基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真

仿真客

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摘要

偏振是光的基本屬性之一，也是光學課程教學中的重點內容。但由于課時限制等原因，光學課程對于光的偏振介紹比較簡單，內容也局限于老舊內容。隨著光學的發展，矢量偏振光束由于其獨特的特性已經被廣泛的研究和應用，因此，在光學課程中引入偏振發展的前沿知識，有助于學生探索新的光學發展領域，從而激發他們的學習興趣，為推動教研融合作出積極貢獻。本文以矢量偏振光束通過高數值孔徑物鏡的衍射為例，基于矢量衍射理論和MATLAB模擬仿真展示偏振態對光場傳播過程和聚焦光場的影響。首先根據矢量衍射理論推導了聚焦場分布積分表示；然后借助MATLAB仿真給出了矢量偏振光束入射情況下聚焦光場分布；最后通過與常見的線偏振光和圓偏振光對比，對矢量偏振光束聚焦場分布進行了分析和總結。

關鍵詞 偏振；矢量衍射理論；矢量光束；MATLAB仿真

Abstract As one of the basic attributes of light, polarization is the crucial content in the course of Optics. However, due to the limitation of class hours and other reasons, the introduction of polarization in the course is often relatively simple, and the content is limited to the old content. With the development of optics, vectorial beams have been widely studied and applied because of their unique characteristics. To this end, introducing the frontier knowledge of polarization development into the optics course is advantageous for the students to explore new areas of the optical development, which could inspire their leaning interest and thus make positive contributions to promoting the integration of teaching and research. In this paper, taking the diffraction of vectorial beam through high numerical aperture objective lens as an example, we investigate the influence of vectorial beam on the light propagation and focal field based on vector diffraction theory and Matlab simulation. First, the integral expression of focal field distribution of vectorial beam is derived according to vectorial diffraction theory. Furthermore, with the help of Matlab simulation, the distributions of focal field under the incidence of vectorial beams are provided. Finally, the focal field distributions of vectorial beams are analyzed and summarized by comparing with the common linearly polarized light and circularly polarized light.

偏振與振幅、相位和頻率一樣，是光的基本屬性之一^[1]。一般而言，光的偏振指的是電場分量振蕩的方向。我們知道自然光的偏振是隨機的，當自然光通過偏振器或在某些特定的界面反射就形成了特定方向上的偏振光，比如線偏振光和圓偏振光。偏振不僅在我們的日常生活中有很多應用，包括偏振太陽鏡，偏振相機和3D電影等，而且在偏振檢測和偏振成像等科學研究方面也得到了廣泛的應用。但由于課時限制等原因，以上內容基本是光學課程介紹的內容，相對比較簡單和陳舊。光學的發展促進了新型偏振光的提出，比如矢量光束。矢量光束由于其在垂直于光傳播方向的橫截面具有非均一性的偏振分布，在量子存儲、粒子操控、超分辨成像、納米光刻和激光加工等領域具有重要的潛在發展前景。因此，有必要引入光學發展前沿，鼓勵學生探索光學新發展，培養創新思維，從而激發他們的學習興趣，促進教研融合。同時，考慮到知識的難度，我們需要結合虛擬仿真實驗對光學理論和模型進行精確仿真和可視化，從而直觀呈現抽象的物理過程，提高教學效果和學習效率^[2]。

本文以矢量偏振光束通過高數值孔徑物鏡的衍射為例，基于MATLAB模擬仿真展示偏振態對光場傳播過程和聚焦光場的影響。對于低數值孔徑透鏡，只需使用傍軸近似或夫瑯禾費近似的標量衍射理論。但是，對于高數值孔徑透鏡，聚焦光場與偏振狀態密切相關，特別是對于矢量光束，聚焦光場將呈現顯著的偏振特性^[3], 此時就需要使用由RICHARDS B和WOLF E在德拜標量衍射積分的基礎上建立的矢量衍射理論^[^4,5]。借助矢量衍射理論，可以精確描述矢量光束的衍射光場分布，包括振幅、相位和偏振態等。首先，根據矢量衍射理論推導了聚焦場分布積分表示；進一步借助MATLAB仿真給出了矢量偏振光束入射情況下的聚焦光場分布，為學生提供直觀的可視化結果。最后，通過與常見的線偏振光和圓偏振光對比，對矢量偏振光束聚焦場分布進行了分析和總結，有助于學生對偏振影響的整體理解和掌握。

1 矢量偏振光束

偏振光束根據空間分布可分為均勻偏振光和非均勻偏振光^[6,7]，線偏振光、圓偏振光、橢圓偏振光都是常見的均勻偏振光。非均勻偏振光在不同空間位置的偏振態不同，矢量光束屬于非均勻偏振光。振幅和偏振態在光束橫截面上以光軸為對稱軸，分布沿徑向方向有一定夾角φ₀的矢量光束，稱為軸對稱矢量光束,如圖1(a)所示。當φ₀分別為0和π/2對應兩種特殊形式：徑向偏振光（圖1(b)）和角向偏振光（圖1(c)），它們的電矢量振動方向分別沿徑向和切向。下面我們將討論這兩種特殊的矢量偏振光束在高數值孔徑透鏡下形成的聚焦光場分布。

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖1

2 基于矢量衍射理論的聚焦光場

根據惠更斯-菲涅爾原理，光傳播過程中，從點波源發射出的球面波在某一時刻波前的任意一點都可以視為次波源，各次波在空間某點上相干疊加形成該點上的總波擾。同樣地，矢量衍射積分將衍射場中一點的場強看成是由球面波前上每個次級平面子波的矢量疊加，用積分表述為^[4,5]

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖2

其中E（P）表示焦點區域的電場，A（s）為聚焦球面波前任意一點電場矢量，s 是平面子波傳播方向的單位矢量，r 表示像點P 的位置矢量，Ω為出瞳孔徑對P 的立體角，如圖2所示。一束平行入射的矢量光束經過透鏡向焦點會聚，透鏡后的波前看作是一個球心為焦點的球面波。球面上每一點到焦點的方向即為該條光線的前進方向，每個方向的光線偏振的方向和幅度用偏振矢量進行表示。所有光線在焦點處會聚，通過對孔徑角范圍內光線的偏振矢量進行積分，可以得出焦點附近的光場分布。

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖3

根據矢量衍射角譜理論^[8]，將矢量衍射積分表示為次級平面子波復振幅的相干疊加，用平面波角譜理論進行分析。衍射光場可看成許多不同方向傳播的單色平面波分量的線性組合，其中的角譜分量A（k_x,k_y,0）由光束在折射后的光場分布E₁決定，因此，聚焦光場的分布可以化簡為

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖4

假設平行光束入射到焦距為f_obj的物鏡，入射的電場矢量強度為E₀，經物鏡折射后的電場強度矢量E₁表示為

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖5

其中cos^1/2θ 為照明光路中的切趾因子，表示球面波前的光場分布，與會聚角θ 相關。基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖6 是偏振變換矩陣，可以表述為

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖7

將公式(3)代入衍射積分公式(2)中并變換積分變量得到聚焦光場分布為

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖8

將不同偏振狀態的E₀代入上式并用MATLAB計算積分，即可得到聚焦光場分布情況，分析入射光偏振態對聚焦光場分布的影響。

3 矢量光束聚焦光場及MATLAB仿真

假設入射光束光強分布為高斯分布，電場矢量E₀的偏振態用矩陣基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖9 表示，各種偏振光束的瓊斯矩陣表示如表1所示。將不同偏振光束的矩陣表示代入到公式（3）并結合公式（4）就可以得到最終的聚焦光場分布表達式，接著利用MATLAB編程模擬計算聚焦光場積分。在計算過程中，我們選取焦距為2mm，數值孔徑0.95的聚焦透鏡作為算例。

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖10

圖3四行的圖分別給出了x 線偏振光、圓偏振光、徑向偏振光和角向偏振光的MATLAB聚焦光場在焦平面上的分布仿真結果。從左至右，每一列分別對應橫向分量、軸向分量以及總光強，其中總光強即橫向分量與縱向分量之和。為了進一步分辨出各分量之間的關系，圖4~圖7給出了它們沿徑向的光強變化曲線。

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖12

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖13

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖14

基于MATLAB的矢量光束聚焦光場仿真的圖15

由圖3~圖7可以看到，不同偏振入射光的場分布具有顯著的矢量偏振特征。具體而言，線偏振光在高數值孔徑聚焦情況下產生了關于y 軸對稱的軸向光場分量（圖3第一行），雖然聚焦光場橫向分量仍舊占據主導地位，但是由于軸向分量的影響，使得總光強分布成為了橢圓形（圖4），其長軸平行于其偏振方向。圓偏振光聚焦場光強（圖3第二行）偏振特性與線偏振相似，占主導地位的橫向分量呈現光斑形式。而呈現環狀分布的軸向分量使得光斑變大（圖5）。與線偏振不同之處在于光強分布是圓對稱的。

與線偏振光和圓偏振光對比，軸對稱矢量光束，徑向偏振光（圖3第三行）、角向偏振光（圖3第四行）的聚焦場都為中心對稱分布，但各偏振分量分布比較特殊。徑向偏振光的聚焦光斑仍為圓形，橫向分量為環形分布，軸向分量遠大于橫向分量，占主導地位，如圖6所示。同時軸向分量的半波瓣寬度遠遠小于總光強的半波瓣寬度，因此，通過一些手段,例如用高階模式徑向偏振光束照明^[9]，或者結合環形光瞳濾波器^[10,11]來增強軸向偏振分量，抑制橫向分量，從而得到較小的衍射光斑，在超分辨成像、激光加工等領域具有重要應用。而對于角向偏振光，聚焦光斑為純橫向分量的環形分布，如圖7所示。上述光場偏振特性都是用標量衍射積分所不能解釋的，說明在高數值孔徑系統中，矢量衍射理論才能準確描述光的傳播和聚焦特性。

4 結語

本文根據矢量衍射理論推導矢量偏振光束的聚焦光場積分表示，并采用MATLAB模擬仿真實現了聚焦光場分布的直觀顯示。基于矢量光束經透鏡聚焦的光場分布分析，在高數值孔徑系統中，矢量衍射光束聚焦場具有以下特征：

（1）聚焦光場具有顯著的偏振特性，要用矢量衍射理論進行分析計算；

（2）聚焦光場各偏振分量與入射光場偏振態相關，并且出現軸向偏振分量。經過高數值孔徑透鏡聚焦，光束的矢量偏振性質發生變化。徑向偏振光在焦點附近軸向分量占主導，角向偏振光保持空心場分布，不含軸向分量；

（3）聚焦光斑受入射光偏振影響，利用矢量光束和高數值孔徑的緊聚焦特性，能實現超衍射光斑^[9-11],在超分辨成像、激光加工等領域具有重要應用。

總之，基于MATLAB的模擬仿真結果形象地反映了矢量偏振光束的聚焦光場分布，有助于學生對于新型偏振光束這一光學前沿知識的整體理解和掌握。在此基礎上激發學習興趣，培養創新思維，為探索光學新發展和促進教研融合作貢獻。

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