微分提法的案例
張量變分學的基本概念及其定義 附變分學講義張恭慶下載
早年學習彈性力學，作者深受如下陳述的影響：彈性力學的基本問題有兩種提法，一是微分提法，二是變分提法。后來，作者自己成了教師和學者，對兩種提法有了更深刻的理解：微分提法體現了牛頓和萊布尼茲的局部化數理分析思想，而變分提法則體現了歐拉和拉格朗日的整體化數理分析思想。
由此，作者樹立起了牢固的觀念：微分是局部性概念，變分是整體性概念；
微分被定義在一個點的鄰域內，變分被定義在物質構型空間上；微分提法對應局部化數理分析之路，變分提法對應整體化數理分析之路。
從力學的角度看，上述觀念似乎經得起時間考驗。場函數的微分，涉及空間域上“點的鄰域” 內場函數的增量。“點的鄰域” 當然是局部性概念。彈性力學中的運動微分方程，建立在微單元體上。微單元體是“點的鄰域” 的幾何化形態，自然是局部性概念。
泛函的變分，是定義在物質構型空間上的泛函的增量。彈性力學有最小勢能原理和最小余能原理。兩個原理分別涉及勢能泛函的變分和余能泛函的變分。勢能泛函和余能泛函都表現為物質構型空間上的積分。物質構型空間是整體性的概念，泛函自然也是整體性概念。
分析力學有最小作用量原理。克萊恩在他的名著《古今數學思想》中指出：“變分學的早期工作幾乎不能和微積分區分開來。但是，隨著變分法的深化，牛頓之后的偉大先驅們很快意識到：一個全新的、具有自己的特征問題和方法論的數學分支已經產生了。”“這個新學科，對于數學和科學來說，其重要性幾乎可以和微分方程相比，它為整個數學物理提供了一個最重要的原理。” 這個“最重要的原理”，即最小作用量原理。
作用量一般表現為時間段上的積分。當說“作用量的變分” 時，研究的是定義在時間段上的作用量的增量。時間段是整體性的概念，作用量當然也是整體性的概念。
很顯然，先驅們思考變分學的角度，著眼于整體。
展開 《材料固體力學（上冊）》
0.4 材料學科的迅速發展對固體力學提出的挑戰
0.5 內容概述
第一章 應力理論
1.1 外力與應力
1.2 張量理論初步
1.3 平衡微分方程和剪應力互等定律
1.4 任意斜面上的應用力和應力邊界條件
1.5 應力分量轉換公式
1.6 主應力和應力不變量
1.7 球形應力張量和應力偏量張量
1.8 最大剪應力和八面體剪應力
1.9 應力狀態和應力圓
1.10 柱面坐標系和球面坐標系中的應力分量和平衡微分方程
習題
第二章 應變理論
2.1 位移和應變
2.2 應變張量的性質
2.3 應變協調方程
2.4 由應變求位移
2.5 柱面和球面坐標系中的幾何方程
習題
第三章 彈性本構關系和彈性問題的求解
3.1 廣義虎克定律
3.2 應變能與應變余能
3.3 虛功原理和最小勢能原理
3.4 功的互等定理
3.5 里茨法和伽遼金法
3.6 彈性力學問題的微分提法
3.7 位移解法
3.8 應力解法
3.9 應力函數解法
3.10 疊加原理
3.11 解的唯一性定理
3.12 圣維南原理
第四章 彈性平面問題
4.1 平面問題及其分類
4.2 平面問題的求解
4.3 用直角坐標解平面問題
4.4 極坐標中的平面問題
4.5 平面問題的復變函數解法
4.6 保角變換解法
習題
第五章 屈服準則和塑性本構關系
5.1 屈服條件
5.2 兩個常用的屈服準則
5.3 彈塑性應力—應變關系的特點及幾種理想模型
5.4 加卸載條件和加載曲面
5.5 本構關系的增量理論
5.6 簡單和載時的全量理論
5.7 簡單彈塑性問題
習題
第六章 塑性平面應變問題和極限分析
6.1 剛塑性平面應變問題的基本特點和基本方程
6.2 應力方程的特征戰
6.3 特征線（滑移線）的基本性質
6.4 簡單應力狀態
6.5 邊界條件
6.6 用滑移線場理論求解塑性極限載荷的例題
……
參考文獻
主題索引
部分習題參考答案
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0.4 材料學科的迅速發展對固體力學提出的挑戰
0.5 內容概述
第一章 應力理論
1.1 外力和應力
1.2 張量理論初步
1.3 平衡微分方程和剪應力互等定律
1.4 任意斜面上的應力和應力邊界條件
1.5 應力分量轉換公式
1.6 主應力和應力不變量
……
第二章 應變理論
2.1 位移和應變
2.2 應變張量的性質
2.3 應變協調方程
2.4 由應變求位移
2.5 柱面和球面坐標系中的幾何方程
習題
第三章 彈性本構關系和彈性問題的求解
3.1 廣義慮克定律
3.2 應變能與應變余能
3.3 虛功原理和最小勢能原理
3.4 功的互等定理
3.5 里茨法和伽遼金法
3.6 彈性力學問題的微分提法
……
第四章 彈性平面問題
4.1 平面問題及其分類
4.2 平面問題的求解
4.3 用直角坐標解平面問題
4.4 極坐標中的平面問題
4.5 平面問題的復變函數解法
4.6 保角變換解法
習題
第五章 屈服準則和塑性本構關系
5.1 屈服條件
5.2 兩個常用的屈服準則
5.3 彈塑性應力－應變關系的特點及幾種理想模型
5.4 加卸載條件和加載曲面
5.5 本構關系的增量理論
5.6 簡單加載時的全量理論
……
第六章 塑性平面應變問題和極限分析
6.1 剛塑性平面應變問題的基本特點和基本方程
6.2 應力方程的特征線
6.3 特征線的基本性質
6.4 簡單應力狀態
6.5 邊界條件
6.6 用滑移線場理論求解塑性極限載荷的例題
……
參考文獻
主題索引
部分習題參考答案
下冊
序
前言
第一章 黏彈塑性本構關系
第二章 均質材料斷裂力學
第三章 應變梯度理論及其應用
第四章 熱應力
第五章 激光誘導反沖塞效應
第六章 顆粒增強金屬基復合材料的激光熱沖擊與熱疲勞破壞效應
參考文獻
主題索引
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0.4 材料學科的迅速發展對固體力學提出的挑戰
0.5 內容概述
第一章 應力理論
1.1 外力與應力
1.2 張量理論初步
1.3 平衡微分方程和剪應力互等定律
1.4 任意斜面上的應用力和應力邊界條件
1.5 應力分量轉換公式
1.6 主應力和應力不變量
1.7 球形應力張量和應力偏量張量
1.8 最大剪應力和八面體剪應力
1.9 應力狀態和應力圓
1.10 柱面坐標系和球面坐標系中的應力分量和平衡微分方程
習題
第二章 應變理論
2.1 位移和應變
2.2 應變張量的性質
2.3 應變協調方程
2.4 由應變求位移
2.5 柱面和球面坐標系中的幾何方程
習題
第三章 彈性本構關系和彈性問題的求解
3.1 廣義虎克定律
3.2 應變能與應變余能
3.3 虛功原理和最小勢能原理
3.4 功的互等定理
3.5 里茨法和伽遼金法
3.6 彈性力學問題的微分提法
3.7 位移解法
3.8 應力解法
3.9 應力函數解法
3.10 疊加原理
3.11 解的唯一性定理
3.12 圣維南原理
第四章 彈性平面問題
4.1 平面問題及其分類
4.2 平面問題的求解
4.3 用直角坐標解平面問題
4.4 極坐標中的平面問題
4.5 平面問題的復變函數解法
4.6 保角變換解法
習題
第五章 屈服準則和塑性本構關系
5.1 屈服條件
5.2 兩個常用的屈服準則
5.3 彈塑性應力—應變關系的特點及幾種理想模型
5.4 加卸載條件和加載曲面
5.5 本構關系的增量理論
5.6 簡單和載時的全量理論
5.7 簡單彈塑性問題
習題
第六章 塑性平面應變問題和極限分析
6.1 剛塑性平面應變問題的基本特點和基本方程
6.2 應力方程的特征戰
6.3 特征線（滑移線）的基本性質
6.4 簡單應力狀態
6.5 邊界條件
6.6 用滑移線場理論求解塑性極限載荷的例題
……
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主題索引
部分習題參考答案
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學習有限元需了解的知識點
答：應力：lim△Q/△A=S △A→0
應變：物體形狀的改變
位移：彈性體內質點位置的變化
10、 問題的微分方程提法、等效積分提法和泛函變分提法之間有何關系？何謂“強形式”？何謂“弱形式”，兩者有何區別？建立弱形式的關鍵步驟是什么？
答：強弱的區分在于是否完全滿足物理模型的條件。所謂強形式，是指由于物理模型的復雜性，各種邊界條件的限制，使得對于所提出的微分方程，對所需要求得的解的要求太強。也就是需要滿足的條件太復雜。比如不連續點的跳躍等等。將微分方程轉化為弱形式就是弱化對方程解的要求。不拘泥于個別特殊點的要求，而放松為一段有限段上需要滿足的條件，使解能夠以離散的形式存在。
11、 以平面微元體為例，考慮彈性力學基本假設，推導微分平衡方程。
12、 常見的彈性力學問題解法有哪幾類？各有何特點或局限？簡述求解思路？
13、 何謂平面應力問題？何謂平面應變問題？應力應變狀態如何？如何判斷？舉例說
明？
答：平面應力問題：作用于很薄的板上的載荷平行于板平面且沿厚度方向均勻分布，而在兩板面上無外力作用
平面應變問題：長柱體的橫截面沿長度方向不變，作用于長柱體結構上的載荷平行于橫截面且沿縱向方向均與分布，兩端面不受力。
14、 何謂軸對稱問題？如何判斷？推導極坐標下的平衡方程和幾何方程。
答：軸對稱：幾何形狀、約束情況及所受的外力都對稱于空間的某一跟軸，則通過該軸的任何平面都是物體的對稱面，物體內的所有應力、應變和位移都關于該軸對稱。
15、 何謂虛位移原理？推導彈性體虛功方程的矩陣形式，并寫出軸對稱問題的虛功方
程。
16、 什么叫外力勢能？什么叫應變能？簡述勢能變分原理。試問勢能變分原理代表了彈
性力學的那些方程？同時，附加了什么條件？
17、 在三維彈性體中，若系統勢能對位移變分為零。
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