Green應(yīng)變
關(guān)注創(chuàng)建者：匿名 創(chuàng)建時(shí)間：2021-08-17
Green應(yīng)變的視頻教程
張量分析與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（共36講）
課程介紹： 第一章：引論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1–5講） 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的研究對(duì)象與基本假設(shè) 基于坐標(biāo)變換的物理量描述方式 張量基本概念與階數(shù)分類(lèi) 張量變換規(guī)律與求導(dǎo)法則 常見(jiàn)張量算子（單位張量、對(duì)稱(chēng)張量、跡等） 第二章：運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)與變形描述（6–10講） 運(yùn)動(dòng)函數(shù)與構(gòu)型映射關(guān)系 位移場(chǎng)與速度場(chǎng)的定義 格林變形張量與右Cauchy-Green張量 應(yīng)變張量的種類(lèi)與物理意義 小變形與大變形應(yīng)變張量的對(duì)比分析
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Green應(yīng)變的實(shí)例教程
本筆記通過(guò)閱讀了Belytschko的“Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures”原版數(shù)的第三章，簡(jiǎn)要的推導(dǎo)了非線性有限元中的應(yīng)變度量：Green應(yīng)變張量和變形率張量，并導(dǎo)出了Green應(yīng)變率與變形率之間的關(guān)系。
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介紹了幾何非線性的簡(jiǎn)單的物理含義，并通過(guò)幾何非線性的懸臂梁Abaqus和iSolver的小應(yīng)變情況的結(jié)果，從直觀上理解幾何非線性和線性的差異。
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第十八篇：幾何非線性的應(yīng)變。首先從位移、變形和應(yīng)變的區(qū)別說(shuō)起，然后通過(guò)一維的簡(jiǎn)單例子具體介紹了幾何非線性下的應(yīng)變的度量方式，并給出了工程應(yīng)變、 真實(shí)應(yīng)變、Green應(yīng)變三者一維情況下在數(shù)學(xué)上的表達(dá)方式。
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展開(kāi) 本章將就最基本的應(yīng)變介紹一下他們的轉(zhuǎn)換關(guān)系的理論，同時(shí)采用Abaqus的一個(gè)簡(jiǎn)單的算例來(lái)驗(yàn)證他們的轉(zhuǎn)換關(guān)系。
無(wú)論是T.L.還是U.L.，同一個(gè)物理量只是表達(dá)式不同，但在同一時(shí)刻下的數(shù)值肯定是一樣的，應(yīng)變能也不例外，所以：
這個(gè)等式說(shuō)明T.L.和U.L.是可以通過(guò)各自應(yīng)力和應(yīng)變量的轉(zhuǎn)換而相互等價(jià)，最終都能得到正確解。區(qū)別在于選取的應(yīng)變和應(yīng)力度量和試驗(yàn)怎么方便的對(duì)應(yīng)，有限元中應(yīng)變度量本身就是人為選取的，由位移總能得到各種應(yīng)變的度量結(jié)果，具體可看前面系列文章18：幾何非線性的應(yīng)變。但材料的各種試驗(yàn)參數(shù)是真實(shí)的，必須通過(guò)試驗(yàn)得到，而試驗(yàn)中可測(cè)的量是有限的，有限元計(jì)算的應(yīng)變等人為度量量最終還是要和試驗(yàn)對(duì)比，從這方面考慮也是Abaqus內(nèi)部主要采用U.L.的原因。
1.1 T.L.和U.L.的物理量的轉(zhuǎn)換關(guān)系理論
T.L.和U.L.的轉(zhuǎn)換關(guān)系主要包括三個(gè)物理量的轉(zhuǎn)換：
1.1.1 應(yīng)變的轉(zhuǎn)換
（1）T.L.采用的應(yīng)變是Green應(yīng)變。
（2）U.L.中，在本系列文章27：Abaqus內(nèi)部計(jì)算和顯示的應(yīng)變中，我們提到了Abaqus大變形下后處理顯示的都是真實(shí)應(yīng)變，但實(shí)際計(jì)算時(shí)采用了對(duì)數(shù)應(yīng)變和變形率積分兩種應(yīng)變度量方式，而對(duì)數(shù)應(yīng)變和T.L.中的Green應(yīng)變沒(méi)有直接關(guān)系，只有變形率積分度量方式和Green應(yīng)變有直接關(guān)系。變形率積分應(yīng)變和Green應(yīng)變的關(guān)系如下：
1.1.2 應(yīng)力的轉(zhuǎn)換
（1） 在T.L.中，與Green應(yīng)變形成功共軛關(guān)系的是2nd PK力S。
（2） U.L.中，與變形率積分的應(yīng)變度量形成功共軛關(guān)系的是真實(shí)應(yīng)力，也就是Cauchy力。
展開(kāi) 典型物理量：Green應(yīng)變。
注：Green應(yīng)變也稱(chēng)為Green-Lagrange 應(yīng)變，猜測(cè)可能就是因?yàn)槭荓agrange描述的原因。
1.2.2 Eulerian描述
第二種：表示為x的函數(shù)：y=f(x)。此時(shí)我們稱(chēng)為Eulerian（Eulerian英文名后面統(tǒng)一簡(jiǎn)稱(chēng)為E）坐標(biāo)描述方法。典型物理量：真實(shí)應(yīng)變。
1.2.3 兩種描述分析
這兩者表述的是同一個(gè)模型，舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，譬如材料點(diǎn)隨時(shí)間t的運(yùn)動(dòng)為x=2*X*t。那么在坐標(biāo)系O下，在t時(shí)刻的速度的Lagrangian和Eulerian描述方法分別為：
v(X)=2*X和v(x)=2*x/2t=x/t
這兩種描述方法都是相對(duì)同一坐標(biāo)系O的物理量的表示方法，那么得到的數(shù)值結(jié)果完全一致，只不過(guò)寫(xiě)成函數(shù)的時(shí)候自變量不一致一樣。
1.3 網(wǎng)格的Lagrangian和Eulerian描述
在講T.L.和U.L.之前，我們先解釋一下L.代表的Lagrangian網(wǎng)格的含義。前面所述物理量的坐標(biāo)描述也有L和E之分，網(wǎng)格也有L和E之分。這兩者是不同的概念。在L和E網(wǎng)格定義中，表示的是兩種網(wǎng)格隨時(shí)間變化的位置定位方式，而物理量的坐標(biāo)描述僅僅是變量的表示方式，這兩者沒(méi)有直接關(guān)系。為了說(shuō)明L和E網(wǎng)格的區(qū)別，舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，譬如二維平面的運(yùn)動(dòng)如下：x=X+tY, y=Y，那么一個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)后的變形為一個(gè)平行四邊形，具體的材料點(diǎn)a(在全局坐標(biāo)系O中坐標(biāo)為X，Y)變形后為A（在O中坐標(biāo)為x，y）。
網(wǎng)格主要由節(jié)點(diǎn)組成，而節(jié)點(diǎn)在全局空間O中的坐標(biāo)決定了網(wǎng)格的形狀。
展開(kāi) 一種選擇是應(yīng)變取從初始時(shí)刻到最終時(shí)刻點(diǎn)這段時(shí)間的累加，顯然，這種選擇就與材料點(diǎn)在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)的變形路徑有關(guān)。
問(wèn)題：那么從上圖的X到最終的x，我們?nèi)∧膫€(gè)路徑呢？
答：取真實(shí)的路徑。
實(shí)際情況是什么路徑，就應(yīng)該取什么路徑，此時(shí)在真實(shí)路徑下得到的應(yīng)變就是真實(shí)應(yīng)變。當(dāng)然真實(shí)路徑不一定總是直接從X直線到x點(diǎn)的，譬如下方
(1) 如果受力是FA，那么的確是X直線到x點(diǎn)A路徑；
(2) 但如果是受力FB，那么可能是路徑B，只不過(guò)試驗(yàn)上總是采用FA來(lái)做拉伸實(shí)驗(yàn)罷了。
在路徑A下，可以得到
也就是真實(shí)應(yīng)變和拉伸率的對(duì)數(shù)相等，這也是為什么真實(shí)應(yīng)變也稱(chēng)為對(duì)數(shù)或者自然應(yīng)變的原因。
1.4.3 Green應(yīng)變
真實(shí)應(yīng)變在一維下很容易計(jì)算，但是在三維情況下，Strain和F相關(guān)，上面的積分就沒(méi)法直接求了，只能得到一個(gè)類(lèi)似
這種表達(dá)式求積分，時(shí)間的度量由增量來(lái)表示，真實(shí)應(yīng)變由應(yīng)變增量累加得到。因此，在計(jì)算機(jī)中每次求真實(shí)應(yīng)變必須花費(fèi)大量時(shí)間。
注：實(shí)際中有限元的幾何非線性求應(yīng)變增量需要計(jì)算局部模態(tài)，而模態(tài)分析的求解時(shí)間成本很大。
一般情況只能老老實(shí)實(shí)積分計(jì)算，但對(duì)大位移大轉(zhuǎn)動(dòng)小應(yīng)變的特殊情況，發(fā)現(xiàn)應(yīng)變如果取為Green應(yīng)變，計(jì)算精度不受影響，同時(shí)，三維的應(yīng)變也可以簡(jiǎn)單的表示出來(lái)。所以對(duì)小應(yīng)變情況，可以采用Green應(yīng)變，一維形式如下：
Strain=0.5（r^2-1）
1.5 殼的應(yīng)變度量
如果是殼單元，那么用的是局部坐標(biāo)系，假設(shè)為L(zhǎng)坐標(biāo)系，初始構(gòu)型下存在坐標(biāo)系變換dX=F2*dL。
展開(kāi) 
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Green應(yīng)變的最新內(nèi)容
（2）U.L.中，在本系列文章27：Abaqus內(nèi)部計(jì)算和顯示的應(yīng)變中，我們提到了Abaqus大變形下后處理顯示的都是真實(shí)應(yīng)變，但實(shí)際計(jì)算時(shí)采用了對(duì)數(shù)應(yīng)變和變形率積分兩種應(yīng)變度量方式，而對(duì)數(shù)應(yīng)變和T.L.中的Green應(yīng)變沒(méi)有直接關(guān)系，只有變形率積分度量方式和Green應(yīng)變有直接關(guān)系。
典型物理量：Green應(yīng)變。
注：Green應(yīng)變也稱(chēng)為Green-Lagrange 應(yīng)變，猜測(cè)可能就是因?yàn)槭荓agrange描述的原因。
1.2.2 Eulerian描述
第二種：表示為x的函數(shù)：y=f(x)。此時(shí)我們稱(chēng)為Eulerian（Eulerian英文名后面統(tǒng)一簡(jiǎn)稱(chēng)為E）坐標(biāo)描述方法。典型物理量：真實(shí)應(yīng)變。
系列文章18：幾何非線性的應(yīng)變中，我們提到了幾何非線性常用的三種應(yīng)變：工程應(yīng)變、Green應(yīng)變、對(duì)數(shù)應(yīng)變，其中工程應(yīng)變和Green應(yīng)變分別用于線性和小應(yīng)變情況，對(duì)數(shù)應(yīng)變用于幾何大應(yīng)變情況，那么在Abaqus的幾何大應(yīng)變中，是否真的就簡(jiǎn)單的采用了對(duì)數(shù)應(yīng)變呢？Abaqus后處理顯示的應(yīng)變和計(jì)算的應(yīng)變是一樣的嗎？
首先從位移、變形和應(yīng)變的區(qū)別說(shuō)起，然后通過(guò)一維的簡(jiǎn)單例子具體介紹了幾何非線性下的應(yīng)變的度量方式，并給出了工程應(yīng)變、 真實(shí)應(yīng)變、Green應(yīng)變三者一維情況下在數(shù)學(xué)上的表達(dá)方式。
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第十九篇：Abaqus幾何非線性的設(shè)置和后臺(tái)。
首先從位移、變形和應(yīng)變的區(qū)別說(shuō)起，然后通過(guò)一維的簡(jiǎn)單例子具體介紹了幾何非線性下的應(yīng)變的度量方式，并給出了工程應(yīng)變、 真實(shí)應(yīng)變、Green應(yīng)變三者一維情況下在數(shù)學(xué)上的表達(dá)方式。
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首先從位移、變形和應(yīng)變的區(qū)別說(shuō)起，然后通過(guò)一維的簡(jiǎn)單例子具體介紹了幾何非線性下的應(yīng)變的度量方式，并給出了工程應(yīng)變、 真實(shí)應(yīng)變、Green應(yīng)變三者一維情況下在數(shù)學(xué)上的表達(dá)方式。
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首先從位移、變形和應(yīng)變的區(qū)別說(shuō)起，然后通過(guò)一維的簡(jiǎn)單例子具體介紹了幾何非線性下的應(yīng)變的度量方式，并給出了工程應(yīng)變、 真實(shí)應(yīng)變、Green應(yīng)變三者一維情況下在數(shù)學(xué)上的表達(dá)方式。
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第十九篇：Abaqus幾何非線性的設(shè)置和后臺(tái)。
首先從位移、變形和應(yīng)變的區(qū)別說(shuō)起，然后通過(guò)一維的簡(jiǎn)單例子具體介紹了幾何非線性下的應(yīng)變的度量方式，并給出了工程應(yīng)變、 真實(shí)應(yīng)變、Green應(yīng)變三者一維情況下在數(shù)學(xué)上的表達(dá)方式。
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第十九篇：Abaqus幾何非線性的設(shè)置和后臺(tái)。
1.1 幾何非線性分類(lèi)
上一章中介紹的三種常用應(yīng)變是：
（1） 工程應(yīng)變：用于線性問(wèn)題
（2） 真實(shí)應(yīng)變：應(yīng)用于所有真實(shí)的幾何非線性問(wèn)題
（3） Green應(yīng)變：用于幾何非線性中的大位移、大轉(zhuǎn)動(dòng)、小應(yīng)變的特殊幾何非線性問(wèn)題。因?yàn)?em>Green應(yīng)變計(jì)算量比真實(shí)應(yīng)變簡(jiǎn)單。
一般情況只能老老實(shí)實(shí)積分計(jì)算，但對(duì)大位移大轉(zhuǎn)動(dòng)小應(yīng)變的特殊情況，發(fā)現(xiàn)應(yīng)變如果取為Green應(yīng)變，計(jì)算精度不受影響，同時(shí)，三維的應(yīng)變也可以簡(jiǎn)單的表示出來(lái)。
