微分方程的案例
CAE系列之2—用常微分方程來表達客觀規律
對于微元的規律分析，一般可以得到微分方程。這種微分方程對于復雜結構的任何一點都滿足。要得到某實際物體的宏觀規律，則需要對該微分方程積分，而這種積分是不定積分，必然含有待定系數。這些待定系數則是由該物體與外界發生關系，被外物所約束來確定的。
微元分析法，從哲學的角度而言，意味著一個連續體的內部相似性。正是因為這種連續性，導致可以使用數學的微分方式來進行分析。從這個層面來說，只要物體是連續的，那么我們就可以取微元來研究其規律。然后使用高等數學的微積分的方式來得到其宏觀規律。由于每一客觀物體都有空間的廣延性，從而具有連續性，從而可微，可以對微段分析來列微分方程。這就是為什么微元分析法具有如此廣泛應用的原因所在。
來源：宋博士的博客，版權歸作者所有。
展開 加權余量法之微分方程的等效積分形式
微分方程的等效積分形式
已知：微分方程組
?。?）
且，
應滿足邊界條件：
（2）
表示對獨立變量（時間，空間）的微分算子
即：
因此有：
（3）
這里 ,表示函數向量，它是一組與微分方程個數相等的函數。
*（3）式是微分方程組（1）完全等效的積分形式。
同樣，在邊界上：
（4）
結合（3）式和（4）式：
?。?）
則（5）式是等效于滿足微分方程（1）和邊界條件（2）的積分形式。當然（5）
必須是可積的。
展開 單位脈沖函數及卷積（杜哈梅積分）——從常微分方程的解出發理解
另一方面，在結構動力學中，單自由度系統的振動微分方程起著至關重要的作用，可以說是理解結構動力學的基石。在這門學科中，比較注重方程的解，相關理解也很具象和容易。本文擬從二階常系數微分方程的解出發，深入理解卷積的內涵。
-----LTI系統響應的分類-----
傳統來說，LTI系統常微分方程的解為齊次解和特解之和。除此之外，還可以將方程的解形式上分為零狀態解和零輸入解，它們的意義分別為（鄭君里P60）：
鄭君里P63指出：
而疊加性和均勻性非常重要。
鄭君里P62給出了一個一階微分方程的解按齊次/非齊次、零狀態/零輸入分類的例子，為理解方便起見，我在其中略有備注：
-----二階方程的解：杜哈梅積分（卷積）-----
對于結構動力學中經典的彈簧振子系統，其具有二階微分方程：
直接求解該方程的完全解是很難的，只能寫出其齊次通解（王新敏P46式3-10），該通解的系數由初始條件決定：
杜哈梅解決了這個問題（我猜他這么解決的），并發展出了結構動力學中的杜哈梅積分，其實就是卷積。我們不妨以觀棋者的視角來理解下這個思路：由前所知，LTI系統的零狀態解是可疊加的，那么不妨認為該方程的解可以由無數個特定的零狀態解疊加而成。如果將F(t)當成成無數個單位脈沖激勵的疊加，那么只要求出方程在單位脈沖激勵下的零狀態解，就可以按照一定方式將它們加起來（積分）即可。單位脈沖激勵下的零狀態方程為（王新敏P206）：
然而，要求出該方程的解仍然是困難的，其實難度沒變，只是現在激勵變成單位脈沖激勵了，性質上仍然是求二階非齊次常微分方程。好在現在有兩個有利條件：1）由前述可知，方程的零輸入解只需要將初始條件代入齊次通解即可得到；2）最為關鍵的是，單位脈沖的特性允許我們將該方程改造成零輸入（非零狀態）方程。
展開 申請兌換《微分方程及邊值問題計算與模型（第3版）》
《微分方程及邊值問題計算與模型（第3版）》
作者：（美）愛德華茲（Edwards,C.H.）,（美）彭尼（Penney,D.E.） 編著
出版社：清華大學出版社
出版日期：2004-12-1
CAEnet價：￥79元
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ISBN：7302099782
印次：1
紙張：膠版紙
版次：1
內容提要：
本書以一些模型問題為背景，借助于數學軟件Maple，Mathematica 及MATLAB，利用符號運算、圖像表示和數值解法等手段，系統地介紹了（線性與非線性）微分方程的基本概念和基本方法。通過40多個實際模型的討論，使讀者對建模、求解、分析解所反映的性質這一過程進行全面的了解。利用Maple，Mathematica及MATLAB在圖形顯示、符號計算、數值計算方面的功能，定性地分析了微分方程解的性質，700余幅圖將方向場、解曲線、相平面等概念形象直觀地表示出來。另外，書中選配了1900余道習題供讀者使用。
本書可供學習數學建?；?em>微分方程的學生作為參考書，對于從事計算與建模的科技人員，本書也具有很高的價值。
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微分方程及邊值問題計算與模型（第3版
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微分方程及邊值問題計算與模型（第3版）
作者：（美）愛德華茲（Edwards,C.H.）,（美）彭尼（Penney,D.E.） 編著
出版社：清華大學出版社
ISBN：7302099782
印次：1
紙張：膠版紙
出版日期：2004-12-1
版次：1
定價：79元 當當價：63.2元
折扣：80折 鉆石VIP價：63.20元
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內容提要：
本書以一些模型問題為背景，借助于數學軟件Maple，Mathematica 及MATLAB，利用符號運算、圖像表示和數值解法等手段，系統地介紹了（線性與非線性）微分方程的基本概念和基本方法。通過40多個實際模型的討論，使讀者對建模、求解、分析解所反映的性質這一過程進行全面的了解。利用Maple，Mathematica及MATLAB在圖形顯示、符號計算、數值計算方面的功能，定性地分析了微分方程解的性質，700余幅圖將方向場、解曲線、相平面等概念形象直觀地表示出來。另外，書中選配了1900余道習題供讀者使用。
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展開 [轉貼] 非線性微分方程的求解
[轉貼] 非線性微分方程的求解
下面是單自由度的非線性微分方程的求解程序（分段函數）。多自由度的正在努力中，希望能和大家多多交流！
《微分方程及邊值問題計算與模型（第3版）》
ISBN：7302099782
印次：1
紙張：膠版紙
版次：1
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展開 求軌道、軌道板振動微分方程matlab求解位移程序代碼
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解矩陣微分方程組一例
摘要：方程組形式
有一個二階微分方程組：
[M]{D2X}+[K]{X}={0}
[M]--為對角矩陣n×n
[k]--為對稱矩陣n×n
程序：
% 有一個二階微分方程組：
% [M]{D2X}+[K]{X}={0}
% [M]--為對角矩陣n×n
% [k]--為對稱矩陣n×n
clear;clc;close all;
n=5;
rand('state',0);
% \copyright: zjliu
% Author's email: zjliu2001@163.com
M=rand(n);
K=rand(n);
Df=inline('[x(n+1:end,1);-inv(M)*K*x(1:n,1)]',...
't','x','flag','n','M','K');
[t,x]=ode45(Df,[0,10],rand(n,1),[],n,M,K);
plot(t,x(:,1:n));
for k=1:n;
eval(['Le',num2str(k),'=[''X',num2str(k),'''];']);
end
ss='Le1';
for k=2:n;
ss=[ss,',Le',num2str(k)];
end
eval(['legend(',ss,',0);']);
感謝蘿卜網友
展開 如何采用simulink求解常微分方程組
通常來說，求解一個系統的話采用常微分方程組去做。前面也有采用scipy進行了常微分方程組的求解簡單介紹，當然需要用到Python。其實完全可以不用任何代碼，只用一些simulink模塊以搭積木的形式完成這個過程，而且還會方便很多。下面就介紹一下相關的方法。
所用到的核心模塊其實就是integrate模塊，只需要啟動matlab打開simulink然后脫出一個該模塊就可以了。
首先以如下方程為例，假設初始值為0，求解區間為【0-10】
采用如下的方式搭建
simulink中的模塊求解的結果
當然這個有點簡單，來一個稍微復雜一點的
計算過程的模塊搭建如下
simulink中的模塊
計算結果如下
simulink中求解結果
當然完全完全可以求解更加復雜的問題，比如以下面的一個方程組為例
那么他的搭建模塊如下所示
方程組越大，則模塊會越復雜，一般可以把一部分單獨拿出來做一些封裝，然后把這個作為自己的模塊老使用，作為演示，我這里也有一個例子，就是pemfc燃料電池的例子，方程組的關系如下。
pemfc的系統所用到的方程
那么對應的模塊搭建如下，可見對于較大的模型搭建還是比較難得
展開 常微分方程與振動基本理論
常微分方程與振動基本理論
matlab 微分方程求解
想求解一個微分方程，用dsolve得到的結果是下邊這樣，看不懂，向各位大神求救！
syms v(z) a g L b
%a=1;g=1;L=1;b=1;
eqn=(diff(v,z)+g/v+b*v==a/(z*v*sqrt(L^2+z^2)));
dsolve(eqn)
ans =
(exp(-2*b*z)*(C1 + 2*int(-exp(2*b*z)*(g - a/(z*(L^2 + z^2)^(1/2))), z, 'IgnoreSpecialCases', true, 'IgnoreAnalyticConstraints', true)))^(1/2)
-(exp(-2*b*z)*(C1 + 2*int(-exp(2*b*z)*(g - a/(z*(L^2 + z^2)^(1/2))), z, 'IgnoreSpecialCases', true, 'IgnoreAnalyticConstraints', true)))^(1/2)
展開 伽遼金有限元求解微分方程 -- C語言實現 ￥4.5
寫出微分方程的弱解積分形式。
2. 進行分布積分法。
3. 網格劃分。
4. 生成系數矩陣和方程組的右端項。
5. 進行方程組的求解。
6. 求解出節點上的U值。
二分法+打靶法解微分方程
方程是：
diff(s,2)+2*diff(s,1)=m*s*exp(-n*r)+h*s,
where diff is a difference for r.
邊界條件:
r=0,ds/dr=0
r=R,s=5
程序：
% 二分法+打靶法解微分方程
% 方程:
% diff(s,2)+2*diff(s,1)=m*s*exp(-n*r)+h*s,
% where diff is a difference for r.
% 邊界條件:
%
% r=0,ds/dr=0
% r=R,s=5
clc;clear;close all;
m=1;
n=1;
% \copyright: zjliu
% Author's email: zjliu2001@163.com
h=1;
R=5;
fun=inline('[s(2);m*s(1)*exp(-n*r)+h*s(1)-2*s(2)/r]',...
展開 Python 采用伽遼金有限元法求解微分方程 ￥6.66
==>其實一開始我把微分方程是修改成這樣的。
==> 然后沒有采用分部積分這一過程，就直接求解了，然后發生了一個天大的笑話，求解結果如下所示：
==> hhahahahahahahahahaha。 太他媽的尷尬了。
==> 下面是Python求解實現過程。
