提供直觀的可視化結果。最后，通過與常見的線偏振光和圓偏振光對比，對矢量偏振光束聚焦場分布進行了分析和總結，有助于學生對偏振影響的整體理解和掌握。
1 矢量偏振光束
偏振光束根據空間分布可分為均勻偏振光和非均勻偏振光[6,7]，線偏振光、圓偏振光、橢圓偏振光都是常見的均勻偏振光。非均勻偏振光在不同空間位置的偏振態不同，矢量光束屬于非均勻偏振光。振幅和偏振態在光束橫截面上以光軸為對稱軸，分布沿徑向方向有一定夾角φ0的矢量光束，稱為軸對稱矢量光束,如圖1(a)所示。當φ0分別為0和π/2對應兩種特殊形式：徑向偏振光（圖1(b)）和角向偏振光（圖1(c)），它們的電矢量振動方向分別沿徑向和切向。下面我們將討論這兩種特殊的矢量偏振光束在高數值孔徑透鏡下形成的聚焦光場分布。
展開 圖中黑線表示衍射極限下的成像結果，即相同F數，但無像差的透鏡組所能達到最好的對比度。
注：在幾何位圖圖像分析中顯示的模擬圖片的分辨率受限于圖像的壓縮以及顯示器的分辨率。Opticstudio提供的原始圖片的分辨率達到攝影相片的標準。
夫瑯禾費(FFT)MTF
MTF分析功能可以用圖表的形式提供透鏡系統支持的所有空間頻率下MTF的結果，這一功能使用的MTF算法是以夫瑯禾費衍射理論為基礎的。其計算方法為追跡光瞳上網格排布的一組光線，使用快速傅里葉變化（Fast Fourier Transform）進行計算（因此該方法也稱為FFT MTF）。其MTF計算結果實質為關于物方正弦強度空間頻率的函數的模數（Modulation）。FFT MTF也可以計算實部、虛部、相位或方波強度分布（即黑白相間條紋）的結果。
基于FFT的計算點擴散函數和MTF的方法是眾所周知的，該方法基于夫瑯禾費衍射理論。其主要假設有：
F數足夠大使得標量衍射理論成立
衍射PSF能量顯著區域遠小于光學系統出瞳到像面的距離
出瞳相對入瞳沒有明顯畸變。這表示入瞳上均勻分布的光線在出瞳上也應是合理的均勻分布
高采樣率以滿足準確模擬PSF的要求
大多數光學系統都滿足基于夫瑯禾費衍射理論的FFT MTF算法所必須的簡化假設。
當我們進行優化時，通常情況下只對系統特定空間頻率有要求，這時沒有必要對所有空間頻率的MTF進行計算。因此可以使用操作數MTF*可以計算特定空間頻率下的MTF結果。分析圖表所使用的采樣方法為網格采樣，在使用操作數時您可以選擇繼續使用這種采樣方法，或使用更快速的稀疏采樣方法。稀疏采樣是操作數默認的采樣方法，并且幾乎所有的優化案例中我們都建議您使用這種采樣方法。
展開 一般來說，如果像差與系統的衍射極限性能相比較大，則點列圖是最實用的成像性能評估工具。
FFT PSF
快速傅里葉變換 （FFT） 算法已廣泛應用于許多電氣和光學系統的頻率分析。從概念上講，FFT 將空間分布分解為頻域分布。本文末尾的參考文獻 1 中對傅里葉光學進行了精彩的討論。在 OpticStudio 幫助系統的“物理光學傳播”一章中，參考文獻 2 中也有衍射理論的總結。這兩個參考文獻都描述了Fresnel和Fraunhofer衍射理論。
大多數光學成像系統都滿足 FFT PSF 算法使用的 Fraunhofer 衍射理論所需的簡化假設。主要假設是：
F/# 足夠大，因此標量衍射理論適用;
與從光學系統的出瞳到像面的距離相比，衍射 PSF 具有顯著能量的區域很小;
出瞳相對于入瞳沒有明顯的失真。這意味著入射光瞳上的光線均勻分布在出瞳上;
采樣設置得足夠高，以準確模擬 PSF;
入射到像面的主光線接近法向入射。
光學系統的 FFT PSF 計算如下：光線網格從光源點到出瞳進行追跡。對于每條光線，振幅和光程差用于計算波前網格在出瞳處的復振幅分布。然后對這個網格的 FFT 進行適當縮放，以產生實際值的 PSF。如果計算是多色的，則 PSF 的總和是不連貫的。
要計算序列系統的 FFT PSF，請選擇 Analyze...PSF...FFT PSF，牛頓望遠鏡示例文件的軸上場點的 FFT PSF 樣本如下所示。請注意，這些設置已從默認設置修改而來，稍后將對此進行討論。
請注意熟悉的 Airy Disk 形狀。這是該示例文件的預期結果，即軸上視場點無像差。要生成上圖，FFT PSF 設置對話框應如下所示：
采樣是指追跡到入瞳的光線網格密度。
展開 這些概念的結合產生了一種物理光學理論，其具有快速建模算法，該算法固有地以定義明確、有說服力的方式應用了幾何和衍射模型。
1.場追蹤圖
一個光學系統的麥克斯韋方程組的解可以通過非序列場追跡算法得到[1]。這導致所有通過系統中不同光路的模擬，都由一系列自由空間傳播步驟和與空間中非均勻區域，例如光學器件的互作用組成。從光源平面中的場開始，自由空間算子P規定了在下一個組件平面上的場，其中組件的響應由算子B給出。這些算子應用于x域或k域。一個光路的模型可以由所謂的場追蹤圖說明，圖1給出了相應的例子。
圖1 物理光學中一個光路的場追蹤圖模型。參數j指明了應用算子的場參考平面。
盡管電磁場包含六個場分量，場追蹤算法仍然可以通過ρ=(x,y)，E┴(ρ,ω)=(Ex(ρ,ω), Ey(ρ,ω))正式地表示，缺失的四個分量可以根據E┴的需求計算。在k域中，這些計算遵循簡單的代數方程。
自由空間算子方程由 給出，輸入平面場為 ，輸出平面（輸入平面的下一個算子）的結果為 。如果輸入/輸出平面不平行，則傳播算子P通過衍射積分和附加的傾斜算子表示自由空間中的傳播[2]。盡管在空間域中，傳播被表示為有大量數值計算成本的衍射積分，但在k域中，對于平行平面和非平行平面的附加坐標變換，我們則有簡單的表達式（ ）
(1)
通過選擇常規或幾何傅里葉變換[3]，可以來回轉換k域和空間域，不同的衍射積分遵循空間域中的公式1，包括Rayleigh-Sommerfeld、遠場和Debye積分。k域中自由空間傳播的簡單性是快速物理光學選擇k域的一個重要原因。另一個原因是可以從 快速代數計算 和 。下面將介紹場追蹤算法中的B算子。
2.雙向算子
空間域中我們有B算子 ，并且類似的在k域中有 。
展開 這些概念的結合產生了一種物理光學理論，其具有快速建模算法，該算法固有地以定義明確、有說服力的方式應用了幾何和衍射模型。
1.場追跡圖
一個光學系統的麥克斯韋方程組的解可以通過非序列場追跡算法得到[1]。這導致所有通過系統中不同光路的模擬，都由一系列自由空間傳播步驟和與空間中非均勻區域，例如光學器件的互作用組成。從光源平面中的場開始，自由空間算子P規定了在下一個組件平面上的場，其中組件的響應由算子B給出。這些算子應用于x域或k域。一個光路的模型可以由所謂的場追跡圖說明，圖1給出了相應的例子。
圖1 物理光學中一個光路的場追跡圖模型。參數j指明了應用算子的場參考平面。
盡管電磁場包含六個場分量，場追跡算法仍然可以通過ρ=(x,y)，E┴(ρ,ω)=(Ex(ρ,ω), Ey(ρ,ω))正式地表示，缺失的四個分量可以根據E┴的需求計算。在k域中，這些計算遵循簡單的代數方程。
自由空間算子方程由 給出，輸入平面場為 ，輸出平面（輸入平面的下一個算子）的結果為 。如果輸入/輸出平面不平行，則傳播算子P通過衍射積分和附加的傾斜算子表示自由空間中的傳播[2]。盡管在空間域中，傳播被表示為有大量數值計算成本的衍射積分，但在k域中，對于平行平面和非平行平面的附加坐標變換，我們則有簡單的表達式（ ）
(1)
通過選擇常規或幾何傅里葉變換[3]，可以來回轉換k域和空間域，不同的衍射積分遵循空間域中的公式1，包括Rayleigh-Sommerfeld、遠場和Debye積分。k域中自由空間傳播的簡單性是快速物理光學選擇k域的一個重要原因。另一個原因是可以從 快速代數計算 和 。下面將介紹場追跡算法中的B算子。
2.雙向算子
空間域中我們有B算子 ，并且類似的在k域中有 。
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3.4 光柵衍射角度理論計算
通過光柵方程n?×sin(θ?)=n?×sin(θ?)+m×λ/d，可精準計算各級衍射角度，僅1~4級衍射光可在波導內實現有效傳播，其余級次光路被抑制，為光柵參數優化提供理論依據。
（a）波導結構示意圖；（b）K空間分析圖
圖3 基于RMG的L型光柵波導布局圖
光柵優化：RCWA結合PSO的精準設計
為實現理論推導的衍射效率分布，團隊采用嚴格耦合波分析（RCWA）結合粒子群優化（PSO）算法，對折疊光柵、出耦合光柵及入耦合光柵的結構進行了優化設計：
1.確定光柵核心參數：選用532nm波長，HOYA-FD60W玻璃為波導基底（折射率1.817），波導厚度1mm
對于低數值孔徑系統，工程師常使用傍軸近似和標量衍射理論評估焦斑。但當數值孔徑不斷增大，光線入射角顯著提升，縱向場分量增強，偏振與矢量效應變得不可忽略，傳統方法往往會低估焦斑結構的復雜性。例如，在高NA聚焦條件下，不同偏振態會導致焦平面能量分布明顯變化，甚至影響主瓣尺寸和旁瓣對比度。此時，采用更嚴格的矢量傳播模型就顯得非常必要。
POP 使用標量衍射理論在宏觀系統中傳播標量場。
對于 300μm 硅層頂部帶有400μm曲率半徑的微透鏡的光柵耦合器，ZBF 平面旋轉 5 度并耦合到 13μm 束腰的光纖中，這表示光纖具有擴展的纖芯。然后，可以通過 Universal Plot 工具對 coordinate breaks執行掃描來評估 fiber alignment對耦合效率的影響。
Zemax 提供耦合效率。
超表面計量學的光學屬性4個月前
圖3 （a）參考光束干涉測量系統；（b）剪切波干涉法測量系統
相位恢復法：
由衍射理論可知，通過光在給定平面上的場分布、振幅和相位，就有可能確定遠場的場分布。相反，簡單地測量給定平面上的光強分布并不足以恢復原始波前，因為會丟失相位信息，測量光強分布只會產生模糊性，并不能直接進行波前重建。相位恢復法利用光傳播過程中初始光學信息產生不同但相關的強度圖案這一特性來恢復相位。
在物理光學中，我們使用麥克斯韋方程組處理電磁場。為了快速求解該方程組，我們將不同的麥克斯韋算子結合在一個非序列場追跡概念中。進一步的，快速物理光學概念的支柱是：（1）盡可能在k域求解麥克斯韋方程組。（2）根據處于哪一個場域，使用常規或幾何傅里葉變換，選擇k域或空間域。（3）通過所謂的雙向算子仿真光學組件的效應。（4）幾何雙向算子的引入。這些概念的結合產生了一種物理光學理論
泊松亮斑仿真和雙縫建模6個月前
當菲涅耳向法國科學院介紹他的衍射理論時，委員會成員泊松嘲笑菲涅耳的方法，因為它預言了光束經過圓形障礙物的陰影中會有一個亮點。 在這里，我們在VirtualLab Fusion中演示了這種效應，并且借助可編程功能，還可以研究由不同障礙物引起的衍射效應。對后一種情況中，我們通過功能型實例提供了雙縫建模的示例。
泊松亮斑的觀測6個月前
當菲涅爾在法國科學院提出他的衍射理論時，委員會成員泊松對菲涅爾的方法嗤之以鼻，因為它預言了光束經過圓形障礙物的陰影中會有一個亮點。誠然，正如委員會成員阿拉戈所證明的那樣，這個斑點可以通過實驗觀察到。
當菲涅耳向法國科學院介紹他的衍射理論時，委員會成員泊松嘲笑菲涅耳的方法，因為它預言了光束經過圓形障礙物的陰影中會有一個亮點。 在這里，我們在VirtualLab Fusion中演示了這種效應，并且借助可編程功能，還可以研究由不同障礙物引起的衍射效應。對后一種情況中，我們通過功能型實例提供了雙縫建模的示例。
當菲涅爾在法國科學院提出他的衍射理論時，委員會成員泊松對菲涅爾的方法嗤之以鼻，因為它預言了光束經過圓形障礙物的陰影中會有一個亮點。誠然，正如委員會成員阿拉戈所證明的那樣，這個斑點可以通過實驗觀察到。
