代數學
關注創建者：匿名 創建時間：2026-01-04
代數學的實例教程
多年之后，我才明白，當老師犯傻似地用中括號把一堆傻了吧嘰的數括起來，并且不緊不慢地說：“這個東西叫做矩陣”的時候，我的數學生涯掀開了何等悲壯辛酸、慘絕人寰的一幕！自那以后，在幾乎所有跟“學問”二字稍微沾點邊的東西里，矩陣這個家伙從不缺席。對于我這個沒能一次搞定線性代數的笨蛋來說，矩陣老大的不請自來每每搞得我灰頭土臉，頭破血流。長期以來，我在閱讀中一見矩陣，就如同阿Q見到了假洋鬼子，揉揉額角就繞道走。
事實上，我并不是特例。一般工科學生初學線性代數，通常都會感到困難。這種情形在國內外皆然。瑞典數學家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中說：“如果不熟悉線性代數的概念，要去學習自然科學，現在看來就和文盲差不多。”，然而“按照現行的國際標準，線性代數是通過公理化來表述的，它是第二代數學模型，...，這就帶來了教學上的困難。”事實上，當我們開始學習線性代數的時候，不知不覺就進入了“第二代數學模型”的范疇當中，這意味著數學的表述方式和抽象性有了一次全面的進化，對于從小一直在“第一代數學模型”，即以實用為導向的、具體的數學模型中學習的我們來說，在沒有并明確告知的情況下進行如此劇烈的paradigm shift，不感到困難才是奇怪的。
大部分工科學生，往往是在學習了一些后繼課程，如數值分析、數學規劃、矩陣論之后，才逐漸能夠理解和熟練運用線性代數。即便如此，不少人即使能夠很熟練地以線性代數為工具進行科研和應用工作，但對于很多這門課程的初學者提出的、看上去是很基礎的問題卻并不清楚。比如說：矩陣究竟是什么東西？向量可以被認為是具有n個相互獨立的性質(維度)的對象的表示，矩陣又是什么呢？我們如果認為矩陣是一組列(行)向量組成的新的復合向量的展開式，那么為什么這種展開式具有如此廣泛的應用？特別是，為什么偏偏二維的展開式如此有用？
展開 我們現在進行數學運算，均運用“＋、－、×、÷、＝、≈、㏒、㏑”等多種數學符號。盡管符號多種多樣，但各有各的妙用，而且隨著數學的不斷發展，還會產生更多的數學符號。那么，為什么數學中要用這么多的符號呢？我們現在使用的數學符號是怎么來的呢？
數學符號的妙用
在一本《代數學》的書里，有這樣一段敘述“令一個數與9的根相乘。如果想讓9的根加倍，你可以按照下列步驟計算：2乘以2得4，用9與4相乘得到36，即得到36的根6我們知道它是兩個9的根，即3的2倍。而3是9的根，將它和自身相加得到6。”
相信大家在讀這段話的時候會很費解，第一遍可能根本就不知道是什么意思，再一字一句地讀，雖然有點明白，但仍不能完全理解，情急之下你或許會拿起筆，讀一句，理解一句就用數學符號在紙上列出來，讀完列出算式后，你才會猛然醒悟，原來這么冗長難以理解的一段表達，竟然是這么一個簡單的算式：
從上面的例子中可以看出，完善的數學符號，能使數學在形式上一目了然，且簡明確切，它為表述數學理論和論證帶來了極大的方便。運用各種數學符號后，我們就再也不用費勁地去讀類似于上述那種難理解的數學書了。使用數學符號的另外一個好處是，它能使數學問題與解法更具有一般性，上述的例子開始的一句話是要研究“一個數與9的根相乘”的，也就是研究
的，但由于缺乏數學符號，就只能用一個例子來體現一般方法。
數學符號不斷引入的內部因素是數學的不斷發展，它反過來對數學的發展又起著積極的推動作用。二者相互促進，其最終結果是導致符號對數學的重要性和數學對符號的依賴性不斷增強。而且恰當的數學符號，能夠成為推動數學發展的巨大力量。例如，數字是數學中最早出現的符號，它的出現是人類對數的認識程度提高的一個重要標志。
展開 數學力學的歷史上，張量概念的誕生是件大事。不同于經典力學概念，張量概念中蘊涵了一個既漂亮又深刻的思想—— 協變性思想。
1935 年，法國誕生了著名的布爾巴基學派。該學派提出了重要的思想觀念—— 數學結構。在諸種類型的數學結構中，最基本的是代數結構。張量就是普遍存在于物理學和力學中的代數結構。
作為代數結構，張量有內部子結構，例如，分量和基矢量。子結構滿足特定的協調約束性質，即“協變性”，具體表現為兩大基本變換：一是指標升降變換，二是坐標變換。作者將二者合稱為里奇變換[3-4]。
確切地說，協變性就是張量在里奇變換下的不變性。正是協變性，保證了張量的坐標無關性。從這個意義上講，在物理學和力學中，協變性近乎于客觀性。因此說，協變性思想，不僅漂亮，而且深刻。
從張量代數學到張量微分學的演進，是數學物理和數學力學史上的大事。但這件大事總被一種不大圓滿的氛圍所籠罩—— 張量微分的協變性退化了。喪失了協變性的張量微分，對物理學和力學不吝一場災難。
危難時刻，意大利的里奇學派盡顯英雄本色：他們巧妙地引入了漂亮的新概念—— 張量的協變微分，從而一舉將不協變的微分學，“美化” 成了協變的微分學。
然而，隨著協變微分概念的誕生，概念上新的對稱性破缺出現了。隨著協變微分學的出世，理論上新的對稱性破缺出現了。
本文刻畫了這樣的歷史軌跡：先驅們定義了張量微分，造成了概念上的對稱性破缺。而隨著張量變分的定義，概念上的對稱性破缺得以彌補。先驅們發展了張量微分學，造成了理論上的對稱性破缺。而隨著張量變分學的建立，理論上的對稱性破缺得以修復。
現在，新的對稱性破缺引出了新的問題：還能重復上述對稱化歷史的軌跡嗎？答案是肯定的。對稱的建筑群將被持續延拓，規模更大、更為壯麗的對稱建筑群將拔地而起。
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危難時刻，意大利的里奇學派盡顯英雄本色：他們巧妙地引入了漂亮的新概念—— 張量的協變微分，從而一舉將不協變的微分學，“美化” 成了協變的微分學。
，然而“按照現行的國際標準，線性代數是通過公理化來表述的，它是第二代數學模型，...，這就帶來了教學上的困難。”
數學符號的妙用
在一本《代數學》的書里，有這樣一段敘述“令一個數與9的根相乘。如果想讓9的根加倍，你可以按照下列步驟計算：2乘以2得4，用9與4相乘得到36，即得到36的根6我們知道它是兩個9的根，即3的2倍。而3是9的根，將它和自身相加得到6。”
