勢函數
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勢函數的視頻教程
波動力學論文講解—lamb波在介質中的傳播
二、蘭姆波的傳播機制 蘭姆波的傳播機制基于彈性動力學的拉梅解，波動方程用位移勢函數表示為：假設波動位移和無關，即與波的圓頻率、P波波速、S波波速、波長等參數有關。待定常數可以由上下表面的面力為零的邊界條件確定。 在薄板中，當激勵波波長與波導厚度處于同一數量級時，橫波和縱波會耦合成一種特殊形式的應力波，即蘭姆波。蘭姆波在板中的傳播是沿著板的平面進行的，其振幅在板的上下表面為零。
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勢函數的實例教程
可以支持包括氣態，液態或者固態相形態下、各種系綜下、百萬級的原子分子體系，并提供多種勢函數支持。LAMMPS 的另一個優點是具有良好的并行擴展性。是當下一款非常好的分子動力學軟件包。在使用lammps模擬時候，經常會用到力場參數，如L-J、eam和Buck勢函數，這些參數可從文獻中獲得，但是文獻查找起來相對繁瑣，可能需要查閱多篇論文才能找到需要的勢參數。以L-J勢函數為例進行說明：
第一種方法：
1. 首先了解勢函數網站（Mg原子為例）：https://www.ctcms.nist.gov/potentials/
2. 選擇金屬Mg原子：直接點擊元素名稱即可查得該元素對應的L-J力場參數，點擊Download 可以下載對應的參考文獻，如Mg的L-J參數如下（Epsilon、Sigma）
3. 由于勢函數的擬合方法不同，所以在選擇上也需要作出判斷，如下，Mg的L-J 勢參數有三個，但是不確定哪個適用于自己的研究體系，所以得認真、進一步測試。
4. 點擊Download, 如下界面所示，即轉到勢參數的文獻，如箭頭所示，分別為L-J參數： Epsilon、Sigma
對比一下，文獻結果與網站結果一致！
5. 第三個Mg原子的勢參數如前面一樣，結果如下，但是第二個勢參數在原文中找不到出處，可能的原因是需要轉換單位（所以第二個勢參數得認真測試）。
6. 單位轉換：怎么樣將kcal/mol或者kj/mol轉成eV?
展開 金屬基板為Fcc結構的鎳，勢函數選用eam；
刀具為Diamond結構的碳，勢函數選用tersoff；
鎳與碳之間的作用采用Morse勢函數。
金屬基板從底部往上分為三層——固定層、恒溫層、牛頓層
固定層：固定原子不動
恒溫層：控制溫度恒定
模型與勢函數設置好后，用Fix命令驅動刀具移動。
可以看到切削過程產生了明顯的積瘤，積瘤的生成與刀具形狀、前進速度、材料本身特性有關，大家可以按照自己的想法做出改進。下圖為刀具在前進方向上的受力-位移圖。
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1777年，J.L.拉格朗日研究萬有引力作用下的物體運動時指出：在引力體系中，每一質點的質量除以它們到任意觀察點P的距離,并且把這些商加在一起，其總和即P點的勢函數，勢函數對空間坐標的偏導數正比于在 P點的質點所受總引力的相應分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯證明：引力場的勢函數滿足偏微分方程：,叫做勢方程，后來通稱拉普拉斯方程1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果觀察點P在充滿引力物質的區域內部,則拉普拉斯方程應修改為，叫做泊松方程，式中ρ為引力物質的密度。文中要求重視勢函數 V在電學理論中的應用,并指出導體表面為等熱面。
靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程 若空間分區充滿各向同性、線性、均勻的媒質，則從靜電場強與電勢梯度的關系E=-和高斯定理微分式[，即可導出靜電場的泊松方程：
，式中為自由電荷密度，純數 為各分區媒質的相對介電常數，真空介電常數=8.854×10(法／米。在沒有自由電荷的區域里，＝0，泊松方程就簡化為拉普拉斯方程
。在各分區的公共界面上，滿足邊值關系
式中，指分界面兩邊的不同分區， 為界面上的自由電荷密度，表示邊界面上的內法線方向。
邊界條件和解的唯一性 為了在給定區域內確定滿足泊松方程以及邊值關系的解，還需給定求解區域邊界上的物理情況，此情況叫做邊界條件。有兩類基本的邊界條件：給定邊界面上各點的電勢，叫做狄利克雷邊界條件；給定邊界面上各點的自由電荷[835-04],叫做諾埃曼邊界條件。
邊界幾何形狀較簡單區域的靜電場可求得解析解，許多情形下它們是無窮級數，稍復雜的須用計算機求數值解，或用圖解法作等勢面或力線的場圖。
除了靜電場之外，在電學、磁學、力學、熱學等領域還有許多服從拉普拉斯方程的勢場。
展開 2.試著按照書的過程做個Ar的NVE，其實Ar和離子晶體以及其它的任何材料的差別僅僅是勢函數的問題，雖然由勢函數帶來了一些問題，但是這些都不是本質問題。
3.從初始化的原子數，原子位置，初始速度，時間步長，初始溫度等等這些初始化結束了以后，選擇一個簡單的積分算法，如6階的Gear預測校正，不要控溫控壓，就是一個簡單的NVE，不要考慮任何的提高效率的鄰位算法，因為這個時候我們可以選擇5×5×5的超原胞，總共的原子數也就500個，不需要考慮鄰位算法。
4.開始循環計算：預測----計算原子的力和能量---校正
5.輸出能量
這樣最簡單的NVE就編成了，總共也就1000多行，是個很小的程序。自己先試著感受一下。其實當這樣的小程序完成以后，你會覺得分子動力學編程也很簡單，那么接下來的復雜的分子動力學也不會是什么問題。
做完了這一些，你需要知道的是那些是和材料無關的東西，那么就盡量的分離，開始使用一個個的函數。例如，原子的位置是和具體的材料相關，但是初始速度卻和材料一點關系都沒有，同樣的數值積分中的預測和校正也是和材料無關的，以后的控溫和控壓算法也是和材料無關的。當規模大了以后，鄰位算法也是和材料無關的，像這些和材料無關的部分最好自己做成小函數，選擇調用。以后換材料的時候程序也不會有太大的改動。
編程的一些小技巧：
1.選擇用intel編譯器，個人喜歡用10.1或者9.1的版本，打開優化選擇，類似的/QaxS /QxS /Qipo /Qprec-div-等等，以后可以使用Openmp的并行計算（具體的可以參考intel編譯器的幫助手冊）
2.盡量的簡化計算，例如2×a就要寫成a+a，在計算機中，加減是一個數量的計算，乘是一個，除是一個。
展開 圖1混凝土材料本構參數設置
分析：在損傷系數的定義中，應特別注意以下幾點，
1.ABAQUS的混凝土損傷本構模型采用的是非關聯的流動法則，其中系數Dilation Angle，即膨脹角控制著塑性勢函數開口的大小。膨脹角越小，材料越容易破壞，那么相應的結構計算機構就偏向安全，但膨脹角越小就越不容易收斂。因此，膨脹角的取值應當適中，本案例中混凝土本構參數中的膨脹角取值一般在30~35之間，取30。
2.Eccentricity（塑性勢偏移量）決定了塑性勢函數趨近其漸近線的速率。該參數的引入主要是為了保證塑性勢函數的連續、光滑及塑性勢函數在頂點處的可導性。本案例取值0.1。
3.Viscosity Parameter（黏度系數）是為了使材料模型在軟化階段更容易收斂，仍然保持0.1。
3.2基于ANSYS/LSDYNA的混凝土JHC損傷本構模型
對于混凝土材料的本構模型眾多學者進行了深入分析研究以期望獲得一個更加準確描述混凝土材料在壓縮拉伸等力學變化過程中的斷裂行為。除去上述本構損傷模型以外，還有一種專門用來描述混凝土材料的本構模型JHC本構模型。然而，Abaqus自帶的材料模型中并沒有JHC本構，其提供了內置的子程序以供調用。為方便分析進行，本文借助LSDYAN平臺對該本構模型各參數含義進行分析以了解此種本構模型的優勢之處，LSDYNA中對該JHC本構參數的定義界面如圖2所示。JHC本構模型是LSDYNA軟件材料庫中常用于模擬脆性材料的方程之一，尤其是方程中對材料的逐漸累積損傷的計算使得其能夠準確模擬脆性材料的大變形、高應變率效應問題。JHC本構包括應力應變模型、損傷失效模型、靜水壓力模型以及多項式狀態方程[1-2]。
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（支持組合使用，亦可添加自定義或文獻中的勢函數）
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應用示例
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它通過引入損傷變量描述混凝土材料性能劣化，如在拉壓過程中用損傷變量反映微裂縫產生擴展導致的強度和剛度降低；同時考慮混凝土塑性行為，利用屈服面、塑性勢函數等描述復雜應力狀態下的塑性階段行為。該模型的參數主要通過試驗數據確定，包括基本力學性能參數和損傷、塑性相關參數。
Ovito可視化圖：
在單晶鋁材料的裂紋擴展研究中，不同的裂紋形態在相同的勢函數和加載速率下會展現出顯著的差異。這些差異不僅影響裂紋擴展的速率，還直接關系到裂紋擴展的寬度，這在材料的力學性能和壽命評估中具有重要意義。在拉伸過程中，當單晶鋁受到外力作用時，裂紋會開始擴展。在這個過程中，裂紋的擴展寬度是衡量裂紋擴展程度的一個重要指標。
1.2 塑性勢函數
HS模型剪切屈服面采用的是不相適應的流動規則，其剪切塑性勢函數如下：
式中：Qs為剪切塑性勢函數；ψm為機動剪脹角，由于不允許負剪脹角的存在，當ψm<0時，取0。
式中：φm為機動摩擦角；φcv為臨界摩擦角。
式中：φ為土體固有剪脹角。
σH是體積應力：
根據偏應力張量計算得到mises等效應力：
swift硬化模型：
硬化模量為：
損傷部分基于應變等效性原理（該原理認為：應力σ作用于受損材料引起的應變和實際應力(有效應力)作用于無損材料引起的應變等價），有效應力為：
其中D通常為標量函數（也可以作為張量形式使用）
考慮各向同性硬化和各項同性屈服，耗散勢函數可以分解為塑性耗散勢和損傷耗散勢
GTN模型的塑性勢函數，將傳統的連續介質損傷模型與GTN模型耦合為GTN模型在負應力三軸度下的損傷預測提供了一種新的方案。
在最常用的associate plasticity law中，屈服面的函數也就是勢函數，所以mises stress在流動準則中也很重要。因此在很多以微裂紋，孔洞為基礎的損傷力學中，它和靜水壓一起可以作為損傷的參數。
在最常用的associate plasticity law中，屈服面的函數也就是勢函數，所以mises stress在流動準則中也很重要。因此在很多以微裂紋，孔洞為基礎的損傷力學中，它和靜水壓一起可以作為損傷的參數。
在最常用的associate plasticity law中，屈服面的函數也就是勢函數，所以mises stress在流動準則中也很重要。因此在很多以微裂紋，孔洞為基礎的損傷力學中，它和靜水壓一起可以作為損傷的參數。
由于當前實驗技術難以直接觀測到非晶材料的三維原子結構，因此研究團隊借助具有量子力學精度的機器學習勢函數模擬熔化—淬火過程對非晶材料進行原子尺度的準確建模，并使用非平衡分子動力學模擬、阿倫-費爾德曼（Allen-Feldmen，AF）簡諧理論及統一導熱理論（Unified Theory,UF）對非晶氧化鎵的熱導率進行了研究。實驗結果表明，機器學習能夠準確地模擬非晶氧化鎵及其熱輸運性質。
