拉格朗日方程的案例
多學(xué)科統(tǒng)一的多體動力學(xué)建模方法
拉格朗日方程
拉格朗日方程可以分為第一類拉格朗日方程和第二類拉格朗日方程。其中含有約束方程的帶有拉格朗日乘子的微分代數(shù)方程稱為第一類拉格朗日方程，以最少的坐標(biāo)表示的二階常微分方程稱為第二類拉格朗日方程。
針對系統(tǒng)中是否含有控制約束，可以分為無約束系統(tǒng)和有約束系統(tǒng)，無約束系統(tǒng)建立拉格朗日方程是常微分方程（ODE），求解方便，沒有積分誤差。而有約束系統(tǒng)建立的拉格朗日方程為微分代數(shù)方程（DAE），求解時有積分誤差，在求解算法上可以采用鮑姆加特修正算法，但是對參數(shù)的確定沒有準(zhǔn)確的選擇方法。也可以采用指數(shù)縮減（Index reduction）的方法，將微分代數(shù)方程化簡為常微分方程，并且在求解上多采用隱式算法，例如隱式龍格-庫塔算法。在拉格朗日動力學(xué)中利用廣義位移和廣義速度描述系統(tǒng)的行為。
1.廣義坐標(biāo)與自由度
能夠描述動態(tài)系統(tǒng)的坐標(biāo)可以很多，在一個系統(tǒng)中能夠唯一確定系統(tǒng)位姿或狀態(tài)的坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)，同時一般描述系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)的個數(shù)等于系統(tǒng)的自由度。
在多學(xué)科耦合系統(tǒng)中，首先應(yīng)該確定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和自由度。
2拉格朗日動力學(xué)方程
多學(xué)科統(tǒng)一拉格朗日動力學(xué)方程為
利用上式可以建立機(jī)械系統(tǒng)和電學(xué)系統(tǒng)耦合的動力學(xué)方程，動力學(xué)方程是關(guān)于廣義坐標(biāo)的一組二階常微分方程。
利用上式建立動力學(xué)方程時需要滿足：
1.選擇一組廣義坐標(biāo)即廣義位移（位移、電荷量）和其導(dǎo)數(shù)廣義速度（速度、電流）
2.根據(jù)廣義位移和廣義速度寫出系統(tǒng)的動能、勢能和耗散能的表達(dá)式。
3.確定由作用源產(chǎn)生的廣義力。廣義力不包括容性元件和阻性元件產(chǎn)生的作用力，因?yàn)樗鼈円呀?jīng)包含在勢能和耗散能里面。
展開 《經(jīng)典力學(xué)》札記
第一，它不需要明確給出力和加速度；第二，它對任何一個坐標(biāo)都是成立的，比如假設(shè)xi=xi(q1,q2,?,qN,t)（這個函數(shù)是任意的）,
那么我們可以證明
這個性質(zhì)保證我們可以對它做任意的坐標(biāo)變換：柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、橢圓坐標(biāo)、傅立葉變換等，它對應(yīng)的拉格朗日方程不變。由此可見，拉格朗日方程有更加廣泛的使用范圍，可以用來研究非常復(fù)雜的力學(xué)過程。在邏輯上，拉格朗日方程如果可以有廣泛的應(yīng)用價值，必須可以在任意坐標(biāo)系求解。非常遺憾，很多教材沒有給出這個變換的證明；或者提到了，但沒有明確點(diǎn)明其重要性（和意義）。如果我們可以在任意坐標(biāo)下計算這些問題，那么我們可以選擇最合適的坐標(biāo)系/參考系，從而得到更多的守恒量。這些守恒量可以讓我們的問題大大化簡。
拉格朗日的第三個優(yōu)勢在于，它對應(yīng)最小作用量原理——即哈密頓原理。拉格朗日是從達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)出這個方程的，而稍晚的哈密頓則是從最小作用量原理給出來的。它們的差別是，達(dá)朗貝爾原理是變分法的微分形式，但是哈密頓是變分法的積分形式。從電磁學(xué)中可以看出來，這兩種描述是等價的。所以，如果定義
那么，上面的拉格朗日方程對應(yīng)δS=0。顯然，最小作用量的計算和坐標(biāo)系無關(guān)（因?yàn)椴煌鴺?biāo)系L 是不變的），所以上面的拉格朗日也和坐標(biāo)選擇無關(guān)。
第三個優(yōu)勢無與倫比，很有啟發(fā)性。這是因?yàn)榕ｎD方程是二階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)動方程，它的運(yùn)動由一個最小作用量保障。那么，是不是所有二階（或者高階）微分方程都有類似的原理對應(yīng)呢？對，《數(shù)學(xué)物理方法》或《數(shù)理方程》的變分法就做這個事情。當(dāng)然，這個原理不一定百分之百成立；但是很多方程都有這個性質(zhì)，即很多微分方程都是某些（物理）過程的δS=0（最小作用量原理）——困難在于如何尋找這樣的L。我們可以認(rèn)為這是二階微分方程的“力學(xué)化”。至少所有力學(xué)問題相關(guān)的偏微分方程，都可以由這個原理保障。
展開 設(shè)計仿真 | Adams Action Only 函數(shù)的工程應(yīng)用
02
Action Only函數(shù)的功能描述
Action only函數(shù)在約束方程中具備隔離標(biāo)量表達(dá)式某些部分與約束反力的功能。通過對受約束系統(tǒng)的拉格朗日方程進(jìn)行研究，可以很好地理解Action only函數(shù)的作用。
其中：
L為系統(tǒng)能量；
Q為廣義坐標(biāo)；
C為約束；
λ 為拉格朗日乘子；
通過拉格朗日方程可知，基于約束雅可比矩陣將約束反力投影到廣義運(yùn)動方程中，而基于Action only函數(shù)的機(jī)制，可以使某些選定的廣義坐標(biāo)免受約束反力的作用，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)上的隔離。
該函數(shù)只能用于約束方程表達(dá)式中，其形式很簡單，AO(exp)，表達(dá)式將標(biāo)明哪些量同約束反力隔離。比如下面的示例：
描述Marker_1和Marker_2之間的約束方程如下所示：
GCON/1, FUN=DX(1) - AO(DX(2))
GCON/2, FUN=DY(1) - AO(DY(2))
GCON/3, FUN=DZ(1) - AO(DZ(2))
通過上述三條約束方程，實(shí)現(xiàn)兩個點(diǎn)的平動位移綁定，如果不用AO函數(shù)，將實(shí)現(xiàn)同球鉸一樣的效果，但是這里使用了AO函數(shù)，表現(xiàn)出的效果為，約束反力僅會作用到Marker_1上，而不會作用到Marker_2上，從作用效果上看，就是實(shí)現(xiàn)了將Marker_1推向Marker_2,而不會有將Marker_2推向Marker_1的效果。相對比而言，不能使用下面的方式：
GCON/1, FUN=AO(DX(1,2))
GCON/2, FUN=AO(DY(1,2))
GCON/3, FUN=AO(DZ(1,2))
如果這樣設(shè)置，在沒有AO函數(shù)的情況下是可以的，但是使用AO函數(shù)的本質(zhì)在于原本一個相互的效果要被隔離成單向的效果，所以會造成不能計算的現(xiàn)象。
展開 力學(xué)筆記#4：結(jié)構(gòu)動力學(xué)和彈性動力學(xué)運(yùn)動平衡方程的異同，順便簡述拉格朗日描述和歐拉描述
我們就將隨體坐標(biāo)系稱為拉格朗日坐標(biāo)系（以下簡稱L），它是跟隨物質(zhì)運(yùn)動的，將不動的笛卡爾直角坐標(biāo)系叫做歐拉坐標(biāo)系（以下簡稱E）。我們將物質(zhì)在初始構(gòu)型時的笛卡爾坐標(biāo)值ζ叫做L坐標(biāo)或者物質(zhì)坐標(biāo)，它是跟隨物質(zhì)點(diǎn)不變的，相當(dāng)于作為身份證號標(biāo)記了一個個物質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)前構(gòu)型物質(zhì)點(diǎn)在E系中的坐標(biāo)叫做E坐標(biāo)或者空間坐標(biāo)。這樣就有一個關(guān)系：x=x(ζ，t），這個關(guān)系式就是運(yùn)動方程。t時刻就是當(dāng)前構(gòu)型，t=0時刻就是初始構(gòu)型，可以發(fā)現(xiàn)，初始構(gòu)型時，x=ζ，這符合上面說的：將初始構(gòu)型的笛卡爾坐標(biāo)叫做L坐標(biāo)?；谶\(yùn)動方程x=x(ζ，t），當(dāng)前構(gòu)型中任意物質(zhì)點(diǎn)上定義的張量既可以用ζ坐標(biāo)來描述（我們叫他的名字），也可以用x坐標(biāo)來描述（我們指出他在哪里），這分別就是拉格朗日描述和歐拉描述。
現(xiàn)在我們要在當(dāng)前構(gòu)型研究物質(zhì)的運(yùn)動，我們要求出物質(zhì)點(diǎn)在當(dāng)前構(gòu)型的速度或者加速度。前面說了，人是站在笛卡爾坐標(biāo)系中不動的，也習(xí)慣于用笛卡爾坐標(biāo)系。所以t時刻任意物質(zhì)點(diǎn)的速度就變成了v=dx/dt或者x上加一點(diǎn)，就是物質(zhì)點(diǎn)在笛卡爾直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值隨時間的變化率。這是很自然的，我們在本科物理甚至高中物理階段都這么求的不是么。加速度就是a=dv/dt。
但是高中和本科物理階段我們還沒接觸連續(xù)介質(zhì)的速度場，我們關(guān)注的是單個質(zhì)點(diǎn)，dx/dt最后給出的表達(dá)式就是我們關(guān)注的那個質(zhì)點(diǎn)的速度隨時間的變化v(t）。然而我們這里要研究連續(xù)介質(zhì)速度場，也就是要研究任意或者所有質(zhì)點(diǎn)的速度，dx/dt的表達(dá)式要體現(xiàn)這一點(diǎn)。恰好，我們有一個運(yùn)動方程x=x(ζ，t），該方程表示了任意或者所有質(zhì)點(diǎn)在t時刻的E坐標(biāo)，那么dx/dt在保持ζ不變的時候，就可以寫成?x(ζ，t)/?t。?x(ζ，t)/?t就是上面說的物質(zhì)導(dǎo)。
展開 
一篇多相流review獻(xiàn)給大家，JCP編輯向我邀稿！
其實(shí)他更廣為人知的名字，就是玻爾茲曼方程。
是的，玻爾茲曼方程是比NS方程更底層的模型。NS方程以及拉格朗日方程都可以從GPBE方程推導(dǎo)出來。但是為什么工程上玻爾茲曼方程用得少？因?yàn)樘讓?，難以求解。同時，如果采用矩方法求解GPBE，我們大名鼎鼎的雙歐拉模型即對應(yīng)的雙矩GPBE模型?？傊?，
GPBE這個可以在歐拉下求解，最簡單的就是雙歐拉模型，
也可以在拉格朗日下求解，演變成為MPPIC。
也可以在歐拉拉格朗日下混合求解，目前用的比較少。
還有更神的，對GPBE的分布函數(shù)采用特征線方程求解出來，并求矩來獲得宏觀方程，就是GKS類方法。
另外一個求解GPBE的方法就是矩方法，矩用的越多，越精確。雙歐拉模型就是最簡單的二階矩模型。矩方法這面相當(dāng)復(fù)雜。沒準(zhǔn)可以奮斗終身...
下面我們根據(jù)這三種不同的離散相模型，和連續(xù)相模型耦合。討論不同的結(jié)合情況。
歐拉歐拉模型
歐拉歐拉模型是最為人知的多相流模型，也就是雙歐拉模型。其中連續(xù)相使用NS方程，離散相還是使用NS方程。歐拉歐拉模型在目前的CFD代碼中已經(jīng)被大量的植入了。在此我們不討論這個模型的方程，我個人對這個模型有一點(diǎn)評論：
歐拉歐拉模型相對于VOF模型非常便宜，在文獻(xiàn)中我見過模擬氣泡的如果采用VOF需要上千萬的網(wǎng)格，歐拉歐拉模型幾十萬網(wǎng)格就搞定；
歐拉歐拉模型界面力模型非常不完善，也就是方程中的。
展開 關(guān)于LS-DYNA爆炸分析清單
此時對炸藥及其它流體材料采用Euler算法，對其他的結(jié)構(gòu)采用Lagrange算法,然后通過流固藕合方式來處理相互作用該方法的優(yōu)點(diǎn)是炸藥和流體材料在Euler單元內(nèi)流動，部存在單元的畸變問題，并通過流固耦合方式來處理相互作用，能方便的建立爆炸模型(流固分開建立)，缺點(diǎn)是不能清晰的捕捉物質(zhì)界面
2、爆炸分析所涉及到的關(guān)鍵字
1）材料模型
*MAT_HIGH_EXPLOSIVE_BURN(炸藥材料)
*MAT_ NULL(空氣、水等材料)
*MAT_ OPTION(其它結(jié)構(gòu)材料)
炸藥的狀態(tài)方程
*EOS JWL(各種炸藥)
*EOS_IGNITION_AND_GROWTH_OF_REACTION_ IN_HE(推進(jìn)劑燃燒)
*EOS JWLB(各種炸藥)
流體材料的狀態(tài)方程
*EOS_LINEAR_POLYNOMIAL(空氣)
*EOS_GRUNEISEN(水、油等)
2）接觸類型(用于拉格朗日方程)
*CONTACT_2D_SLIDNG_ONLY(軸對稱問題，平面應(yīng)力應(yīng)變問題)
*CONTACT_SLIDING_ONLY(三維問題)
多物質(zhì)材料
*ALE_MULTI_MATERIAL_GROUP
*ALE_REFERENCE_SYSTEM_GROUP
*ALE_REFERENCE_SYSTEM_NODE
*ALE_REFERENCE_SYSTEM_CURVE
*ALE_REFERENCE_SYSTEM_SWITCH
流固耦合
*CONSTRAINED_LAGRANGE_IN_SOLID
ALE算法選項(xiàng)控制
*CONTROL_ALE
*ALE_SMOOTHING
3）MID-材料號
RO-質(zhì)量密度
D-爆炸速度
PCJ-Chapman-Jouget壓力
4）在一致單位系統(tǒng)中，壓力的單位為Mbar
展開 基于ADAMS的點(diǎn)按手法運(yùn)動仿真
ADAMS采用世界上廣泛流行的多剛體系統(tǒng)動力學(xué)理論中的拉格朗日方程方法，選取系統(tǒng)內(nèi)每個剛體質(zhì)心在慣性參考系中的3個直角坐標(biāo)和確定剛性方位的3個歐拉角作為笛卡爾廣義坐標(biāo)，用帶乘子的拉格朗日方程處理具有多余坐標(biāo)的完整約束系統(tǒng)或非完整約束系統(tǒng)，導(dǎo)出以笛卡爾廣義坐標(biāo)為變量的運(yùn)動學(xué)方程。
1.2 機(jī)器人手臂虛擬樣機(jī)的建立
以應(yīng)用最為普遍的、具有最優(yōu)靈活工作空間的六自由度機(jī)器人手臂構(gòu)型作為產(chǎn)生按摩運(yùn)動的載體。虛擬樣機(jī)的建立要盡可能地簡化模型。在滿足虛擬樣機(jī)仿真運(yùn)動要求的前提下，模型的零件數(shù)量應(yīng)該盡可能的少。保留主要的運(yùn)動部件，忽略細(xì)化的部件。為了保證虛擬樣機(jī)的準(zhǔn)確性，各主要部件的空間布局應(yīng)該與物理樣機(jī)相當(dāng)。由于ADAMS三維建模過程復(fù)雜，采用Solid Works建模，然后將建好的模型導(dǎo)入ADAMS軟件中進(jìn)行定義。
建模的步驟如下[3]:
(1）用Solid Works建模后的模型如圖1所示。建好的模型保存成Parasolid(*.x＿t）格式。
圖1 機(jī)器人手臂總體示意圖
(2）打開ADAMS軟件，然后依次執(zhí)行“file—import”，在File type中選擇Parasolid，在“File To Read”中右擊選“Browse”，選擇剛建立的模型。在model name中右擊選creat，創(chuàng)建一個文件。這樣就把在Solid Works中建立的模型導(dǎo)入了ADAMS中。
1.3 機(jī)器人手臂的正、逆運(yùn)動學(xué)
機(jī)器人手臂可以看成是由一系列剛體通過關(guān)節(jié)連接而成的一個運(yùn)動鏈，為了研究機(jī)器人手臂的運(yùn)動特性，需要在各個適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系統(tǒng)來進(jìn)行研究。Denavit和Hartenberg提出了一種描述機(jī)器人手臂連桿之間運(yùn)動關(guān)系的方法，用連桿長度ai、連桿轉(zhuǎn)角αi、連桿偏距di及關(guān)節(jié)角θi這4個參數(shù)來描述機(jī)器人手臂連桿之間的運(yùn)動關(guān)系。
展開 基于Workbench的汽車剎車制動盤摩擦生熱問題的仿真
設(shè)置關(guān)鍵字為11，表示自由度包含溫度temp
接觸設(shè)置
將摩擦片和摩擦盤之間的接觸設(shè)置為frictional 摩擦系數(shù)調(diào)整為0.2
摩擦關(guān)鍵字設(shè)置為keyop,cid,1,1，考慮溫度
方程設(shè)置為增強(qiáng)拉格朗日方程，stiffness update設(shè)置為each iteration
旋轉(zhuǎn)設(shè)置
設(shè)置圓孔中心為鉸鏈旋轉(zhuǎn)，如圖
邊界條件
添加鉸鏈驅(qū)動為旋轉(zhuǎn)角度驅(qū)動，旋轉(zhuǎn)3圈，共1080度
添加摩擦片的位移約束，將摩擦片四邊設(shè)置為XY方向0位移，Z向可動
添加摩擦片上表面受力4000.N
設(shè)置步長
設(shè)置為三步，步長設(shè)置為100，10，1000，時間共4秒時間
添加求解設(shè)置
/solu
alls
tref,0 ！參考溫度為0度
trnopt,full
timint,off,struc ！不考慮結(jié)果的慣性效果
提取結(jié)果
1）變形
由于為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，因此最大位移為正弦變化，如圖所示
2）應(yīng)力
選擇中，摩擦盤受到壓力作用，應(yīng)力增大，提取結(jié)果
3）溫度
由于參考溫度為0度，故提取的溫度就是溫升，第1秒，第2秒，第3秒和第4秒結(jié)束時的溫度如圖
該實(shí)例對汽車摩擦片的摩擦效果進(jìn)行了仿真方法的研究，可以較好的模擬該類摩擦生熱熱的仿真，如果考慮初始旋轉(zhuǎn)速度和摩擦系數(shù)等其他參數(shù)合適的加載，可以較好的得到摩擦片的停止轉(zhuǎn)動時間，為汽車摩擦片的設(shè)置提供很好的指導(dǎo)意義。
展開 Adams 多體動力學(xué)：工業(yè)仿真的黃金標(biāo)準(zhǔn)與未來引擎
核心技術(shù)原理
基于拉格朗日方程與牛頓 - 歐拉方程，采用變步長剛性積分算法 + 稀疏矩陣技術(shù)，高效求解大規(guī)模非線性動力學(xué)方程；支持剛?cè)狁詈?、非線性接觸、摩擦、疲勞、振動等多物理場耦合分析，兼顧計算精度與效率。
二、核心優(yōu)勢
1. 求解精度與效率雙優(yōu)
· 相比傳統(tǒng)有限元（FEA），Adams 以多體動力學(xué)專用求解器實(shí)現(xiàn)非線性動力學(xué)快速計算，耗時僅為 FEA 的 1/5-1/10，同時精準(zhǔn)輸出全運(yùn)動周期的載荷、加速度、應(yīng)力數(shù)據(jù)，為 FEA 提供精準(zhǔn)邊界條件，提升結(jié)構(gòu)分析精度dr.adams.com。
· 支持大規(guī)模并行計算（HPC），可處理數(shù)千構(gòu)件的復(fù)雜系統(tǒng)（如整車、風(fēng)電整機(jī)），求解穩(wěn)定性強(qiáng)，工業(yè)驗(yàn)證案例超 4000 家企業(yè)。
2. 剛?cè)狁詈吓c多學(xué)科集成能力
· 獨(dú)創(chuàng)混合建模架構(gòu)，可同時模擬剛體（齒輪、連桿）的剛性運(yùn)動與柔體（殼體、軸類）的彈性變形，捕捉微米級變形與大幅度運(yùn)動的耦合效應(yīng)，適配精密機(jī)械、航空航天等高精度場景。
· 無縫集成 **CAD（SolidWorks、CATIA）、FEA（ANSYS、Abaqus）、控制（MATLAB）、疲勞（MSC Fatigue）** 工具，實(shí)現(xiàn) “幾何建模 - 動力學(xué)仿真 - 結(jié)構(gòu)分析 - 控制優(yōu)化 - 壽命預(yù)測” 全流程閉環(huán)，支撐數(shù)字孿生落地。
3. 行業(yè)適配性強(qiáng)，工程價值顯著
· 全行業(yè)覆蓋：汽車（懸架、電池包、整車動力學(xué)）、航空航天（起落架、衛(wèi)星展開機(jī)構(gòu)）、重型機(jī)械（挖掘機(jī)、起重機(jī)）、新能源（風(fēng)電、光伏、儲能）、醫(yī)療器械等領(lǐng)域均有成熟解決方案。
·
· 降本增效核心價值：減少70%-90% 物理樣機(jī)試制與測試，縮短30%-50% 研發(fā)周期，降低40% 以上研發(fā)成本；提前排查設(shè)計缺陷（如共振、干涉、疲勞斷裂），避免后期返工風(fēng)險。
4.
展開 歐拉-拉格朗日數(shù)值模擬
歐拉-拉格朗日數(shù)值模擬
CEL(拉格朗日-歐拉耦合)模擬水蝕 ￥10
<p>一個簡單的例子-模擬水蝕的過程。</p><p>目前采用CEL方法實(shí)現(xiàn)單個水平?jīng)_擊金屬涂層基體的過程，具體詳細(xì)步驟大家可以自行去研究cae和inp文件，如果有不明白的地方，可以</p><p>在此感謝Usim大佬的支持，大家可以搜索會員名字 Usim ，去他的主頁看看，不是一般的NB，動力顯示分析的大手。</p><p><br></p><div contenteditable="false" width="100%"><img src="https://img.jishulink.com/upload/201911/3087fbaf649f45418aa83b57fa895b12.gif" title="CEL.gif" alt="CEL.gif" style="max-width:760px;" data-mobile-src="https://img.jishulink.com/upload/201911/3087fbaf649f45418aa83b57fa895b12.gif?image_process=/format,webp/quality,q_40/resize,w_400" data-pc-src="https://img.jishulink.com/upload/201911/3087fbaf649f45418aa83b57fa895b12.gif?image_process=/format,webp/quality,q_40/resize,w_760" data-initial-src="https://img.jishulink.com/upload/201911/3087fbaf649f45418aa83b57fa895b12.gif">
</div><div contenteditable="false" width="100%"
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精通OpenFOAM中的拉格朗日粒子動力學(xué)-全套案例-中文字幕（srt） ￥25
本課程旨在通過教您如何使用OpenFOAM的歐拉-拉格朗日框架來建模此類系統(tǒng)來彌補(bǔ)這一差距。
我們從粒子追蹤的基礎(chǔ)知識開始，建立對拉格朗日方法工作原理的扎實(shí)概念理解。您將探索粒子如何被表示為包裹體，它們的運(yùn)動如何受物理定律支配，以及它們?nèi)绾闻c周圍流體相互作用。每個概念都直接與OpenFOAM中的實(shí)現(xiàn)相關(guān)聯(lián)，而不是依賴孤立的理論，確保您同時獲得理論清晰度和實(shí)踐能力。
隨著課程的進(jìn)展，我們進(jìn)入使用icoUncoupledKinematicParcelFoam等求解器進(jìn)行單向耦合模擬。在這里，粒子在預(yù)計算的速度場中演化，使您能夠在沒有對流反饋的情況下理解粒子動力學(xué)。這一步對于在引入更復(fù)雜的耦合機(jī)制之前建立直覺至關(guān)重要。
從那里，課程進(jìn)入使用kinematicParcelFoam進(jìn)行雙向耦合模擬。在這個階段，粒子不僅響應(yīng)流動，還通過動量交換影響它。您將學(xué)習(xí)如何將源項(xiàng)引入控制方程，以及這如何改變系統(tǒng)的行為。粒子與流體之間的相互作用變得更加真實(shí)，您將開始了解此類模擬如何用于實(shí)際工程問題。
本課程的一個主要亮點(diǎn)是表面薄膜建模的介紹。這使您能夠以物理上有意義的方式模擬粒子-壁面相互作用，包括反彈、吸收和飛濺等現(xiàn)象。這些效應(yīng)在噴霧冷卻、涂層工藝和燃燒系統(tǒng)等應(yīng)用中至關(guān)重要。您將了解薄膜模型如何集成到歐拉-拉格朗日框架中，以及質(zhì)量和動量交換如何在邊界發(fā)生。
一旦建立了稀薄粒子流的基礎(chǔ)，課程就過渡到使用DPMFoam的更高級領(lǐng)域。該求解器引入了粒子體積分?jǐn)?shù)的概念，使您不僅能夠考慮力，還能考慮粒子占據(jù)的物理空間。在許多真實(shí)系統(tǒng)中，粒子的大小不可忽略，它們的存在影響流體的可用體積。您將了解這如何修改控制方程以及如何解釋由此產(chǎn)生的流動行為。
展開 ADAMS的發(fā)展史
我的論文包含了節(jié)點(diǎn)方程、稀疏矩陣、后向差分及拉格朗日方程。這些都應(yīng)用到了我正在編寫的數(shù)值計算軟件，我稱它為 automatic dynamic analysis of mechanical systems (ADAMS)。
在1974年，我正在計算波音747的起落架、一個整車、用于核反應(yīng)堆內(nèi)部的被稱為玻璃碳的扭曲石墨晶格，所有這些都是用ADAMS完成，有機(jī)械、機(jī)構(gòu)和材料晶格。這些已經(jīng)超出了機(jī)械機(jī)構(gòu)領(lǐng)域，我稱為多體系統(tǒng)動力學(xué)，這個定義也被歐洲的同行接受。
在這之后，我短暫離開美國，在Chace教授的幫助下又經(jīng)都柏林、愛爾蘭返回美國。那時候，Mechanical Dynamics, Inc (MDI)將ADAMS作為他們的一款產(chǎn)品，我非常高興MDI致力于在全球推廣ADAMS，Chace教授一直也想商業(yè)化ADAMS，這也被證明是程序周期中的重要一步。由于用戶的反饋及需求，程序在MDI及我的支持下不斷提升。
原始的ADAMS免費(fèi)副本直到1984年才能從位于亞特蘭大的Cosmic獲取，不管是誰要，都需要針對其電腦及操作系統(tǒng)重新編寫某些部分。原始的ADAMS是用密歇根的終端系統(tǒng)和Amdahl編寫的。
我在找工作，但是很難，因?yàn)槲业暮炞C狀況及石油禁運(yùn)危機(jī)。在1974年，我加入密歇根大學(xué)醫(yī)學(xué)院作為設(shè)計了診斷腦腫瘤的伽馬射線攝影機(jī)橫軸斷層掃描儀的五名科學(xué)家之一。我喜歡這個項(xiàng)目因?yàn)樗娜诵曰?，我用多體系統(tǒng)設(shè)計機(jī)械并監(jiān)督其運(yùn)行，核醫(yī)學(xué)雜志上面有這篇文章[4]。
此后不久，位于Ames的愛荷華州立大學(xué)（ISU）邀請我去做訪問副教授，考慮到Chace教授幫我返回美國，我請求他照看ADAMS，時不時的，MDI會請我支持ADAMS。
展開 泊松方程和拉普拉斯方程
1777年，J.L.拉格朗日研究萬有引力作用下的物體運(yùn)動時指出：在引力體系中，每一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量除以它們到任意觀察點(diǎn)P的距離,并且把這些商加在一起，其總和即P點(diǎn)的勢函數(shù)，勢函數(shù)對空間坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)正比于在 P點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)所受總引力的相應(yīng)分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯證明：引力場的勢函數(shù)滿足偏微分方程：,叫做勢方程，后來通稱拉普拉斯方程1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果觀察點(diǎn)P在充滿引力物質(zhì)的區(qū)域內(nèi)部,則拉普拉斯方程應(yīng)修改為，叫做泊松方程，式中ρ為引力物質(zhì)的密度。文中要求重視勢函數(shù) V在電學(xué)理論中的應(yīng)用,并指出導(dǎo)體表面為等熱面。
靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程 若空間分區(qū)充滿各向同性、線性、均勻的媒質(zhì)，則從靜電場強(qiáng)與電勢梯度的關(guān)系E=-和高斯定理微分式[，即可導(dǎo)出靜電場的泊松方程：
，式中為自由電荷密度，純數(shù) 為各分區(qū)媒質(zhì)的相對介電常數(shù)，真空介電常數(shù)=8.854×10(法／米。在沒有自由電荷的區(qū)域里，＝0，泊松方程就簡化為拉普拉斯方程
。在各分區(qū)的公共界面上，滿足邊值關(guān)系
式中，指分界面兩邊的不同分區(qū)， 為界面上的自由電荷密度，表示邊界面上的內(nèi)法線方向。
邊界條件和解的唯一性 為了在給定區(qū)域內(nèi)確定滿足泊松方程以及邊值關(guān)系的解，還需給定求解區(qū)域邊界上的物理情況，此情況叫做邊界條件。有兩類基本的邊界條件：給定邊界面上各點(diǎn)的電勢，叫做狄利克雷邊界條件；給定邊界面上各點(diǎn)的自由電荷[835-04],叫做諾埃曼邊界條件。
邊界幾何形狀較簡單區(qū)域的靜電場可求得解析解，許多情形下它們是無窮級數(shù)，稍復(fù)雜的須用計算機(jī)求數(shù)值解，或用圖解法作等勢面或力線的場圖。
除了靜電場之外，在電學(xué)、磁學(xué)、力學(xué)、熱學(xué)等領(lǐng)域還有許多服從拉普拉斯方程的勢場。
展開 偏微分方程的起源 附偏微分方程陳祖墀下載
和歐拉同時代的瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利也研究了數(shù)學(xué)物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發(fā)展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學(xué)科的內(nèi)容。
偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀(jì)，那時候，數(shù)學(xué)物理問題的研究繁榮起來，許多數(shù)學(xué)家都對數(shù)學(xué)物理問題的解決做出了貢獻(xiàn)。這里應(yīng)該提一提法國數(shù)學(xué)家傅里葉，他年輕的時候就是一個出色的數(shù)學(xué)學(xué)者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發(fā)展的影響是很大的。
偏微分方程的內(nèi)容
偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內(nèi)容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機(jī)械運(yùn)動，當(dāng)然機(jī)械運(yùn)動的基本定律是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的 F=ma，但是弦并不是質(zhì)點(diǎn)，所以質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細(xì)細(xì)地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質(zhì)點(diǎn)，這樣我們就可以應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的基本定律了。
弦是指又細(xì)又長的彈性物質(zhì)，比如弦樂器所用的弦就是細(xì)長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當(dāng)演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點(diǎn)的位移是這一點(diǎn)所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數(shù)學(xué)物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
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