微分提法
關(guān)注創(chuàng)建者：每周小確幸 創(chuàng)建時(shí)間：2021-01-02
微分提法的實(shí)例教程
早年學(xué)習(xí)彈性力學(xué)，作者深受如下陳述的影響：彈性力學(xué)的基本問題有兩種提法，一是微分提法，二是變分提法。后來，作者自己成了教師和學(xué)者，對(duì)兩種提法有了更深刻的理解：微分提法體現(xiàn)了牛頓和萊布尼茲的局部化數(shù)理分析思想，而變分提法則體現(xiàn)了歐拉和拉格朗日的整體化數(shù)理分析思想。
由此，作者樹立起了牢固的觀念：微分是局部性概念，變分是整體性概念；
微分被定義在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)，變分被定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上；微分提法對(duì)應(yīng)局部化數(shù)理分析之路，變分提法對(duì)應(yīng)整體化數(shù)理分析之路。
從力學(xué)的角度看，上述觀念似乎經(jīng)得起時(shí)間考驗(yàn)。場(chǎng)函數(shù)的微分，涉及空間域上“點(diǎn)的鄰域” 內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的增量。“點(diǎn)的鄰域” 當(dāng)然是局部性概念。彈性力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)微分方程，建立在微單元體上。微單元體是“點(diǎn)的鄰域” 的幾何化形態(tài)，自然是局部性概念。
泛函的變分，是定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上的泛函的增量。彈性力學(xué)有最小勢(shì)能原理和最小余能原理。兩個(gè)原理分別涉及勢(shì)能泛函的變分和余能泛函的變分。勢(shì)能泛函和余能泛函都表現(xiàn)為物質(zhì)構(gòu)型空間上的積分。物質(zhì)構(gòu)型空間是整體性的概念，泛函自然也是整體性概念。
分析力學(xué)有最小作用量原理。克萊恩在他的名著《古今數(shù)學(xué)思想》中指出：“變分學(xué)的早期工作幾乎不能和微積分區(qū)分開來。但是，隨著變分法的深化，牛頓之后的偉大先驅(qū)們很快意識(shí)到：一個(gè)全新的、具有自己的特征問題和方法論的數(shù)學(xué)分支已經(jīng)產(chǎn)生了。”“這個(gè)新學(xué)科，對(duì)于數(shù)學(xué)和科學(xué)來說，其重要性幾乎可以和微分方程相比，它為整個(gè)數(shù)學(xué)物理提供了一個(gè)最重要的原理。” 這個(gè)“最重要的原理”，即最小作用量原理。
作用量一般表現(xiàn)為時(shí)間段上的積分。當(dāng)說“作用量的變分” 時(shí)，研究的是定義在時(shí)間段上的作用量的增量。時(shí)間段是整體性的概念，作用量當(dāng)然也是整體性的概念。
很顯然，先驅(qū)們思考變分學(xué)的角度，著眼于整體。
展開 0.4 材料學(xué)科的迅速發(fā)展對(duì)固體力學(xué)提出的挑戰(zhàn)
0.5 內(nèi)容概述
第一章 應(yīng)力理論
1.1 外力與應(yīng)力
1.2 張量理論初步
1.3 平衡微分方程和剪應(yīng)力互等定律
1.4 任意斜面上的應(yīng)用力和應(yīng)力邊界條件
1.5 應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式
1.6 主應(yīng)力和應(yīng)力不變量
1.7 球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量
1.8 最大剪應(yīng)力和八面體剪應(yīng)力
1.9 應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力圓
1.10 柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量和平衡微分方程
習(xí)題
第二章 應(yīng)變理論
2.1 位移和應(yīng)變
2.2 應(yīng)變張量的性質(zhì)
2.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程
2.4 由應(yīng)變求位移
2.5 柱面和球面坐標(biāo)系中的幾何方程
習(xí)題
第三章 彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解
3.1 廣義虎克定律
3.2 應(yīng)變能與應(yīng)變余能
3.3 虛功原理和最小勢(shì)能原理
3.4 功的互等定理
3.5 里茨法和伽遼金法
3.6 彈性力學(xué)問題的微分提法
3.7 位移解法
3.8 應(yīng)力解法
3.9 應(yīng)力函數(shù)解法
3.10 疊加原理
3.11 解的唯一性定理
3.12 圣維南原理
第四章 彈性平面問題
4.1 平面問題及其分類
4.2 平面問題的求解
4.3 用直角坐標(biāo)解平面問題
4.4 極坐標(biāo)中的平面問題
4.5 平面問題的復(fù)變函數(shù)解法
4.6 保角變換解法
習(xí)題
第五章 屈服準(zhǔn)則和塑性本構(gòu)關(guān)系
5.1 屈服條件
5.2 兩個(gè)常用的屈服準(zhǔn)則
5.3 彈塑性應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)及幾種理想模型
5.4 加卸載條件和加載曲面
5.5 本構(gòu)關(guān)系的增量理論
5.6 簡(jiǎn)單和載時(shí)的全量理論
5.7 簡(jiǎn)單彈塑性問題
習(xí)題
第六章 塑性平面應(yīng)變問題和極限分析
6.1 剛塑性平面應(yīng)變問題的基本特點(diǎn)和基本方程
6.2 應(yīng)力方程的特征戰(zhàn)
6.3 特征線（滑移線）的基本性質(zhì)
6.4 簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)
6.5 邊界條件
6.6 用滑移線場(chǎng)理論求解塑性極限載荷的例題
……
參考文獻(xiàn)
主題索引
部分習(xí)題參考答案
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0.5 內(nèi)容概述
第一章 應(yīng)力理論
1.1 外力和應(yīng)力
1.2 張量理論初步
1.3 平衡微分方程和剪應(yīng)力互等定律
1.4 任意斜面上的應(yīng)力和應(yīng)力邊界條件
1.5 應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式
1.6 主應(yīng)力和應(yīng)力不變量
……
第二章 應(yīng)變理論
2.1 位移和應(yīng)變
2.2 應(yīng)變張量的性質(zhì)
2.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程
2.4 由應(yīng)變求位移
2.5 柱面和球面坐標(biāo)系中的幾何方程
習(xí)題
第三章 彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解
3.1 廣義慮克定律
3.2 應(yīng)變能與應(yīng)變余能
3.3 虛功原理和最小勢(shì)能原理
3.4 功的互等定理
3.5 里茨法和伽遼金法
3.6 彈性力學(xué)問題的微分提法
……
第四章 彈性平面問題
4.1 平面問題及其分類
4.2 平面問題的求解
4.3 用直角坐標(biāo)解平面問題
4.4 極坐標(biāo)中的平面問題
4.5 平面問題的復(fù)變函數(shù)解法
4.6 保角變換解法
習(xí)題
第五章 屈服準(zhǔn)則和塑性本構(gòu)關(guān)系
5.1 屈服條件
5.2 兩個(gè)常用的屈服準(zhǔn)則
5.3 彈塑性應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)及幾種理想模型
5.4 加卸載條件和加載曲面
5.5 本構(gòu)關(guān)系的增量理論
5.6 簡(jiǎn)單加載時(shí)的全量理論
……
第六章 塑性平面應(yīng)變問題和極限分析
6.1 剛塑性平面應(yīng)變問題的基本特點(diǎn)和基本方程
6.2 應(yīng)力方程的特征線
6.3 特征線的基本性質(zhì)
6.4 簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)
6.5 邊界條件
6.6 用滑移線場(chǎng)理論求解塑性極限載荷的例題
……
參考文獻(xiàn)
主題索引
部分習(xí)題參考答案
下冊(cè)
序
前言
第一章 黏彈塑性本構(gòu)關(guān)系
第二章 均質(zhì)材料斷裂力學(xué)
第三章 應(yīng)變梯度理論及其應(yīng)用
第四章 熱應(yīng)力
第五章 激光誘導(dǎo)反沖塞效應(yīng)
第六章 顆粒增強(qiáng)金屬基復(fù)合材料的激光熱沖擊與熱疲勞破壞效應(yīng)
參考文獻(xiàn)
主題索引
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第一章 應(yīng)力理論
1.1 外力與應(yīng)力
1.2 張量理論初步
1.3 平衡微分方程和剪應(yīng)力互等定律
1.4 任意斜面上的應(yīng)用力和應(yīng)力邊界條件
1.5 應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式
1.6 主應(yīng)力和應(yīng)力不變量
1.7 球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量
1.8 最大剪應(yīng)力和八面體剪應(yīng)力
1.9 應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力圓
1.10 柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量和平衡微分方程
習(xí)題
第二章 應(yīng)變理論
2.1 位移和應(yīng)變
2.2 應(yīng)變張量的性質(zhì)
2.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程
2.4 由應(yīng)變求位移
2.5 柱面和球面坐標(biāo)系中的幾何方程
習(xí)題
第三章 彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解
3.1 廣義虎克定律
3.2 應(yīng)變能與應(yīng)變余能
3.3 虛功原理和最小勢(shì)能原理
3.4 功的互等定理
3.5 里茨法和伽遼金法
3.6 彈性力學(xué)問題的微分提法
3.7 位移解法
3.8 應(yīng)力解法
3.9 應(yīng)力函數(shù)解法
3.10 疊加原理
3.11 解的唯一性定理
3.12 圣維南原理
第四章 彈性平面問題
4.1 平面問題及其分類
4.2 平面問題的求解
4.3 用直角坐標(biāo)解平面問題
4.4 極坐標(biāo)中的平面問題
4.5 平面問題的復(fù)變函數(shù)解法
4.6 保角變換解法
習(xí)題
第五章 屈服準(zhǔn)則和塑性本構(gòu)關(guān)系
5.1 屈服條件
5.2 兩個(gè)常用的屈服準(zhǔn)則
5.3 彈塑性應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)及幾種理想模型
5.4 加卸載條件和加載曲面
5.5 本構(gòu)關(guān)系的增量理論
5.6 簡(jiǎn)單和載時(shí)的全量理論
5.7 簡(jiǎn)單彈塑性問題
習(xí)題
第六章 塑性平面應(yīng)變問題和極限分析
6.1 剛塑性平面應(yīng)變問題的基本特點(diǎn)和基本方程
6.2 應(yīng)力方程的特征戰(zhàn)
6.3 特征線（滑移線）的基本性質(zhì)
6.4 簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)
6.5 邊界條件
6.6 用滑移線場(chǎng)理論求解塑性極限載荷的例題
……
參考文獻(xiàn)
主題索引
部分習(xí)題參考答案
展開 答：應(yīng)力：lim△Q/△A=S △A→0
應(yīng)變：物體形狀的改變
位移：彈性體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置的變化
10、 問題的微分方程提法、等效積分提法和泛函變分提法之間有何關(guān)系？何謂“強(qiáng)形式”？何謂“弱形式”，兩者有何區(qū)別？建立弱形式的關(guān)鍵步驟是什么？
答：強(qiáng)弱的區(qū)分在于是否完全滿足物理模型的條件。所謂強(qiáng)形式，是指由于物理模型的復(fù)雜性，各種邊界條件的限制，使得對(duì)于所提出的微分方程，對(duì)所需要求得的解的要求太強(qiáng)。也就是需要滿足的條件太復(fù)雜。比如不連續(xù)點(diǎn)的跳躍等等。將微分方程轉(zhuǎn)化為弱形式就是弱化對(duì)方程解的要求。不拘泥于個(gè)別特殊點(diǎn)的要求，而放松為一段有限段上需要滿足的條件，使解能夠以離散的形式存在。
11、 以平面微元體為例，考慮彈性力學(xué)基本假設(shè)，推導(dǎo)微分平衡方程。
12、 常見的彈性力學(xué)問題解法有哪幾類？各有何特點(diǎn)或局限？簡(jiǎn)述求解思路？
13、 何謂平面應(yīng)力問題？何謂平面應(yīng)變問題？應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)如何？如何判斷？舉例說
明？
答：平面應(yīng)力問題：作用于很薄的板上的載荷平行于板平面且沿厚度方向均勻分布，而在兩板面上無外力作用
平面應(yīng)變問題：長(zhǎng)柱體的橫截面沿長(zhǎng)度方向不變，作用于長(zhǎng)柱體結(jié)構(gòu)上的載荷平行于橫截面且沿縱向方向均與分布，兩端面不受力。
14、 何謂軸對(duì)稱問題？如何判斷？推導(dǎo)極坐標(biāo)下的平衡方程和幾何方程。
答：軸對(duì)稱：幾何形狀、約束情況及所受的外力都對(duì)稱于空間的某一跟軸，則通過該軸的任何平面都是物體的對(duì)稱面，物體內(nèi)的所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都關(guān)于該軸對(duì)稱。
15、 何謂虛位移原理？推導(dǎo)彈性體虛功方程的矩陣形式，并寫出軸對(duì)稱問題的虛功方
程。
16、 什么叫外力勢(shì)能？什么叫應(yīng)變能？簡(jiǎn)述勢(shì)能變分原理。試問勢(shì)能變分原理代表了彈
性力學(xué)的那些方程？同時(shí)，附加了什么條件？
17、 在三維彈性體中，若系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)位移變分為零。
展開 
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早年學(xué)習(xí)彈性力學(xué)，作者深受如下陳述的影響：彈性力學(xué)的基本問題有兩種提法，一是微分提法，二是變分提法。后來，作者自己成了教師和學(xué)者，對(duì)兩種提法有了更深刻的理解：微分提法體現(xiàn)了牛頓和萊布尼茲的局部化數(shù)理分析思想，而變分提法則體現(xiàn)了歐拉和拉格朗日的整體化數(shù)理分析思想。
答：應(yīng)力：lim△Q/△A=S △A→0
應(yīng)變：物體形狀的改變
位移：彈性體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置的變化
10、 問題的微分方程提法、等效積分提法和泛函變分提法之間有何關(guān)系？何謂“強(qiáng)形式”？何謂“弱形式”，兩者有何區(qū)別？建立弱形式的關(guān)鍵步驟是什么？
答：強(qiáng)弱的區(qū)分在于是否完全滿足物理模型的條件。
1.6 主應(yīng)力和應(yīng)力不變量
……
第二章 應(yīng)變理論
2.1 位移和應(yīng)變
2.2 應(yīng)變張量的性質(zhì)
2.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程
2.4 由應(yīng)變求位移
2.5 柱面和球面坐標(biāo)系中的幾何方程
習(xí)題
第三章 彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解
3.1 廣義慮克定律
3.2 應(yīng)變能與應(yīng)變余能
3.3 虛功原理和最小勢(shì)能原理
3.4 功的互等定理
3.5 里茨法和伽遼金法
3.6 彈性力學(xué)問題的微分提法
1.10 柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量和平衡微分方程
習(xí)題
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2.1 位移和應(yīng)變
2.2 應(yīng)變張量的性質(zhì)
2.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程
2.4 由應(yīng)變求位移
2.5 柱面和球面坐標(biāo)系中的幾何方程
習(xí)題
第三章 彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解
3.1 廣義虎克定律
3.2 應(yīng)變能與應(yīng)變余能
3.3 虛功原理和最小勢(shì)能原理
3.4 功的互等定理
3.5 里茨法和伽遼金法
3.6 彈性力學(xué)問題的微分提法
1.10 柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量和平衡微分方程
習(xí)題
第二章 應(yīng)變理論
2.1 位移和應(yīng)變
2.2 應(yīng)變張量的性質(zhì)
2.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程
2.4 由應(yīng)變求位移
2.5 柱面和球面坐標(biāo)系中的幾何方程
習(xí)題
第三章 彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解
3.1 廣義虎克定律
3.2 應(yīng)變能與應(yīng)變余能
3.3 虛功原理和最小勢(shì)能原理
3.4 功的互等定理
3.5 里茨法和伽遼金法
3.6 彈性力學(xué)問題的微分提法
