文章名稱：《Assessment of damage evolution behavior in different ductile sheet metals and shapes by the Lemaitre’s ductile damage model 》

doi：10.1016/j.engfailanal.2022.106509

該本章介紹一個適用于延性金屬材料損傷的常見的宏觀損傷模型，即lemaitre模型，由于abaqus顯示分析中沒有內置該本構模型，因此使用該模型往往需要進行二次開發。而文章對該模型數值實現流程介紹的相對清晰，很適合想利用lemaitre本構對材料延性失效進行分析的研究人員。

這里對該文章的數值框架以及分析的問題進行簡要的介紹，感興趣的小伙伴可以詳細閱讀該文獻。

眾所周知，材料的損傷是指由于機械、熱和化學載荷而導致的機械強度的突然退化。在塑性變形下的韌性金屬中，微應力在缺陷附近的積累會導致空洞的成核、生長和聚結、宏觀裂紋擴展和完全斷裂。目前常用的損傷模型主要分為三類：

（1）非耦合損傷模型（特定狀態變量達到臨界值時材料發生失效，相對容易實現。損傷與塑性是非耦合的，英文：abrupt failure criteria（Cockcroft模型））

（2）連續損傷模型（基于熱力學和應變等效原理，塑性與損傷是完全耦合的，損傷會引起剛度退化，屈服面的收縮。英文：continuum damage mechanics（lemaitre模型））

（3）細觀損傷模型（基于空洞形核和生長的理論研究，孔洞的形核生長受到塑性變形的影響，同時空洞體積分數會影響材料的屈服函數，其損傷特征具有真實的物理意義，并被大量實驗證實。英文：micro-mechanical damage models（GTN模型））

作者文章基于連續損傷進行分析

lemaitre損傷模型公式如下（引用更加詳細的文獻《Finite element simulation of the punchless piercingprocess with Lemaitre damage model》）：

使用mises各項同性屈服+swift硬化模型+lemaitre損傷模型

考慮損傷的mises屈服函數：

總應變可以加法的分解為彈性部分和塑性部分：

等效塑性應變計算公式為：

根據廣義hooke定義計算應力增量：

塑性流動法則：

S為偏應力張量，可以由柯西應力σ張量計算得到：

σH是體積應力：

根據偏應力張量計算得到mises等效應力：

swift硬化模型：

硬化模量為：

損傷部分基于應變等效性原理（該原理認為：應力σ作用于受損材料引起的應變和實際應力(有效應力)作用于無損材料引起的應變等價），有效應力為：

其中D通常為標量函數（也可以作為張量形式使用）

考慮各向同性硬化和各項同性屈服，耗散勢函數可以分解為塑性耗散勢和損傷耗散勢：

Φ是塑性勢能:

塑性應變率張量定義為：

γ是塑性一致性乘子，并滿足KKT條件：

s和r是lemaitre損傷函數的參數，并且依賴于使用的材料。通常s取為1。Y是損傷能量釋放率，并定義為：

損傷演化表示為：

由于lemaitre損傷模型是局部損傷模型，存在網格依賴性。網格尺寸影響為：

損傷參數r影響為：

作者使用了兩個數值模型驗證程序的預測能力

(1)單軸拉伸試樣：

（2)缺口試樣拉伸；

基于作者提供的完整數值推到框架，可以編寫對應的vumat子程序進行金屬試樣的延性損傷數值模擬。

需要注意的是，該類模型對于單元尺寸很敏感，同一個試樣，同樣受力狀態下，網格的差異性也會導致裂紋萌生和擴展位置的差異，一般可以修正為非局部損傷模型可以避免這個問題，同時顯示損傷分析對于質量縮放也十分敏感，要仔細檢查質量縮放前后模擬的差異性。

圓柱狀試樣金屬拉伸斷裂模擬：