在現代的機電系統中，例如機器人、機械臂、車輛等，是多學科相互作用、相互交叉的，包括機械、電學、液壓、熱學等學科，如何分析這些系統的動力學耦合特性就顯得特別有意義，如果以單個學科的角度或以局部組件為對象進行分析，雖然很多局部的細節考慮到，而各個系統間的相互作用卻被簡化了，相反的如果從整個系統的角度，彼此之間的交互作用卻是十分重要的，也是十分突出的。在多學科多體系統動力學的分析中，應該包括建模和分析，即建立的動力學方程和利用數值方法進行求解，最后形成了仿真分析，如下圖所示

        在多學科耦合系統動力學建模和分析的方法也很多，包括線狀圖法（Linear graph）、鍵合圖法（Bond graph）、圖論（Graph theories）、“等效”方法。

        線狀圖方法是數學的一個分支，主要研究系統拓撲學，由L.Euler在18世紀左右提出，在20世紀擴展到物理建模中。鍵合圖法在1959年由H.M.Paynterti提出，是以能量守恒原理為基礎，以勢、流、變位和動量四個廣義變量表示各個物理參數，具有因果關系，但是多適用于平面模型建模，在三維多體系統中較為復雜，還有待發展，鍵合圖如圖圖所示。

    一些學者在線狀圖和鍵合圖的基礎上提出了圖論的多體建模方法。其中Waterloo大學的John.McPhee教授利用圖論方法建立機電耦合系統的動力學方程提出較具體的方法。

        下面介紹屬于“等效”的方法。采用虛功原理建立多學科的系統動力學方程，這種方法依賴于選擇獨立的廣義坐標，能夠描述系統的配置。通過對多個學科的物理量的等效對應關系，便可以依據多體動力學方法進行建模求解。

        多學科統一建模方法采用了多學科統一的模型表達形式，可以實現將不同學科的復雜系統的無縫集成，并利用拉格朗日方程建立集成的動力學方程。多學科統一分析系統動力學包括兩部分：統一學科分析方法學和系統動力學。統一學科方法學是將機械、電力電子、流體和熱力學等學科在統一的表達和方法下進行分析，這樣能夠使一個多學科耦合的系統進行綜合的分析和設計，使整個多學科系統的設計、控制到達最優。

系統變量的統一表達

 1.運動學變量

        運動學變量包括廣義位移和廣義速度，它們的數學關系是：

        廣義位移包括:機械平移運動的位移、機械轉動的角度和電學系統電荷量。廣義速度為對應的廣義位移的導數，包括：機械平移運動的速度，機械轉動的角速度，電學系統的電流。

2.運動源變量

        運動源變量包括廣義作用源和廣義動量源。兩者之間的關系為

        廣義作用源包括：機械平移運動的作用力、機械轉動的轉矩和電學系統的電壓。廣義動量源包括：機械平移運動的動量、機械轉動的角動量和電學系統的磁鏈。

        下表給出了廣義運動元變量和廣義作用源變量的對應關系。

系統組成

        將機械系統和電學系統中構件根據在系統中對能量的作用分為

       （1）能量儲存元件。表示為理想感元和理想容元。

       （2）能量耗散元件。表示為理想耗元。

       （3）能量轉換元件。表示為理想換能元。

       （4）能量源。能量源為系統提供能量。表示為理想能量源。

          其中能量轉換元件，如電學系統中的變壓器，機械系統的齒輪組。

1.理想感元

        在機械平移運動中，質量為理想感元。在機械轉動中，轉動慣量為理想感元。在電學系統中，電感為理想感元。

2.理想容元

        在機械平移運動中，彈簧為理想容元。在機械轉動中，扭轉彈簧為理想容元。在電學系統中，電容為理想容元。

3.理想耗元

        在機械平移機構中的阻尼器為理性耗元，例如輪胎的阻尼。機械轉動中的轉動阻尼為理性耗元。電學系統中的電阻為理性的耗元。

 4.能量源

（1）理想能量源

        包括機械平移運動的力，機械轉動的力矩，電學系統中的電壓源和電流源。

（2）受控能量源

        機械系統中的摩擦便是一種受控能量源，因為摩擦是相對運動速度的函數，電學系統中的二極管、三極管、MOSFET也是一種受控能量源，是電流的函數，這一類元件可以放在一起建模分析。

下面給出機電系統的變量對應關系表，如下表所示。

拉格朗日方程

        拉格朗日方程可以分為第一類拉格朗日方程和第二類拉格朗日方程。其中含有約束方程的帶有拉格朗日乘子的微分代數方程稱為第一類拉格朗日方程，以最少的坐標表示的二階常微分方程稱為第二類拉格朗日方程。

        針對系統中是否含有控制約束，可以分為無約束系統和有約束系統，無約束系統建立拉格朗日方程是常微分方程（ODE），求解方便，沒有積分誤差。而有約束系統建立的拉格朗日方程為微分代數方程（DAE），求解時有積分誤差，在求解算法上可以采用鮑姆加特修正算法，但是對參數的確定沒有準確的選擇方法。也可以采用指數縮減（Index reduction）的方法，將微分代數方程化簡為常微分方程，并且在求解上多采用隱式算法，例如隱式龍格-庫塔算法。在拉格朗日動力學中利用廣義位移和廣義速度描述系統的行為。

1.廣義坐標與自由度

        能夠描述動態系統的坐標可以很多，在一個系統中能夠唯一確定系統位姿或狀態的坐標稱為廣義坐標，同時一般描述系統的廣義坐標的個數等于系統的自由度。

        在多學科耦合系統中，首先應該確定系統的廣義坐標和自由度。

2拉格朗日動力學方程

        多學科統一拉格朗日動力學方程為

        利用上式可以建立機械系統和電學系統耦合的動力學方程，動力學方程是關于廣義坐標的一組二階常微分方程。

        利用上式建立動力學方程時需要滿足：

        1.選擇一組廣義坐標即廣義位移（位移、電荷量）和其導數廣義速度（速度、電流）

        2.根據廣義位移和廣義速度寫出系統的動能、勢能和耗散能的表達式。

        3.確定由作用源產生的廣義力。廣義力不包括容性元件和阻性元件產生的作用力，因為它們已經包含在勢能和耗散能里面。

        拉格朗日動力學方程不需要考慮約束力的影響，因為約束力不做功，這樣也簡化了建模，使建模方便。

拉格朗日微分代數方程

        對于一個由個系統坐標的多學科動力學控制系統，有個廣義位移坐標變量和對應的個廣義速度變量，與此同時系統中還存在廣義位移約束和廣義速度約束，廣義速度約束同時包括完整約束和非完整約束。還有作用力約束和動態約束。

        這樣就構成了廣義位移約束的控制方程、廣義速度約束的控制方程、作用力約束的控制方程、動態約束的控制方程。

         將動力學方程和各個約束方程組合在一起，得到

式中含有廣義位移約束的拉格朗日乘子和關于廣義速度的拉格朗日乘子。上式是由個微分代數方程（DAE）構成。多學科耦合的動力學控制方程的建模都可以寫成上式的形式，同時方程規范美觀，易于編程。

文章來源：多體動力學與控制