變分提法
關(guān)注創(chuàng)建者：每周小確幸 創(chuàng)建時(shí)間：2021-01-02
變分提法的實(shí)例教程
02
從歷史的天空
看經(jīng)典變分概念的整體性
歷史地看，變分似乎是個(gè)整體性概念。
整體和局部及其相互關(guān)系，是哲學(xué)家關(guān)注的問(wèn)題，也是自然科學(xué)家感興趣的問(wèn)題。
早年學(xué)習(xí)彈性力學(xué)，作者深受如下陳述的影響：彈性力學(xué)的基本問(wèn)題有兩種提法，一是微分提法，二是變分提法。后來(lái)，作者自己成了教師和學(xué)者，對(duì)兩種提法有了更深刻的理解：微分提法體現(xiàn)了牛頓和萊布尼茲的局部化數(shù)理分析思想，而變分提法則體現(xiàn)了歐拉和拉格朗日的整體化數(shù)理分析思想。
由此，作者樹(shù)立起了牢固的觀念：微分是局部性概念，變分是整體性概念；
微分被定義在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)，變分被定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上；微分提法對(duì)應(yīng)局部化數(shù)理分析之路，變分提法對(duì)應(yīng)整體化數(shù)理分析之路。
從力學(xué)的角度看，上述觀念似乎經(jīng)得起時(shí)間考驗(yàn)。場(chǎng)函數(shù)的微分，涉及空間域上“點(diǎn)的鄰域” 內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的增量。“點(diǎn)的鄰域” 當(dāng)然是局部性概念。彈性力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)微分方程，建立在微單元體上。微單元體是“點(diǎn)的鄰域” 的幾何化形態(tài)，自然是局部性概念。
泛函的變分，是定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上的泛函的增量。彈性力學(xué)有最小勢(shì)能原理和最小余能原理。兩個(gè)原理分別涉及勢(shì)能泛函的變分和余能泛函的變分。勢(shì)能泛函和余能泛函都表現(xiàn)為物質(zhì)構(gòu)型空間上的積分。物質(zhì)構(gòu)型空間是整體性的概念，泛函自然也是整體性概念。
分析力學(xué)有最小作用量原理。克萊恩在他的名著《古今數(shù)學(xué)思想》中指出：“變分學(xué)的早期工作幾乎不能和微積分區(qū)分開(kāi)來(lái)。
展開(kāi) 答：應(yīng)力：lim△Q/△A=S △A→0
應(yīng)變：物體形狀的改變
位移：彈性體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置的變化
10、 問(wèn)題的微分方程提法、等效積分提法和泛函變分提法之間有何關(guān)系？何謂“強(qiáng)形式”？何謂“弱形式”，兩者有何區(qū)別？建立弱形式的關(guān)鍵步驟是什么？
答：強(qiáng)弱的區(qū)分在于是否完全滿足物理模型的條件。所謂強(qiáng)形式，是指由于物理模型的復(fù)雜性，各種邊界條件的限制，使得對(duì)于所提出的微分方程，對(duì)所需要求得的解的要求太強(qiáng)。也就是需要滿足的條件太復(fù)雜。比如不連續(xù)點(diǎn)的跳躍等等。將微分方程轉(zhuǎn)化為弱形式就是弱化對(duì)方程解的要求。不拘泥于個(gè)別特殊點(diǎn)的要求，而放松為一段有限段上需要滿足的條件，使解能夠以離散的形式存在。
11、 以平面微元體為例，考慮彈性力學(xué)基本假設(shè)，推導(dǎo)微分平衡方程。
12、 常見(jiàn)的彈性力學(xué)問(wèn)題解法有哪幾類？各有何特點(diǎn)或局限？簡(jiǎn)述求解思路？
13、 何謂平面應(yīng)力問(wèn)題？何謂平面應(yīng)變問(wèn)題？應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)如何？如何判斷？舉例說(shuō)
明？
答：平面應(yīng)力問(wèn)題：作用于很薄的板上的載荷平行于板平面且沿厚度方向均勻分布，而在兩板面上無(wú)外力作用
平面應(yīng)變問(wèn)題：長(zhǎng)柱體的橫截面沿長(zhǎng)度方向不變，作用于長(zhǎng)柱體結(jié)構(gòu)上的載荷平行于橫截面且沿縱向方向均與分布，兩端面不受力。
14、 何謂軸對(duì)稱問(wèn)題？如何判斷？推導(dǎo)極坐標(biāo)下的平衡方程和幾何方程。
答：軸對(duì)稱：幾何形狀、約束情況及所受的外力都對(duì)稱于空間的某一跟軸，則通過(guò)該軸的任何平面都是物體的對(duì)稱面，物體內(nèi)的所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都關(guān)于該軸對(duì)稱。
15、 何謂虛位移原理？推導(dǎo)彈性體虛功方程的矩陣形式，并寫出軸對(duì)稱問(wèn)題的虛功方
程。
16、 什么叫外力勢(shì)能？什么叫應(yīng)變能？簡(jiǎn)述勢(shì)能變分原理。試問(wèn)勢(shì)能變分原理代表了彈
性力學(xué)的那些方程？同時(shí)，附加了什么條件？
17、 在三維彈性體中，若系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)位移變分為零。
展開(kāi) 
變分提法的相關(guān)專題、標(biāo)簽、搜索
變分提法的最新內(nèi)容
值得一提的是，除了MDO的提法，我們也可能會(huì)看到多學(xué)科系統(tǒng)設(shè)計(jì)優(yōu)化(MSDO: multidisciplinary system design optimization)和多學(xué)科設(shè)計(jì)分析與優(yōu)化(MDAO: Multidisciplinary Design Analysis and Optimization)等提法，他們其實(shí)指的都是同一類概念。MDO是如何發(fā)展起來(lái)的呢？
早年學(xué)習(xí)彈性力學(xué)，作者深受如下陳述的影響：彈性力學(xué)的基本問(wèn)題有兩種提法，一是微分提法，二是變分提法。后來(lái)，作者自己成了教師和學(xué)者，對(duì)兩種提法有了更深刻的理解：微分提法體現(xiàn)了牛頓和萊布尼茲的局部化數(shù)理分析思想，而變分提法則體現(xiàn)了歐拉和拉格朗日的整體化數(shù)理分析思想。
大家可以看現(xiàn)在車的外形真的傻傻分不清，你能分清吉利和寶馬嗎？真的分不清。
以前主機(jī)廠追求差異化，很多是把功夫放在應(yīng)用層，應(yīng)用層用戶可以直接看到，現(xiàn)在主機(jī)廠為了追求差異化，會(huì)把它的工作繼續(xù)往下探，會(huì)開(kāi)發(fā)自己的OS，所謂開(kāi)發(fā)OS不是做那些OS核心的部分或者是擴(kuò)容的部分，他們只是在現(xiàn)有商業(yè)化的OS外面包裝一層，并且會(huì)自己開(kāi)發(fā)一些特殊的東西打包以后變成OS。
由于長(zhǎng)距離的傳輸，零線產(chǎn)生的電壓就不可忽視，作為保護(hù)人身安全的措施就變得不可靠。
地線（PE）：不用于工作回路，只作為保護(hù)線。利用大地的絕對(duì)“0”電壓，當(dāng)設(shè)備外殼發(fā)生漏電，電流會(huì)迅速流入大地，即使發(fā)生PE線有開(kāi)路的情況，也會(huì)從附近的接地體流入大地。
由于長(zhǎng)距離的傳輸，零線產(chǎn)生的電壓就不可忽視，作為保護(hù)人身安全的措施就變得不可靠。
地線（PE）：不用于工作回路，只作為保護(hù)線。利用大地的絕對(duì)“0”電壓，當(dāng)設(shè)備外殼發(fā)生漏電，電流會(huì)迅速流入大地，即使發(fā)生PE線有開(kāi)路的情況，也會(huì)從附近的接地體流入大地。
由于長(zhǎng)距離的傳輸，零線產(chǎn)生的電壓就不可忽視，作為保護(hù)人身安全的措施就變得不可靠。
地線（PE）：不用于工作回路，只作為保護(hù)線。利用大地的絕對(duì)“0”電壓，當(dāng)設(shè)備外殼發(fā)生漏電，電流會(huì)迅速流入大地，即使發(fā)生PE線有開(kāi)路的情況，也會(huì)從附近的接地體流入大地。
由于長(zhǎng)距離的傳輸，零線產(chǎn)生的電壓就不可忽視，作為保護(hù)人身安全的措施就變得不可靠。
地線（PE）：不用于工作回路，只作為保護(hù)線。利用大地的絕對(duì)“0”電壓，當(dāng)設(shè)備外殼發(fā)生漏電，電流會(huì)迅速流入大地，即使發(fā)生PE線有開(kāi)路的情況，也會(huì)從附近的接地體流入大地。
在通常的計(jì)算中，離散誤差隨網(wǎng)格變細(xì)而減小，但由于網(wǎng)格變細(xì)時(shí)，離散點(diǎn)數(shù)增多，舍入誤差也隨之加大。
由此可見(jiàn)，網(wǎng)格數(shù)量并不是越多越好的。
答：應(yīng)力：lim△Q/△A=S △A→0
應(yīng)變：物體形狀的改變
位移：彈性體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置的變化
10、 問(wèn)題的微分方程提法、等效積分提法和泛函變分提法之間有何關(guān)系？何謂“強(qiáng)形式”？何謂“弱形式”，兩者有何區(qū)別？建立弱形式的關(guān)鍵步驟是什么？
答：強(qiáng)弱的區(qū)分在于是否完全滿足物理模型的條件。
另外還有一些特征提法，比如SIFT，尺度不變特征。我先解釋一下什么是尺度，我們看待一個(gè)東西，從遠(yuǎn)到近，越遠(yuǎn)它尺度越大，就說(shuō)明這個(gè)東西相對(duì)我們?cè)侥：苡^測(cè)到的特征點(diǎn)就少。隨著靠近，看到的越多就能越發(fā)現(xiàn)一些特點(diǎn)。有些特點(diǎn)是不管遠(yuǎn)近都能辨識(shí)出來(lái)的，就認(rèn)為是尺度不變的特征。
