拉格朗日方程
關注創建者：偉_sss 創建時間：2020-07-22
拉格朗日方程的視頻教程
力學輔導—理論力學知識點總結課
基本原理：力的平行四邊形法則、三力平衡匯交原理、平面力系的平衡方程等。 應用：解決物體在靜止或勻速直線運動狀態下的受力問題。 三、動力學 研究內容：動力學研究物體機械運動與受力的關系。 基本概念：動量、沖量、動量矩、動能、勢能等。 基本原理：牛頓第二定律（F=ma）、動量定理、角動量定理、動能定理等。 重要方程：拉格朗日方程、哈密頓方程等，用于描述和分析質點系的動力學問題。
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利用CONVERGE軟件建立噴嘴的歐拉-拉格朗日計算模型
課程詳細講解了如何利用converge軟件建立噴嘴的歐拉-拉格朗日模型，即ELSA計算模型，不必使用噴霧映射功能即可較精確的模擬噴嘴內流及噴霧的詳細破碎及霧化過程。該課程也適合需要對各種壓力下液體射流進行模擬的人員。
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拉格朗日方程的實例教程
拉格朗日方程
拉格朗日方程可以分為第一類拉格朗日方程和第二類拉格朗日方程。其中含有約束方程的帶有拉格朗日乘子的微分代數方程稱為第一類拉格朗日方程，以最少的坐標表示的二階常微分方程稱為第二類拉格朗日方程。
針對系統中是否含有控制約束，可以分為無約束系統和有約束系統，無約束系統建立拉格朗日方程是常微分方程（ODE），求解方便，沒有積分誤差。而有約束系統建立的拉格朗日方程為微分代數方程（DAE），求解時有積分誤差，在求解算法上可以采用鮑姆加特修正算法，但是對參數的確定沒有準確的選擇方法。也可以采用指數縮減（Index reduction）的方法，將微分代數方程化簡為常微分方程，并且在求解上多采用隱式算法，例如隱式龍格-庫塔算法。在拉格朗日動力學中利用廣義位移和廣義速度描述系統的行為。
1.廣義坐標與自由度
能夠描述動態系統的坐標可以很多，在一個系統中能夠唯一確定系統位姿或狀態的坐標稱為廣義坐標，同時一般描述系統的廣義坐標的個數等于系統的自由度。
在多學科耦合系統中，首先應該確定系統的廣義坐標和自由度。
2拉格朗日動力學方程
多學科統一拉格朗日動力學方程為
利用上式可以建立機械系統和電學系統耦合的動力學方程，動力學方程是關于廣義坐標的一組二階常微分方程。
利用上式建立動力學方程時需要滿足：
1.選擇一組廣義坐標即廣義位移（位移、電荷量）和其導數廣義速度（速度、電流）
2.根據廣義位移和廣義速度寫出系統的動能、勢能和耗散能的表達式。
3.確定由作用源產生的廣義力。廣義力不包括容性元件和阻性元件產生的作用力，因為它們已經包含在勢能和耗散能里面。
展開 第一，它不需要明確給出力和加速度；第二，它對任何一個坐標都是成立的，比如假設xi=xi(q1,q2,?,qN,t)（這個函數是任意的）,
那么我們可以證明
這個性質保證我們可以對它做任意的坐標變換：柱坐標、球坐標、橢圓坐標、傅立葉變換等，它對應的拉格朗日方程不變。由此可見，拉格朗日方程有更加廣泛的使用范圍，可以用來研究非常復雜的力學過程。在邏輯上，拉格朗日方程如果可以有廣泛的應用價值，必須可以在任意坐標系求解。非常遺憾，很多教材沒有給出這個變換的證明；或者提到了，但沒有明確點明其重要性（和意義）。如果我們可以在任意坐標下計算這些問題，那么我們可以選擇最合適的坐標系/參考系，從而得到更多的守恒量。這些守恒量可以讓我們的問題大大化簡。
拉格朗日的第三個優勢在于，它對應最小作用量原理——即哈密頓原理。拉格朗日是從達朗貝爾原理推導出這個方程的，而稍晚的哈密頓則是從最小作用量原理給出來的。它們的差別是，達朗貝爾原理是變分法的微分形式，但是哈密頓是變分法的積分形式。從電磁學中可以看出來，這兩種描述是等價的。所以，如果定義
那么，上面的拉格朗日方程對應δS=0。顯然，最小作用量的計算和坐標系無關（因為不同坐標系L 是不變的），所以上面的拉格朗日也和坐標選擇無關。
第三個優勢無與倫比，很有啟發性。這是因為牛頓方程是二階導數的運動方程，它的運動由一個最小作用量保障。那么，是不是所有二階（或者高階）微分方程都有類似的原理對應呢？對，《數學物理方法》或《數理方程》的變分法就做這個事情。當然，這個原理不一定百分之百成立；但是很多方程都有這個性質，即很多微分方程都是某些（物理）過程的δS=0（最小作用量原理）——困難在于如何尋找這樣的L。我們可以認為這是二階微分方程的“力學化”。至少所有力學問題相關的偏微分方程，都可以由這個原理保障。
展開 02
Action Only函數的功能描述
Action only函數在約束方程中具備隔離標量表達式某些部分與約束反力的功能。通過對受約束系統的拉格朗日方程進行研究，可以很好地理解Action only函數的作用。
其中：
L為系統能量；
Q為廣義坐標；
C為約束；
λ 為拉格朗日乘子；
通過拉格朗日方程可知，基于約束雅可比矩陣將約束反力投影到廣義運動方程中，而基于Action only函數的機制，可以使某些選定的廣義坐標免受約束反力的作用，從而實現數學上的隔離。
該函數只能用于約束方程表達式中，其形式很簡單，AO(exp)，表達式將標明哪些量同約束反力隔離。比如下面的示例：
描述Marker_1和Marker_2之間的約束方程如下所示：
GCON/1, FUN=DX(1) - AO(DX(2))
GCON/2, FUN=DY(1) - AO(DY(2))
GCON/3, FUN=DZ(1) - AO(DZ(2))
通過上述三條約束方程，實現兩個點的平動位移綁定，如果不用AO函數，將實現同球鉸一樣的效果，但是這里使用了AO函數，表現出的效果為，約束反力僅會作用到Marker_1上，而不會作用到Marker_2上，從作用效果上看，就是實現了將Marker_1推向Marker_2,而不會有將Marker_2推向Marker_1的效果。相對比而言，不能使用下面的方式：
GCON/1, FUN=AO(DX(1,2))
GCON/2, FUN=AO(DY(1,2))
GCON/3, FUN=AO(DZ(1,2))
如果這樣設置，在沒有AO函數的情況下是可以的，但是使用AO函數的本質在于原本一個相互的效果要被隔離成單向的效果，所以會造成不能計算的現象。
展開 我們就將隨體坐標系稱為拉格朗日坐標系（以下簡稱L），它是跟隨物質運動的，將不動的笛卡爾直角坐標系叫做歐拉坐標系（以下簡稱E）。我們將物質在初始構型時的笛卡爾坐標值ζ叫做L坐標或者物質坐標，它是跟隨物質點不變的，相當于作為身份證號標記了一個個物質點，當前構型物質點在E系中的坐標叫做E坐標或者空間坐標。這樣就有一個關系：x=x(ζ，t），這個關系式就是運動方程。t時刻就是當前構型，t=0時刻就是初始構型，可以發現，初始構型時，x=ζ，這符合上面說的：將初始構型的笛卡爾坐標叫做L坐標。基于運動方程x=x(ζ，t），當前構型中任意物質點上定義的張量既可以用ζ坐標來描述（我們叫他的名字），也可以用x坐標來描述（我們指出他在哪里），這分別就是拉格朗日描述和歐拉描述。
現在我們要在當前構型研究物質的運動，我們要求出物質點在當前構型的速度或者加速度。前面說了，人是站在笛卡爾坐標系中不動的，也習慣于用笛卡爾坐標系。所以t時刻任意物質點的速度就變成了v=dx/dt或者x上加一點，就是物質點在笛卡爾直角坐標系中的坐標值隨時間的變化率。這是很自然的，我們在本科物理甚至高中物理階段都這么求的不是么。加速度就是a=dv/dt。
但是高中和本科物理階段我們還沒接觸連續介質的速度場，我們關注的是單個質點，dx/dt最后給出的表達式就是我們關注的那個質點的速度隨時間的變化v(t）。然而我們這里要研究連續介質速度場，也就是要研究任意或者所有質點的速度，dx/dt的表達式要體現這一點。恰好，我們有一個運動方程x=x(ζ，t），該方程表示了任意或者所有質點在t時刻的E坐標，那么dx/dt在保持ζ不變的時候，就可以寫成?x(ζ，t)/?t。?x(ζ，t)/?t就是上面說的物質導。
展開 其實他更廣為人知的名字，就是玻爾茲曼方程。
是的，玻爾茲曼方程是比NS方程更底層的模型。NS方程以及拉格朗日方程都可以從GPBE方程推導出來。但是為什么工程上玻爾茲曼方程用得少？因為太底層，難以求解。同時，如果采用矩方法求解GPBE，我們大名鼎鼎的雙歐拉模型即對應的雙矩GPBE模型。總之，
GPBE這個可以在歐拉下求解，最簡單的就是雙歐拉模型，
也可以在拉格朗日下求解，演變成為MPPIC。
也可以在歐拉拉格朗日下混合求解，目前用的比較少。
還有更神的，對GPBE的分布函數采用特征線方程求解出來，并求矩來獲得宏觀方程，就是GKS類方法。
另外一個求解GPBE的方法就是矩方法，矩用的越多，越精確。雙歐拉模型就是最簡單的二階矩模型。矩方法這面相當復雜。沒準可以奮斗終身...
下面我們根據這三種不同的離散相模型，和連續相模型耦合。討論不同的結合情況。
歐拉歐拉模型
歐拉歐拉模型是最為人知的多相流模型，也就是雙歐拉模型。其中連續相使用NS方程，離散相還是使用NS方程。歐拉歐拉模型在目前的CFD代碼中已經被大量的植入了。在此我們不討論這個模型的方程，我個人對這個模型有一點評論：
歐拉歐拉模型相對于VOF模型非常便宜，在文獻中我見過模擬氣泡的如果采用VOF需要上千萬的網格，歐拉歐拉模型幾十萬網格就搞定；
歐拉歐拉模型界面力模型非常不完善，也就是方程中的。
展開 
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拉格朗日方程的最新內容
核心技術原理
基于拉格朗日方程與牛頓 - 歐拉方程，采用變步長剛性積分算法 + 稀疏矩陣技術，高效求解大規模非線性動力學方程；支持剛柔耦合、非線性接觸、摩擦、疲勞、振動等多物理場耦合分析，兼顧計算精度與效率。
二、核心優勢
1.
今日16:00，Ansys官方『Ansys高校系列專題：方程式賽車的智能化仿真設計』研討會研討會將基于Mechanical、Fluent、Discovery講解賽車結構與熱流體核心仿真，建立從概念驗證到詳細分析的完整研發流程。感興趣的下滑預約學習??
時間：5月13日（星期三），16:00-17:00
內容簡介：
1、基于Ansys Mechanical、Fluent、Discovery
工程系統動力學、建模、仿真與設計：拉格朗日圖與鍵圖方法
工程系統動力學、建模、仿真與設計.epub
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英文 |EPUB（真實）|2021年 |217頁 |ISBN ：無 |20.4 MB
本書介紹了有效的系統建模方法，包括拉格朗日圖和鍵圖，以及相關工程軟件工具20-sim的應用。內容面向工程學生和該領域的專業人士，支持他們理解和應用這些建模
工程系統動力學、建模、仿真與設計：拉格朗日圖與鍵圖方法
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精通OpenFOAM中的拉格朗日粒子動力學-全套案例-中文字幕（srt）
精通OpenFOAM中的拉格朗日粒子動力學 | Mastering Lagrangian Particle Dynamics In Openfoam
MP4 | 視頻：h264, 1920x1080 | 音頻：AAC, 44.1 KHz
語言：英語 | 大小：2.50 GB | 時長：2小時
2025賽季，吉林大學吉速車隊在Ansys仿真技術的助力下，以927.61分斬獲中國大學生方程式汽車大賽冠軍，并以864.34分成功衛冕中國大學生電動方程式大賽冠軍，成就耀眼 “雙冠” 。這一成績不僅刷新了燃油車車隊 “八年七冠六連冠” 的紀錄，更再次印證：仿真是驅動賽車性能躍遷與工程創新的關鍵。
2026年，Ansys將繼續攜手中國大學生方程式大賽，作為官方仿真設計軟件合作伙伴，延續十余年的深度支持
虛擬設計真實馳騁：
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現在，一個不需要物理原型就能完整測試賽車設計的舞臺已經到來
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現在
關鍵詞：CFD，有限元，三角形單元，罰函數，粘性流動
最近工作室有流體有限元求解器的開發需求，我在前面講飛機結冰的文章提到過，差不多10年前瞎搗鼓過這個東西。
好多東西都記不清了，先從一些簡單的流動模型入手，做一些恢復性訓練。考慮到我是結構力學出身，在進行流體有限元開發的時候，我會代入結構有限元的視角進行分析。
流體也好，固體也好，CFD也好，FEM也好，有很多開源工具、源代碼可以用。
2025中國大學生方程式系列賽事已于11月圓滿完賽，覆蓋中國大學生方程式汽車大賽（FSCC）、中國大學生電動方程式大賽（FSEC）、以及中國大學生無人駕駛方程式大賽（FSAC）三項賽事。
中國大學生方程式汽車大賽由中國汽車工程學會于2010年主辦，至今已連續舉辦十六屆，作為大賽的官方合作伙伴，Ansys已是第15年贊助本項賽事，每年參賽的眾多車隊都會運用Ansys工具進行賽車仿真設計
