Voronoi圖的案例
非結構化網格：Voronoi 圖和 Delaunay 三角剖分
Delaunay 三角剖分的另一個好處包括構建 Voronoi 圖。
維諾圖
Delaunay 三角剖分（黑色）和 Voronoi 圖（紅色）。
Voronoi 圖是網格生成的過程，其中根據稱為“站點”或“種子”的點的接近程度將平面劃分為較小的區域。例如，假設有多個點散布在一個平面上。對于這些點中的每一個，繪制一條距離更近且與兩個相鄰點等距的線。Voronoi 圖是通過這些線的連接形成的，它將域劃分為一組多邊形。
Voronoi 圖也被認為是 Delaunay 三角剖分的對偶。鑒于這兩種方法使用相同的點集，Delaunay 三角剖分的屬性適用于 Voronoi 圖，反之亦然。
Voronoi 圖的含義 - Delaunay 三角剖分在 CFD 網格劃分中
Delaunay 三角剖分算法和 Voronoi 圖在 CFD 網格生成過程中具有許多優勢，包括：
大量點的高效計算
適應復雜幾何形狀的靈活性
具有明確定義的單元的高質量網格劃分
用于解決邊界附近復雜性的自適應網格生成
可以使用以下 CFD 網格劃分步驟來利用這些優勢：
定義流動幾何并確定域的形狀。
生成一組有限的點以充分捕捉域內的幾何復雜性。這些點將在 Voronoi 圖和 Delaunay 三角剖分中引用。
使用生成的點計算 Voronoi 圖和 Delaunay 三角剖分以創建一組多邊形和三角形。這可以使用 Bowyer-Watson 算法等技術來完成。
定義邊界條件以理想地表示邊界處速度和溫度等流動參數的影響。
如果需要改進網格以提高網格的分辨率和精度。
展開 基于matlab二維voronoi圖生成(DXF格式 可供導入CAD/COMSOL使用） ￥50
Voronoi圖，又叫泰森多邊形或Dirichlet圖，它是由一組由連接兩鄰點直線的垂直平分線組成的連續多邊形組成。Voronoi圖是Delaunay三角剖分的對偶圖，生成它的方法有很多 比較有名的有分治算法，掃描線算法，增量法等。但利用Delaunay三角剖分生成Voronoi圖的算法是最快的。但最快的方法則是構造Delaunay三角剖分，再連接相鄰三角形的外接圓圓心，即可以到Voronoi圖。
目前Voronoi圖應用廣泛，很多科研都需要以Voronoi圖為基本幾何結構進行仿真分析，而COMSOL憑借其強大的多物理場耦合功能在科研,工程等多方面都有廣泛的應用。若能把Voronoi圖應用到COMSOL幾何體中就能將二者的優勢結合起來。但是目前針對Voronoi圖的生成很少有介紹應用到COMSOL里的，COMSOL不支持內部生成，通過外界導入的方法網上也很少有介紹。
此貼基于matlab編程生成任意種子及邊界長與寬的Voronoi圖 而后導入到COMSOL中作為幾何體供后續仿真使用。此貼關于COMSOL的二維Voronoi幾何體生成手段也可以被用來借鑒構建三維Voronoi幾何體，詳細方法可自行研究。
展開 使用 Voronoi 圖生成高保真 CFD 網格
可比較的是 Voronoi 幾何的情況。這些幾何形狀廣泛存在于蜂箱、海綿結構、巖石碎片，甚至人類表皮細胞和骨骼中。如果這些幾何形狀可以應用于高保真網格的計算流體動力學 (CFD) 會怎么樣？
關于 Voronoi 圖
Voronoi 圖，或泰森多邊形圖，或 Dirichlet 鑲嵌，是在將平面劃分為多邊形時形成的，每個多邊形包含一個生成點。換句話說，在 Voronoi 圖中，每個點都“擁有”比任何其他點都更接近自身的空間區域 [1]。由該分區形成的單元或多邊形稱為 Voronoi 多邊形或 Dirichlet 區域。
Voronoi 圖的使用可以追溯到 1600 年代，當時哲學家 Rene Descartes 使用與 Voronoi 圖類似的概念將宇宙劃分為漩渦以供他研究。Voronoi 圖的實際工作和定義是由兩位德國數學家 Lejeune Dirichlet 于 1850 年和 Georgy Voronoy 于 1908 年創造的；因此得名 Dirichlet 鑲嵌或 Voronoi 圖。
用 Voronoi 圖預測霍亂爆發
1854 年倫敦 Soho 區霍亂爆發期間，Voronoi 圖的一次著名使用。衛生當局斷言，這種傳播是由于開放式下水道的“空氣不好”造成的，但醫生約翰·斯諾確信，這種流行病是由于受污染的水造成的，他用維諾圖來證明這一點。
起初，斯諾繪制了一張地圖，描繪了因疫情爆發而死亡的地理分布。地圖上的條形代表死亡，并說明死亡如何聚集在特定水泵（Broad Street 水泵）周圍的特定區域。但是，附近還有其他水泵，因此很難確定 Broad Street 水泵的水污染源。
展開 CAD Voronoi圖插件 泰森多邊形 ￥199
插件介紹
CAD Voronoi圖、cad維諾圖生成插件，用于在AutoCAD軟件內生成泰森多邊形馮洛諾伊圖（Voronoi diagram）。
生成的voronoi圖可導入COMSOL、abaqus、ANSYS等有限元分析軟件進行科學計算。
插件采用Delaunay三角剖分算法生成三角網，進而生成Dirichlet圖。
插件可設置生成的Voronoi圖的長度、寬度、多邊形數目、自定義控制點坐標等信息。
插件會在CAD內分圖層繪制泰森多邊形、Delaunay三角網的圖像，便于導出使用。
同時插件可以將繪圖的控制點、多邊形頂點等信息導出到Excel文件內，方便分析計算。
說明提醒
插件需要注冊，注冊請聯系QQ：1135122921
對插件如有其它需求及改進建議歡迎提出。
使用手冊
CAD_Voronoi圖插件使用手冊.pdf
更新日志
2022/03/18 V1.0 版發布
1、插件發布，提供CAD繪圖及數據導出功能。
2022/03/20 V1.1 版發布
1、新增區塊最小直徑控制功能。
2、新增控制點區域擴展功能。
3、新增運行時間提醒功能。
4、優化算法，精簡插件大小。
2022/03/21 V1.2 版發布
1、新增自定義控制點坐標功能。
插件V2版本已發布：
CAD_Voronoi V2
展開 
CAD Voronoi3D三維泰森多邊形維諾圖插件 ￥2999
三維Voronoi
Voronoi又名泰森多邊形或Dirichlet圖、維諾圖等，三維Voronoi是由連接兩鄰點直線的垂直平分面組成的連續三維多面體結構。Voronoi在各個學科中應用廣泛，如進行區域規劃、晶體塑性有限元研究、路徑優化、地形簡化、多孔結構力學等方面的分析。
CAD Voronoi3D
CAD Voronoi 3D參數化建模插件可用于在AutoCAD軟件內生成三維Voronoi模型。插件在長方體、圓柱體、球體、圓錐體、圓環體不同的幾何模型構建泰森多邊形晶格，且可指定晶格的尺寸及有無晶格邊界層，同時插件提供了“隨機”及“均布”兩種控制點分布模式。
CAD Voronoi 3D插件可指定不同的試件形狀及試件尺寸，指定形狀內生成三維泰森多邊形實體晶格。
模型可包括晶格及晶格之間的晶界，同時可控制晶格邊界的厚度及有無，用于構建不同的Voronoi三維模型。
晶格邊界及泰森多邊形晶格分圖層繪制，可方便批量管理。
生成的區塊為單獨的部件，方便進行手動修改。
插件可指定晶格尺寸、控制點的分布模式，可實現【隨機分布】及【均勻分布+浮動%】兩種模式。
生成的CAD模型可直接在CAD內或其他三維建模軟件內進行渲染出圖。
CAD Voronoi3D也可導入其他有限元軟件如Comsol、Ansys、Abaqus內進行三維Voronoi模型的構建，利用3D泰森多邊形進行有限元分析模擬。
模型樣圖
三維Voronoi圖，含有無晶格兩種模型，及.dwg(CAD2018格式)、.sat、.iges三種數據格式。
展開 深入淺出泰森多邊形Voronoi算法
概述
Voronoi圖，又稱泰森多邊形或狄利克雷鑲嵌，是一種基于離散點集的空間劃分方法。每個區域內的點到其對應控制點的距離比到其他控制點更近，邊界由相鄰控制點連線的垂直平分線構成。Voronoi圖廣泛應用于地理信息系統（如服務區劃分）、計算機圖形學（如自然紋理生成）、機器人路徑規劃、生物學（如細胞結構模擬）等領域。其核心優勢在于高效的空間分割能力和對偶性（與Delaunay三角剖分互為對偶）。通過加權、高階或三維擴展，Voronoi圖可適應復雜場景需求，是連接數學理論與實際應用的重要工具。
數學定義
在數學上，Voronoi圖有非常嚴謹的定義。給定一個度量空間(M,d)和其中的一個離散點集S?M，Voronoi圖將該空間分割為多個區域，每個區域對應集合S中的一個特定點。具體來說，設S={s1, s1,..., sn?}是度量空間M中的有限點集，對于任意一點si∈S，其對應的Voronoi區域V(si)定義為：
這里， d(x,y)表示兩點x和y之間的距離函數。
通俗解釋
舉個例子來說，假設在一個城市里有幾家咖啡店，Voronoi圖可以幫助你找到每個地方最近的咖啡店。在這個圖中，每個咖啡店都有自己的“勢力范圍”，在這個范圍內居住的人到這家咖啡店的距離是最近的。這樣，通過Voronoi圖，我們可以直觀地看到各個服務設施（如咖啡店、醫院、學校等）的服務范圍。
應用領域
Voronoi 圖因其高效的空間劃分能力，廣泛應用于以下場景：
地理與城市規劃：劃分服務覆蓋范圍。
展開 CAD Voronoi 生成插件 V2 ￥199
樣圖參考
馮洛諾伊圖、沃羅諾伊圖、維諾圖（Voronoi Diagram），也稱為或狄利克雷鑲嵌（Dirichlet tessellation），是以兩鄰點線段的垂直平分線組成的連續多邊形，也稱為泰森多邊形。
在CAD內生成的圖形包括Voronoi圖的界限、有厚度的邊界、圖形范圍等分圖層繪制的圖形，如下圖所示：
插件運行
CAD沃羅諾伊圖生成插件的插件界面及可設置的參數如下，其中如需要自定義狄利克雷鑲嵌的控制點，需要在插件程序自帶的Excel表格內錄入。參數錄入完成后運行CAD_Voronoi.exe文件可自動在AutoCAD內生成泰森多邊形。Voronoi插件無需安裝，但需要電腦預裝AutoCAD，插件支持CAD2008~2022各個版本。
功能介紹
CAD Voronoi圖插件可在AutoCAD軟件內一鍵生成Voronoi圖形，分圖層繪制泰森多邊形的邊框、泰森多邊形孔隙或骨架，也就是有厚度的泰森多邊形、曲邊Voronoi等。生成的維諾圖為dwg格式的文件，Voronoi可導入COMSOL、Abaqus、ANSYS、SolidWorks等軟件進行進行一步的處理，也可用作Voronoi圖藝術化圖像等方面。
CAD泰森多邊形插件可指定生成圖形的寬度、高度、泰森多邊形塊數、最小的泰森多邊形直徑以及泰森多邊形邊界厚度等信息，可滿足絕大多數研究的需要。同時插件也加入了自定義泰森多邊形控制點的功能，插件可讀取Excel表格內自定義的Voronoi控制點坐標，實現Voronoi圖的精細化自定義。
說明提醒
插件需要注冊，注冊后可永久使用，版本更新不影響注冊狀態，注冊請聯系QQ：1135122921。
對插件如有其它需求及改進建議歡迎提出。
展開 ?MATLAB中生成voronoi模型 ￥25
MATLAB中生成的voronoi多晶體模型
Voronoi圖的拓撲算法目前較為成熟，而且在MATLAB軟件中的Multi-Parametric Toolbox工具箱已經有相應用于建立二維、三維Voronoi圖的函數命令。三維Voronoi多晶體有限元模型整個建模步驟為：
首先在一特定的空間進行空間剖分獲得每一個晶核坐標對應的隨機數，借助MATLAB里面的Multi-Parametric Toolbox(MPT)工具箱賦有的 mpt_voronoi函數命令，生成帶有拓撲信息且具有指定大小和晶粒數目的三維Voronoi多晶體示意圖。
經過上面MATLAB部分的編程，僅僅只是得到了關于三維Voronoi圖的全部拓撲結構信息。為此必須得在ABAQUS生成的INP文件里的part部分編寫與晶粒數相同多的set集合，每一個set集合就作為一個晶粒。接著，在txt文本里找到該晶粒包含的所有單元編號寫入與之對應的set集合中完成整個建模。
本案例收費部分僅僅包括：在MATLAB軟件中生成的10個晶粒的Voronoi模型MATLAB程序。買了朋友如有需要，請單獨私聊我將Multi-Parametric Toolbox工具箱發給你。
展開 voronoi多晶體有限元模型的建立 ￥22
Voronoi圖的拓撲算法目前較為成熟，而且在MATLAB軟件中的Multi-Parametric Toolbox工具箱已經有相應用于建立二維、三維Voronoi圖的函數命令。三維Voronoi多晶體有限元模型整個建模步驟為：
（1）首先在一特定的空間進行空間剖分獲得每一個晶核坐標對應的隨機數，借助MATLAB里面的Multi-Parametric Toolbox(MPT)工具箱賦有的 mpt_voronoi函數命令，生成帶有拓撲信息且具有指定大小和晶粒數目的三維Voronoi多晶體示意圖。
（2）在ABAQUS/CAE中建立一個與MATLAB構建的三維Voronoi多晶體示意圖相同大小的Part模型，并劃上適量數目的網格單元，根據每一個單元編號的空間排布特點尤其是單元編號的排列規律，直接依次求得每一個單元體形心坐標。
（3）求得每一個單元體的形心坐標后，接下來就是依次求取每一個單元的形心坐標與每個晶核的距離，最終把每一個單元歸屬于其形心坐標距離最近晶核所處的晶粒中。
（4）把上述所得的每一個晶粒的編號和該晶粒包含的全部單元編號，最后用多級列表的方式存放于txt文本里，為后面修改INP文件做好準備工作。
經過上面MATLAB部分的編程，僅僅只是得到了關于三維Voronoi圖的全部拓撲結構信息。為此必須得在ABAQUS生成的INP文件里的part部分編寫與晶粒數相同多的set集合，每一個set集合就作為一個晶粒。接著，在txt文本里找到該晶粒包含的所有單元編號寫入與之對應的set集合中完成整個建模。
展開 COMSOL晶體斷裂基于維諾圖Voronoi泰森多邊形建模
在COMSOL中對兩種斷裂形式進行模擬，模型采用Voronoi泰森多邊形構建晶體的晶粒組織，幾何模型采用CAD Voronoi插件進行參數化建模生成。
插件采用合理的多邊形約束模式，可使得泰森多邊形晶粒結構生成大小均勻，且可避免存在三角形晶體及角度過小的情況。模型對晶格及邊界分別定義不同的材料參數，以實現開裂模式上的差異。力學模型采用軸向拉伸模擬，左側邊界設置為輥支撐，右側設置水平向的位移。
COMSOL晶體材料的穿晶斷裂及沿晶斷裂位移：
COMSOL晶體材料的穿晶斷裂及沿晶斷裂裂縫擴展：
需要進行模擬的可在下面鏈接下載Voronoi的模型樣圖，CAD格式的，需要自己導入的COMSOL內：
CAD Voronoi
展開 voronoi多晶體有限元模型的建立及應用 ￥25
Voronoi圖的拓撲算法目前較為成熟，而且在MATLAB軟件中的Multi-Parametric Toolbox工具箱已經有相應用于建立二維、三維Voronoi圖的函數命令。三維Voronoi多晶體有限元模型整個建模步驟為：
（1）首先在一特定的空間進行空間剖分獲得每一個晶核坐標對應的隨機數，借助MATLAB里面的Multi-Parametric Toolbox(MPT)工具箱賦有的 mpt_voronoi函數命令，生成帶有拓撲信息且具有指定大小和晶粒數目的三維Voronoi多晶體示意圖。
（2）在ABAQUS/CAE中建立一個與MATLAB構建的三維Voronoi多晶體示意圖相同大小的Part模型，并劃上適量數目的網格單元，根據每一個單元編號的空間排布特點尤其是單元編號的排列規律，直接依次求得每一個單元體形心坐標。
（3）求得每一個單元體的形心坐標后，接下來就是依次求取每一個單元的形心坐標與每個晶核的距離，最終把每一個單元歸屬于其形心坐標距離最近晶核所處的晶粒中。
（4）把上述所得的每一個晶粒的編號和該晶粒包含的全部單元編號，最后用多級列表的方式存放于txt文本里，為后面修改INP文件做好準備工作。
經過上面MATLAB部分的編程，僅僅只是得到了關于三維Voronoi圖的全部拓撲結構信息。為此必須得在ABAQUS生成的INP文件里的part部分編寫與晶粒數相同多的set集合，每一個set集合就作為一個晶粒。接著，在txt文本里找到該晶粒包含的所有單元編號寫入與之對應的set集合中完成整個建模。
展開 
COMSOL與Matlab聯合仿真之Voronoi模型的建立
Voronoi圖，又叫泰森多邊形或Dirichlet圖，它是由一組由連接兩鄰點直線的垂直平分線組成的連續多邊形組成。
在matlab中，有現成的函數：
voronoi(x,y) 為向量 x 和 y 中的二維點繪制 Voronoi 圖的有邊界元胞。
可以在matlab中寫一段程序，生成Voronoi圖，把圖形保存成CAD腳本文件scr，再導入CAD中，保存成dxf格式，供COMSOL導入。
運行Matlab代碼，得到scr格式文件：
打開CAD，鍵入scr命令，或者點擊“工具 -> 運行腳本”菜單，打開上述文件，就自動畫出了Voronoi幾何模型：
最后，有相關需求，歡迎通過微信公眾號聯系我們。
展開 CAD 二維梯度Voronoi插件 梯度泰森多邊形 ￥699
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</div><p><br></p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/202207/e1895cdeca2941eb914cee86c1aa3ae4.png" alt="7Z(_[TO)3JN$)(S8%AHV`]6.png"></p><p>插件的控制模式為區塊大小是關于區塊位置坐標x，y的函數，可實現較為復雜的Voronoi圖分布。</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/202207/367d0a17e5374d0694361867c71f6612.png" alt="GRQ5K{45BB]BDNNBW$ZA41V.png"></p><p>插件生成的功能梯度Voronoi圖可導入COMSOL、Abaqus、ANSYS等有限元分析軟件內，實現功能梯度材料、梯度泰森多邊形、變晶粒、非等晶材料的幾何建模等。
展開 ANSYS Workbench三維Voronoi骨架網格結構
Voronoi 3D骨架結構是從Voronoi圖中提取出的骨架部分，它代表了原始Voronoi圖的主要連接路徑。這種骨架可以被看作原始結構的一種簡化表示，常用于描述多孔材料、生物組織如骨小梁結構等復雜形態的內部網絡。
在工程和科學研究中，Voronoi骨架結構幾何模型經常被用來模擬多孔材料，也被廣泛應用于各種仿真軟件中，以研究材料力學性能、熱傳導、流體滲透等問題。
ANSYS Workbench內建立三維Voronoi骨架幾何模型可以采用CAD泰森多邊形框架3D插件建模后導入到Workbench內。在插件內設置模型參數后運行即可在AutoCAD內建Voronoi骨架結構3D模型。
在CAD內將Voronoi網格骨架實體模型導出為IGES格式文件，即可導入到ANSYS內，導入后可添加其他部件及對Voronoi模型進行網格劃分 。
對Voronoi模型施加荷載，這里添加位移條件。
模擬Voronoi三維骨架結構的受沖擊破壞情況。
CAD泰森多邊形框架3D插件
https://www.yqgqt.org.cn/post/1917702
展開 CAD Voronoi V2.5.1 區塊編碼及面積輸出版本更新 ￥299
樣圖下載
CAD樣圖文件。
CAD Voronoi V2.5.1樣圖.zip
