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采用CAD二維圖形Voronoi劃分插件進行梯度晶粒的生成，晶粒直徑參數設置為模型中最大的晶粒尺寸，晶界厚度根據實際情況設置，晶粒類型選取梯度適應，邊界模式開啟自動尺寸。 將建立好的梯度Voronoi模型導入到COMSOL內，需注意晶粒及晶界應分兩次導入，導入后建立聯合體。

COMSOL晶體材料的穿晶斷裂及沿晶斷裂位移：COMSOL晶體材料的穿晶斷裂及沿晶斷裂裂縫擴展：需要進行模擬的可在下面鏈接下載Voronoi的模型樣圖，CAD格式的，需要自己導入的COMSOL內：CAD Voronoi

Voronoi 圖是通過這些線的連接形成的，它將域劃分為一組多邊形。 Voronoi 圖也被認為是 Delaunay 三角剖分的對偶。鑒于這兩種方法使用相同的點集，Delaunay 三角剖分的屬性適用于 Voronoi 圖，反之亦然。

Voronoi 圖的實際工作和定義是由兩位德國數學家 Lejeune Dirichlet 于 1850 年和 Georgy Voronoy 于 1908 年創造的；因此得名 Dirichlet 鑲嵌或 Voronoi 圖。用 Voronoi 圖預測霍亂爆發1854 年倫敦 Soho 區霍亂爆發期間，Voronoi 圖的一次著名使用。

三維Voronoi Voronoi又名泰森多邊形或Dirichlet圖、維諾圖等，三維Voronoi是由連接兩鄰點直線的垂直平分面組成的連續三維多面體結構。Voronoi在各個學科中應用廣泛，如進行區域規劃、晶體塑性有限元研究、路徑優化、地形簡化、多孔結構力學等方面的分析。

圖1.1 標準Voronoi晶粒交界線而對于非等速生長Voronoi晶體而言，由于晶粒生長速率的不同，導致兩個晶粒的交界線不再是其連線的垂直平分線，而是轉變為曲線，如圖1.2所示。

<p>Voronoi圖，又叫<a href="https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%B0%E6%A3%AE%E5%A4%9A%E8%BE%B9%E5%BD%A2" rel="noopener noreferrer" target="_blank">泰森多邊形</a>或<a href="https://baike.baidu.com/item/Dirichlet" rel

(a)Neper (b) voronoi 3D (elementgroup)圖3. Neper與voronoi 3D插件對于含孔洞模型生成對比除此之外，該插件還有很多強大的功能，比如直接生成正方體、圓柱、球晶體、柱狀晶體等模型，這個功能在Neper也可以簡單實現，結果與voronoi 3D插件一樣，這里用1000個晶粒來做一下測試對比，如圖4所示。

CAD三維模型Voronoi劃分插件樣圖.rar

可以進行邊界模式自動尺寸的設置，當自動尺寸設置為開時，插件會基于圖形邊界的小邊建立邊界Voronoi多邊形，當設置為關時，會根據設置的晶粒直徑全圖統一多邊形尺寸。需注意在均勻晶粒模式下勾選自動尺寸，當圖形存在小邊時會以最小邊界晶粒作為全局晶粒尺寸。若圖形邊界較為復雜，自動邊界尺寸設置為關的情況下，過大的晶粒直徑可能導致Voronoi計算失敗。

(a)Neper (b) voronoi 3D (elementgroup)圖3. Neper與voronoi 3D插件對于含孔洞模型生成對比除此之外，該插件還有很多強大的功能，比如直接生成正方體、圓柱、球晶體、柱狀晶體等模型，這個功能在Neper也可以簡單實現，結果與voronoi 3D插件一樣，這里用1000個晶粒來做一下測試對比，如圖4所示。

Voronoi圖以晶粒中心為生成點劃分區域，可用于模擬多晶材料的晶界行為、斷裂及應力分布，是材料科學中分析晶體結構與性能的關鍵工具。本案例介紹在COMSOL內建立二維Voronoi晶粒及晶界模型。

插件介紹CAD Voronoi圖、cad維諾圖生成插件，用于在AutoCAD軟件內生成泰森多邊形馮洛諾伊圖（Voronoi diagram）。生成的voronoi圖可導入COMSOL、abaqus、ANSYS等有限元分析軟件進行科學計算。插件采用Delaunay三角剖分算法生成三角網，進而生成Dirichlet圖。

圖1.2 非等速生長Voronoi晶粒交界線標準Voronoi相比于非等速生長Voronoi的另一個區別是：標準Voronoi生成的晶粒是全凸的，而非等速生長Voronoi生成的晶粒是凹的，如圖1.3所示。

插件介紹 CAD二維圖形Voronoi劃分插件V2.0版本可進行任意非曲邊多邊形的Voronoi劃分。 新增功能 插件的原有功能請查看：CAD二維圖形Voronoi劃分 V1.0 新版本添加多種不同的晶粒類型劃分模式。

幾何生成 采用CAD Voronoi3D插件在AutoCAD內直接生成三維Voronoi，其計算參數如下： 模型生成后刪除晶格部件，并對晶粒進行一步平滑處理： 新建外部圓柱體部件，并與晶粒進行差集操作，形成多孔骨架支撐結構，同時可查看各部分的體積（MASS命令），方便進行孔隙率的計算。這里的晶粒也可用作卵石形狀集料的堆積模型。

，而考慮擾動的模型較好地呈現了Voronoi圖的特征（圖2（a）（b））。

樣圖實例 可下載插件生成的模型樣圖，并進行其他軟件的導入測試及模擬（CAD 2010文件）。 CAD二維圖形Voronoi劃分 V3.0樣圖.zip

圖5 多晶體微觀結構兩種方法構建結果"voronoi"方法與"graingrowth"方法構建的幾何模型對比如圖6所示，從晶粒尺寸分布可以發現"graingrowth"方法構建的幾何模型“晶粒尺寸分布更廣”，從晶粒球形度分布可以發現"graingrowth"方法構建的幾何模型“晶粒球形度更高”。

函數命令，生成帶有拓撲信息且具有指定大小和晶粒數目的三維Voronoi多晶體示意圖。