Newton-Raphson方法
關(guān)注創(chuàng)建者：匿名 創(chuàng)建時(shí)間：2026-01-04
Newton-Raphson方法的實(shí)例教程
分別圍繞下面三個(gè)問(wèn)題展開(kāi)：
1.實(shí)際物理問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系，怎么去建立或定義一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型，其與有限元方法的關(guān)系是什么？
2.我們?yōu)槭裁葱枰紤]非線性，非線性的數(shù)學(xué)關(guān)系式是什么，在有限元算法中體現(xiàn)在什么地方？
3.怎么運(yùn)用基礎(chǔ)的Newton-Raphson方法去求解非線性方程組？
在視頻的中間穿插講述了本系列課程的基本框架，也就是一步一步非線性研究的每一個(gè)遞進(jìn)關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，帶大家一步一步掌握非線性計(jì)算的相關(guān)知識(shí)。
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展開(kāi) 對(duì)非線性材料的土體模型，SIGMA/W軟件用Newton-Raphson方法來(lái)解迭代方程，土體參數(shù)在每一迭代步上都要更新，直至得到收斂解。
SIGMA/W軟件可與SEEP/W軟件相結(jié)合分析土體的完全固結(jié)問(wèn)題。由SEEP/W軟件計(jì)算載荷作用下的瞬時(shí)孔隙水壓力，而由SIGMA/W軟件計(jì)算孔隙水壓力產(chǎn)生的變形。
用于土體結(jié)構(gòu)內(nèi)部相互作用的梁結(jié)構(gòu)和桿單元。
回填或開(kāi)挖時(shí)的分段載荷。
3.與其他應(yīng)用軟件的結(jié)合：
1）SIGMA/W軟件計(jì)算出的應(yīng)力可用于SLOPE/W軟件或QUAKE/W軟件中：
在SLOPE/W軟件中用有限元方法計(jì)算出的應(yīng)力值，與由變形分析中得到的應(yīng)力值一樣，用這些應(yīng)力值就可以對(duì)一些嚴(yán)格的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行分析了。此外，在QUAKE/W軟件的地震動(dòng)力學(xué)分析中，用戶可以將SIGMA/W軟件計(jì)算出的應(yīng)力作為初始應(yīng)力分布值。
2）SIGMA/W軟件計(jì)算出的孔隙水壓力可用于SLOPE/W軟件或QUAKE/W軟件中：
在SIGMA/W軟件中，在如回填等穩(wěn)定載荷作用下產(chǎn)生的超孔隙水壓力可以代入SEEP/W軟件中研究地基中的超孔隙水壓力的消散所需時(shí)間。用戶可以用SLOPE/W軟件來(lái)分析建造過(guò)程這些附加應(yīng)力對(duì)穩(wěn)定性的影響，以便用戶決定分步加載的必要性。
展開(kāi) 仿真的廣泛應(yīng)用:
5.非線性求解器（Model Solution-Non-Linear）：
支持幾何非線性、材料非線性、彈塑性及綜合非線性分析，利用Newton-Raphson方法求解非線性方程組。
6.變量化分析（Variationl Analysis）：
變量化分析仿真在設(shè)計(jì)初期介入設(shè)計(jì)過(guò)程，利用單一模型進(jìn)行廣泛的設(shè)計(jì)研究，通過(guò)一次網(wǎng)格劃分和解算，生成手冊(cè)式結(jié)果，得到多種可對(duì)比的方案。
7.響應(yīng)分析（Response Analysis）：
響應(yīng)分析用來(lái)研究結(jié)構(gòu)在靜態(tài)、瞬態(tài)、諧波和隨機(jī)等激勵(lì)下的受迫響應(yīng)，模態(tài)可以來(lái)自結(jié)構(gòu)分析或測(cè)試。
8.復(fù)合鋪合分析（Laminnate Composites）：
以復(fù)合鋪層材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行高效的設(shè)計(jì)和評(píng)估.
9.注塑冷卻顧問(wèn)（Part Advisor）：
注塑過(guò)程顧問(wèn)系統(tǒng)。簡(jiǎn)單實(shí)用，直接對(duì)STL格式進(jìn)行計(jì)算，只用定義零件的材料和模具特性以及澆注口，就可以模擬澆注模具過(guò)程中塑料流動(dòng)。可優(yōu)化零件與模具的設(shè)計(jì)，以達(dá)到質(zhì)量、成本和時(shí)間的最優(yōu)平衡。
10.機(jī)械仿真（Mechanism Sim）：
分析機(jī)構(gòu)在外力作用下的運(yùn)動(dòng)和受力。包含機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)（Mechanism Design）的全部功能.
11.產(chǎn)品壽命預(yù)測(cè)（Durability）：
預(yù)測(cè)靜態(tài)載荷下產(chǎn)品的材料強(qiáng)度和疲勞安全的工具。
12.高級(jí)產(chǎn)品壽命預(yù)測(cè)（Advanced Durability）：
預(yù)測(cè)靜態(tài)或瞬態(tài)載荷下產(chǎn)品的產(chǎn)品壽命和疲勞破壞，包含產(chǎn)品壽命預(yù)測(cè)的全部功能。
13.電子系統(tǒng)冷卻仿真（Electronic System Cooling）：
電子系統(tǒng)的三維熱/流動(dòng)分析。I-deas集成環(huán)境中的電子系統(tǒng)可靠性分析工具，仿真可直接在CAD模型上分析單元件、多芯片組、散熱片、PCB、功率模組或完整系統(tǒng)的熱/流動(dòng)行為，含PCB Modeler和ECAD接口。
展開(kāi) • 使用初始Newton-Raphson非線性解方法更好地捕捉不穩(wěn)定點(diǎn)。
• 與載荷控制分析相比，通過(guò)位移控制分析可以更容易地跟蹤剛度損失后的結(jié)構(gòu)行為；然而，如果不穩(wěn)定區(qū)域值得關(guān)注，并且需要進(jìn)行載荷控制分析，則考慮使用弧長(zhǎng)法（ARCLEN）。
使用弧長(zhǎng)法，在大約610 kN的載荷和5.6 mm的撓度下確定了不穩(wěn)定區(qū)域。結(jié)果與圖49.4所示的分析結(jié)果一致，驗(yàn)證了計(jì)算的載荷極限。
參考文獻(xiàn)
Eurocode 2: Design of Concrete Structures - Part 1-1: General Rules for Buildings. DIN EN 1992-1:2011-1 (E).
展開(kāi) 對(duì)于這些方程組，數(shù)學(xué)上已有相應(yīng)的解法，如線性方程組可采用Guass消去法或Guass-Seidel迭代法求解，而對(duì)非線性方程組，可采用Newton-Raphson方法。
07
判斷解的收斂性
判斷計(jì)算殘差是否收斂
判斷進(jìn)出口質(zhì)量是否守恒
監(jiān)測(cè)物理量變化
08
可視化輸出計(jì)算結(jié)果
流線圖
云圖
儲(chǔ)能集裝箱溫度云圖
潔凈室壓力云圖
車(chē)間速度云圖
矢量圖
車(chē)間速度矢量圖
空氣齡
潔凈室空氣齡圖
粒子沉積
下載地址：計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)分析：CFD軟件原理與應(yīng)用
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Newton-Raphson方法的最新內(nèi)容
2)ABAQUS/Standard使用Newton-Raphson方法來(lái)求解大型方程組，在每個(gè)增量步中都進(jìn)行迭代運(yùn)算，因此需要占用大量的硬盤(pán)和內(nèi)存空間。其計(jì)算結(jié)果具有無(wú)條件穩(wěn)定性，適合解決一般的線性和非線性問(wèn)題。
3)ABAQUS/Explicit則采用中心差分法求解大型方程組，無(wú)需迭代計(jì)算，但需要進(jìn)行大量的增量步計(jì)算，其計(jì)算時(shí)間取決于穩(wěn)定極限值。
• 使用非對(duì)稱(chēng)Newton-Raphson解方法（NROPT，UNSYM）和耦合孔隙壓力熱機(jī)械單元（本問(wèn)題中為CPT212）。
• 忽略可能在地質(zhì)靜態(tài)求解開(kāi)始時(shí)出現(xiàn)的接觸單元狀態(tài)警告。（由于接觸單元被殺死，然后被重新激活，預(yù)計(jì)狀態(tài)會(huì)突然改變。）
由于我們使用 Newton-Raphson 方法來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題，因此不應(yīng)該從函數(shù)斜率為零的點(diǎn)開(kāi)始。經(jīng)過(guò)求解，我們發(fā)現(xiàn) u_b = 2.621。
現(xiàn)在，我們讓事情變得復(fù)雜一點(diǎn)，這次需要求解的是
和
這兩個(gè)極限：
由于我們有兩個(gè)未知數(shù)，顯然需要在這里再加一個(gè)方程，所以讓我們?cè)偌僭O(shè)
。
分析和求解控制
使用初始Newton-Raphson方法進(jìn)行非線性靜態(tài)分析。載荷極限（結(jié)構(gòu)能夠承受的最大載荷）通過(guò)全局Newton-Raphson解的發(fā)散來(lái)確定。
在單個(gè)子步中計(jì)算原位應(yīng)力狀態(tài)。
使用0.05的初始時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算載荷極限。為了精確捕捉結(jié)構(gòu)完整性損失，時(shí)間增量可以減少到0.001。
分析和求解控制
使用大變形（NLGEOM，ON）和非對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)全Newton-Raphson方法（NROPT，UNSYM）進(jìn)行非線性靜態(tài)分析。整個(gè)解決方案分三個(gè)加載步驟完成，如圖所示：
比較了BEAM188和SOLID185模型的結(jié)果。
結(jié)果和討論
步驟1中載荷W拉伸的彈簧致動(dòng)器如圖所示：
最大位移為43 mm，大于原始長(zhǎng)度28 mm。
對(duì)于這些方程組，數(shù)學(xué)上已有相應(yīng)的解法，如線性方程組可采用Guass消去法或Guass-Seidel迭代法求解，而對(duì)非線性方程組，可采用Newton-Raphson方法。
另外，每一次求解都需要對(duì)求倒數(shù)，如果求解方程組，就是對(duì)剛度矩陣求逆，這種方法在求解中控制兩次求解之差，當(dāng)其值很小時(shí)，就認(rèn)為接近真實(shí)值了，迭代結(jié)束
圖4-3
2：Newton-Raphson方法
Newton-Raphson方法的算法與常剛度法不同[12]，如果得近似表達(dá)式是不成立的，存在著殘余值，即，此式也可以作為近似值與真實(shí)值的差值量度，實(shí)際上在具體計(jì)算時(shí)
3.怎么運(yùn)用基礎(chǔ)的Newton-Raphson方法去求解非線性方程組？
在視頻的中間穿插講述了本系列課程的基本框架，也就是一步一步非線性研究的每一個(gè)遞進(jìn)關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，帶大家一步一步掌握非線性計(jì)算的相關(guān)知識(shí)。
4.5 接觸算法
ABAQUS/Standard中的接觸算法是圍繞Newton-Raphson方法建立的，在每個(gè)增量步開(kāi)始時(shí)檢查所有接觸相互作用的狀態(tài)，以建立從屬節(jié)點(diǎn)是開(kāi)放還是閉合的。圖中，
p表示從屬節(jié)點(diǎn)上的接觸壓力，
h表示從屬節(jié)點(diǎn)侵入主控表面的距離。如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)是閉合的，ABAQUS/Standard需要確定它是處于滑動(dòng)還是粘結(jié)。
求解方法常用的是Newton——Raphson 方法。怎么求K 怎么寫(xiě)F，怎么編程，就是需要的。不同的人的角度，寫(xiě)公式，編程的角度不同，導(dǎo)致了人為的困難。 我先建議看國(guó)外的寫(xiě)得好的程序。
先在這拋一塊磚，什么時(shí)候有時(shí)間了，我去別的地方搬一塊玉給大家看看
