勢函數的案例
Lammps模擬時金屬原子的L-J勢參數提取方法
可以支持包括氣態，液態或者固態相形態下、各種系綜下、百萬級的原子分子體系，并提供多種勢函數支持。LAMMPS 的另一個優點是具有良好的并行擴展性。是當下一款非常好的分子動力學軟件包。在使用lammps模擬時候，經常會用到力場參數，如L-J、eam和Buck勢函數，這些參數可從文獻中獲得，但是文獻查找起來相對繁瑣，可能需要查閱多篇論文才能找到需要的勢參數。以L-J勢函數為例進行說明：
第一種方法：
1. 首先了解勢函數網站（Mg原子為例）：https://www.ctcms.nist.gov/potentials/
2. 選擇金屬Mg原子：直接點擊元素名稱即可查得該元素對應的L-J力場參數，點擊Download 可以下載對應的參考文獻，如Mg的L-J參數如下（Epsilon、Sigma）
3. 由于勢函數的擬合方法不同，所以在選擇上也需要作出判斷，如下，Mg的L-J 勢參數有三個，但是不確定哪個適用于自己的研究體系，所以得認真、進一步測試。
4. 點擊Download, 如下界面所示，即轉到勢參數的文獻，如箭頭所示，分別為L-J參數： Epsilon、Sigma
對比一下，文獻結果與網站結果一致！
5. 第三個Mg原子的勢參數如前面一樣，結果如下，但是第二個勢參數在原文中找不到出處，可能的原因是需要轉換單位（所以第二個勢參數得認真測試）。
6. 單位轉換：怎么樣將kcal/mol或者kj/mol轉成eV?
展開 用Lammps模擬金剛石刀具切削金屬基板
金屬基板為Fcc結構的鎳，勢函數選用eam；
刀具為Diamond結構的碳，勢函數選用tersoff；
鎳與碳之間的作用采用Morse勢函數。
金屬基板從底部往上分為三層——固定層、恒溫層、牛頓層
固定層：固定原子不動
恒溫層：控制溫度恒定
模型與勢函數設置好后，用Fix命令驅動刀具移動。
可以看到切削過程產生了明顯的積瘤，積瘤的生成與刀具形狀、前進速度、材料本身特性有關，大家可以按照自己的想法做出改進。下圖為刀具在前進方向上的受力-位移圖。
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泊松方程和拉普拉斯方程
1777年，J.L.拉格朗日研究萬有引力作用下的物體運動時指出：在引力體系中，每一質點的質量除以它們到任意觀察點P的距離,并且把這些商加在一起，其總和即P點的勢函數，勢函數對空間坐標的偏導數正比于在 P點的質點所受總引力的相應分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯證明：引力場的勢函數滿足偏微分方程：,叫做勢方程，后來通稱拉普拉斯方程1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果觀察點P在充滿引力物質的區域內部,則拉普拉斯方程應修改為，叫做泊松方程，式中ρ為引力物質的密度。文中要求重視勢函數 V在電學理論中的應用,并指出導體表面為等熱面。
靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程 若空間分區充滿各向同性、線性、均勻的媒質，則從靜電場強與電勢梯度的關系E=-和高斯定理微分式[，即可導出靜電場的泊松方程：
，式中為自由電荷密度，純數 為各分區媒質的相對介電常數，真空介電常數=8.854×10(法／米。在沒有自由電荷的區域里，＝0，泊松方程就簡化為拉普拉斯方程
。在各分區的公共界面上，滿足邊值關系
式中，指分界面兩邊的不同分區， 為界面上的自由電荷密度，表示邊界面上的內法線方向。
邊界條件和解的唯一性 為了在給定區域內確定滿足泊松方程以及邊值關系的解，還需給定求解區域邊界上的物理情況，此情況叫做邊界條件。有兩類基本的邊界條件：給定邊界面上各點的電勢，叫做狄利克雷邊界條件；給定邊界面上各點的自由電荷[835-04],叫做諾埃曼邊界條件。
邊界幾何形狀較簡單區域的靜電場可求得解析解，許多情形下它們是無窮級數，稍復雜的須用計算機求數值解，或用圖解法作等勢面或力線的場圖。
除了靜電場之外，在電學、磁學、力學、熱學等領域還有許多服從拉普拉斯方程的勢場。
展開 分子動力學模擬 心得 適合新手
2.試著按照書的過程做個Ar的NVE，其實Ar和離子晶體以及其它的任何材料的差別僅僅是勢函數的問題，雖然由勢函數帶來了一些問題，但是這些都不是本質問題。
3.從初始化的原子數，原子位置，初始速度，時間步長，初始溫度等等這些初始化結束了以后，選擇一個簡單的積分算法，如6階的Gear預測校正，不要控溫控壓，就是一個簡單的NVE，不要考慮任何的提高效率的鄰位算法，因為這個時候我們可以選擇5×5×5的超原胞，總共的原子數也就500個，不需要考慮鄰位算法。
4.開始循環計算：預測----計算原子的力和能量---校正
5.輸出能量
這樣最簡單的NVE就編成了，總共也就1000多行，是個很小的程序。自己先試著感受一下。其實當這樣的小程序完成以后，你會覺得分子動力學編程也很簡單，那么接下來的復雜的分子動力學也不會是什么問題。
做完了這一些，你需要知道的是那些是和材料無關的東西，那么就盡量的分離，開始使用一個個的函數。例如，原子的位置是和具體的材料相關，但是初始速度卻和材料一點關系都沒有，同樣的數值積分中的預測和校正也是和材料無關的，以后的控溫和控壓算法也是和材料無關的。當規模大了以后，鄰位算法也是和材料無關的，像這些和材料無關的部分最好自己做成小函數，選擇調用。以后換材料的時候程序也不會有太大的改動。
編程的一些小技巧：
1.選擇用intel編譯器，個人喜歡用10.1或者9.1的版本，打開優化選擇，類似的/QaxS /QxS /Qipo /Qprec-div-等等，以后可以使用Openmp的并行計算（具體的可以參考intel編譯器的幫助手冊）
2.盡量的簡化計算，例如2×a就要寫成a+a，在計算機中，加減是一個數量的計算，乘是一個，除是一個。
展開 
基于ABAQUS的混凝土損傷本構模型與LSDYNA的JHC本構模型分析與研究
圖1混凝土材料本構參數設置
分析：在損傷系數的定義中，應特別注意以下幾點，
1.ABAQUS的混凝土損傷本構模型采用的是非關聯的流動法則，其中系數Dilation Angle，即膨脹角控制著塑性勢函數開口的大小。膨脹角越小，材料越容易破壞，那么相應的結構計算機構就偏向安全，但膨脹角越小就越不容易收斂。因此，膨脹角的取值應當適中，本案例中混凝土本構參數中的膨脹角取值一般在30~35之間，取30。
2.Eccentricity（塑性勢偏移量）決定了塑性勢函數趨近其漸近線的速率。該參數的引入主要是為了保證塑性勢函數的連續、光滑及塑性勢函數在頂點處的可導性。本案例取值0.1。
3.Viscosity Parameter（黏度系數）是為了使材料模型在軟化階段更容易收斂，仍然保持0.1。
3.2基于ANSYS/LSDYNA的混凝土JHC損傷本構模型
對于混凝土材料的本構模型眾多學者進行了深入分析研究以期望獲得一個更加準確描述混凝土材料在壓縮拉伸等力學變化過程中的斷裂行為。除去上述本構損傷模型以外，還有一種專門用來描述混凝土材料的本構模型JHC本構模型。然而，Abaqus自帶的材料模型中并沒有JHC本構，其提供了內置的子程序以供調用。為方便分析進行，本文借助LSDYAN平臺對該本構模型各參數含義進行分析以了解此種本構模型的優勢之處，LSDYNA中對該JHC本構參數的定義界面如圖2所示。JHC本構模型是LSDYNA軟件材料庫中常用于模擬脆性材料的方程之一，尤其是方程中對材料的逐漸累積損傷的計算使得其能夠準確模擬脆性材料的大變形、高應變率效應問題。JHC本構包括應力應變模型、損傷失效模型、靜水壓力模型以及多項式狀態方程[1-2]。
展開 基于Runge-Kutta算法的硬化土模型二次開發
圖1 硬化土模型彈性階段應力-應變關系
1.1 剪切屈服面
HS模型的剪切屈服面可用如下公式表示：
式中：Fs為剪切屈服函數；qa為極限偏應力；E50為對應50%強度時的割線模量；q為剪應力；Eur為卸載再加載模量；γ p為塑性剪切應變。
式中：E50ref為對應參考圍壓σref時的E50模量；σ3為第三主應力；c為黏聚力；φ為摩擦角；m為與土體性質有關的冪指數。
式中：Eurref為對應參考圍壓σref時的Eur模量。
式中：σ1為第一主應力；f為處于破壞時的狀態；Rf為破壞比。
1.2 塑性勢函數
HS模型剪切屈服面采用的是不相適應的流動規則，其剪切塑性勢函數如下：
式中：Qs為剪切塑性勢函數；ψm為機動剪脹角，由于不允許負剪脹角的存在，當ψm<0時，取0。
式中：φm為機動摩擦角；φcv為臨界摩擦角。
式中：φ為土體固有剪脹角。
1.3 壓縮屈服面
HS模型中為體現土體壓縮硬化特性加入了帽蓋屈服面，其屈服函數如下：
式中：F為壓縮屈服函數；δ為土體計算參數；σ2為第二主應力；M為摩擦常數；Pc為前期固結應力。
壓縮屈服面采用的是相適應的流動規則，其硬化定律如下：
式中：dp為硬化參數增量；Eoedref為切線模量；dεvp為塑性應變增量。
2 應力更新計算方法優化
ABAQUS中編寫自定義本構模型需要推導出在笛卡爾三維（或二維）坐標系下單元積分點的雅可比矩陣DDSDDE，即求解出該積分點各應力增量對應變增量的變化率?σ/?ε，并據此對該增量步的總應力和狀態變量進行更新、輸出，通過接口返回ABAQUS主程序[6]。
展開 晶體塑性每日文章推薦（十一）
自1978年Gurson模型被提出以來，GTN模型進過了多次演化，根據這些演化的重要性大致可以分為三個階段：1、20世紀80年代Tvergaard及Needleman等人對塑性勢函數的修正并引入孔洞形核及聚合機制；2、Xue和Nahshon, Hutchinson于2008年為GTN模型引入剪切損傷預測機制，增強了模型在低應力三軸度下的成形極限響應精度；3、Zhou和Malcher于2014進一步修正了GTN模型的塑性勢函數，將傳統的連續介質損傷模型與GTN模型耦合為GTN模型在負應力三軸度下的損傷預測提供了一種新的方案。此外仍有一些重大的改進，例如Gologanu基于GTN模型提出的孔洞三維形狀預測、Thomason孔洞聚合模型與GTN模型的耦合、為GTN模型耦合動態再結晶（DRX）進而揭示高溫下孔洞的形核及聚合機制等，這些改進大大的推進了基礎科學的研究進程。然而對于工程塑性加工鄰域，例如軋制、旋壓、鍛造等負應力三軸度下的成形工藝，GTN模型仍舊具備一定局限性。為此本文在Zhou的模型的基礎上對模型在負應力三軸度下的損傷預測機制做出了進一步修正。
在Zhou的模型中，GTN模型的塑性勢函數為：
上式中、和分別為Mises等效應力、流動應力和靜水應力，和為有效孔洞體積分數和連續介質剪切損傷演化因子，和為材料常數。Zhou的模型分離了孔洞演化及剪切損傷的預測模式，在中高應力三軸度下，模型將近似收斂為原始的GTN模型，此時體積損傷占主導地位，相關演化方程為
在低、負應力三軸度下剪切損傷占主導地位，相關演化方程為
由于這種模型分離了體積損傷和剪切損傷，因此總損傷被定義，當總損傷值達到1時及判定材料失效。
展開 多物理場仿真助力分析小提琴的音調與音量
研究人員想出了一個相當簡單的氣流模型：在無限硬聲場表面（此例為小提琴）外的空氣中求解勢流方程。至于邊界條件，將音孔表面的勢函數設為常數值，并將無限遠端的勢函數設為零。然后對從音孔中的總通量進行積分，即可測量氣流的相對大小。
COMSOL Multiphysics 的可壓縮勢流 接口可以求解與論文中相似，但更高級一些的方程。我們將零勢函數條件應用到小提琴周圍的空氣球體表面。為保證一致性對比，圓孔面積必須與 f 孔完全相等。
圓形和 f 形音孔上方的速度勢分布和空氣流動。繪圖僅顯示其中一個孔的流動情況。
不同幾何形狀的流量比為 1.51，這對 f 孔更加有利。若我們假設聲功率與流量的平方成正比，則小提琴音量的最大比值為 1.512 = 2.28。但是該比值卻大于論文所述的比例因子——2。這次模型結果是否達到了目標？事實再次證明，沒有實體振動和沒有實體傳輸的默認假設并不完美。根據研究小組估算，真正的、具有柔性的小提琴在空氣共振模態發出聲音的情況下，更加接近計算出來的氣流，此時指數為 1.7。我很樂意為了探究該命題再建立一個模型。但就目前而言，1.511.7 = 2.01 ≈ 2 足以令我滿意。
來源 COMSOL 博客
展開 MAPS材料設計平臺的簡介
因此，該引擎實現了對由基于量子力學處理的團簇和基于原子間勢函數處理的環境結合后的大型體系的描述。而且，通過QmPot，可以將兩種水平的量子力學工具結合在一起。該種方法的成功主要是由于其原子間勢函數考慮了原子或環境中的離子的極化率，并且其原子間勢函數是利用了參數化第一原理的數據。
* SciDPD, 由Dr. Julian C. Shillcock 開發，并且License授權給瑞士Complex Fluid Simulations GmbH。它是一個耗散粒子動力學代碼，用于模擬復合液體或者塊狀聚合物系統的相行為。 SciDPD可應用于復合液體相行為、膠束形成、塊狀聚合物形態預測、藥物釋放現象，以及其它多更多的方面。
* SciTherm, 基于高精度狀態方程，如SAFT何PC-SAFT，用于預測單成分和多成分混合流體的熱動力學性質和相平衡。它提供多種類型體系的參數數據庫，允許通過內置的回歸工具計算回歸參數。
* Towhee 是一個蒙特卡洛分子模擬代碼，為預測流體相平衡而設計，主要使用基于特別設計的處理采樣分子構象的算法的原子力場。Towhee 隨后擴展到一些系綜、多種不同的力場、以及固體（或者至少多孔性的）相中。
* Turbomole, 由德國卡爾斯魯厄大學 Prof. Reinhart Ahlrichs' 小組開發。Turbomole是一個基于量子力學分子代碼,擁有豐富的DFT(包括含時的)函數，MP2，耦合團簇和HF方法。
Data Managemen
集成數據管理
MAPS? 旨在做一個用戶友好的模擬代碼集成平臺。MAPS? 即將發布的版本將支持可選的包括數據管理在內的工具，可以允許多用戶之間共享模擬結果。
展開 有限元基礎-材料非線性
屈服準則一般采用Mises屈服準則，即各應力分量求得的Mises應力超過材料屈服強度時進入屈服；流動準則假定材料塑性勢函數與屈服勢函數一致，塑性變形增量總是沿著塑性勢法線方向；硬化準則分為各向同性硬化（屈服半徑擴大，屈服中心不變）、隨動硬化（屈服半徑不變，屈服中心移動）和混合硬化（屈服半徑和屈服中心都變）。
在工程仿真時對于彈塑性本構采用兩種方式：一種是將彈性階段和硬化階段簡化為兩個線性過程，因此稱為雙線性材料模型（點擊參考文章《材料模型》）；另一種是將整個應力應變實驗數據導入材料模型中。
超彈性材料本構，超彈性材料實際上是一種非線彈性，材料可以產生較大的應變并能完全恢復，典型的例子就是橡膠材料，超彈性材料一般會表現為不可壓縮性，即泊松比接近0.5。
描述超彈性本構比較復雜，往往需要通過多種測試來確定本構參數，例如單軸拉伸、雙軸拉伸及剪切等，測試數據越多越全面對材料的描述越準確。常使用的超彈性本構有Neo-Hookean、Mooney-Rivlin、Yeoh、Ogden等，各本構模型適用的條件不同，詳細了解可以參考相關資料。
形狀記憶合金材本構（超彈性），在醫療器械經常使用較多的形狀記憶合金材料，比如血管支架大多采用鎳鈦合金，其利用了材料的超彈性性質，如下圖是典型的超彈性形狀記憶合金的應力應變曲線，其中ODAB為加載階段，BCD為卸載階段，可見該材料在加載產生較大的應變后完全卸載后并沒有產生塑性殘余應變，是完全彈性的，在AB段存在一個較大的平臺應力，正是該過程賦予了其較大的彈性應變。
除了上述使用最頻繁的材料模型外另外還有其他的非線性材料模型，例如粘彈性材料模型，其應力不僅與應變有關還有時間相關，表現出應力松弛或蠕變效應，另外還有一些率相關材料模型等，如需了解可以參考相關資料。
展開 lammps在金屬位錯動力學上的應用
分子動力學計算是利用原子間的勢函數關系，對每個原子的獨立運動進行計算，是分子運動計算的基礎運算工具，計算結果依靠勢函數，準確度高，可靠性大，但是計算量大，時間成本高。分子動力學適合對少量位錯的運動進行精準計算。本次我們討論研究的是單獨位錯運動的定量計算，所以適合運動分子動力學的方法進行。
2、模擬案例
初始模型
比如研究Fe-Cr里單一位錯的運動機制。使用atomsk建造一個單一位錯，將建造的數據文件導入lammps中，因為位錯容易在滑移面發生滑移，所以對于bcc結構的鐵素體首要模擬的是材料在110面向111方向滑移。
模擬過程
在弛豫、溫度0K條件下，對刃位錯模型沿x軸，對螺位錯模型沿z軸施加一個持續不變的切應力，由（文獻）可知位錯的派納力在150Mpa以內，所以每組不同合金元素的模型，從0~150Mpa做151組不同切應力下位錯運動計算。
提取位錯
由于派-納力是位錯克服晶體點陣阻力的最小開動力，位錯產生瞬間移動其實是微觀原子發生了晶體劇烈振動，所以位錯開動的位移距離其實是非常小的，大約在幾個A左右，所以必須要對位錯進行提取，才能準確地定位位錯的位置。
在lammps中位錯線的可視化提取可以觀測位錯的移動情況，但是無法得到文本數據，所以需要憑借編程程序進行提取。主要使用的是Julia對文本數據進行處理。而提取的主要依據就是晶格畸變參數，位錯的位置就是晶體晶格畸變參數明顯的原子組的定位，在lammps模擬過程中，我們添加了晶格畸變參數的計算，以便對數據文本的處理。提取后的效果是比較明顯的，模型中最后只留下了產生位錯的原子組合。
位錯提取前（左）與提取后（右）
模擬結果
由于合金含量不同，單一位錯開動的是不一樣的。
展開 
QuantumATK：面向材料建模的軟件解決方案
QuantumATK材料建模應用示例
電子屬性
功能
計算能帶結構、態密度(DOS)及其投影、聲子限制遷移率等
研究材料之間界面的電子結構
仿真外電場中的電子表面態
預測有/無電場條件下的反應機理
優勢
在同一框架內集成DFT-LCAO與DFT-PlaneWave代碼：靈活調整/測試速度與準確性之間的權衡
提供包含電子-聲子耦合的先進、用戶友好型方法，即使對于大型系統也適用
光學屬性
功能
仿真拉曼光譜、紅外光譜及光學光譜
解析聲子貢獻
獲取折射率、消光系數、反射率、極化率、光電導率
計算電光張量
優勢
NanoLab GUI中的全自動化工作流程，降低出錯率并縮短周轉時間（TAT）
針對極性材料的高級功能(離子貢獻、通過電子-聲子耦合實現的溫度依賴性)
力學與熱學屬性
功能
計算彈性常數及更通用的模量，如體積模量，剪切模量和楊氏模量
深入了解物理過程（例如：蠕變模擬、薄膜生長）
獲取熱傳導/熱導率，同樣適用于界面分析
優勢
針對大規模分子動力學仿真進行了優化
提供超過300種經驗經典勢函數（支持組合使用，亦可添加自定義或文獻中的勢函數）
執行高度定制化的力學屬性仿真
系統類型
應用示例
聚合物
功能
構建并平衡聚合物系統
獲取熱機械屬性，如玻璃化轉變溫度、彈性模量及動態模量
仿真熱傳輸過程
計算光學屬性
優勢
極具靈活性的構建器
全自動化工作流程
研究與其他聚合物、分子及納米顆粒混合的聚合物體系
高度可擴展的MPI
展開 lammps案例分析（2）：石墨烯單軸拉伸之deform方式
velocity方式一樣，均為airebo勢
#------------3 勢函數設置------------------------------pair_style airebo 3.0 0 0pair_coeff * * CH.airebo C C C#------------------------------------------------------
建模完成后對體系進行能量最小化，獲得最優結構
#------------4 能量最小化------------------------------min_style cgminimize 1e-10 1e-10 5000 5000#------------------------------------------------------
初始化溫度
#------------5 溫度初始化------------------------------velocity mobile create 300 4928459 dist gaussian units boxvelocity left set 0.0 0.0 0.0 units boxvelocity right set 0.0 0.0 0.0 units box#------------------------------------------------------
設置應變速率，拉伸應力值存儲到sigmaxx中
#------------6 計算設置--------------------------------compute 1 all stress/atom NULLcompute 2 all reduce sum c_1[1] c
展開 利用lammps模擬不同預制裂紋對單晶鋁的力學性能的影響
兩種模型的大小、尺寸相同，使用相同的EAM勢函數進行單向載荷加載，得到的應力應變曲線、楊氏模量及屈服應力如圖所示：
首先，圖(c)和圖(D)分別展示了基于圖(a)和圖(b)模型的應力-應變曲線。這兩條曲線直觀地反映了材料在受到外力作用下的力學響應。從應力-應變曲線中我們可以看出，盡管兩種模型具有不同的初始裂紋形態，但它們對單晶鋁的屈服應力影響并不顯著。這意味著在裂紋擴展之前，材料的彈性變形階段和屈服點附近的力學行為是相似的，裂紋形態并不是決定屈服應力的主要因素。然而，當目光轉向楊氏模量這一參數時，情況有所不同。楊氏模量是描述材料在彈性階段對力的響應程度的物理量，它反映了材料抵抗彈性變形的能力。從圖(D)中我們可以觀察到，對于圖(b)所示的模型，其缺陷形態（即特定的初始裂紋形態）導致了楊氏模量的相對增大。這表明在這種裂紋形態下，材料在彈性階段對力的響應更為敏感，需要更大的力才能使材料發生相同的彈性變形。
Ovito可視化圖：
在單晶鋁材料的裂紋擴展研究中，不同的裂紋形態在相同的勢函數和加載速率下會展現出顯著的差異。這些差異不僅影響裂紋擴展的速率，還直接關系到裂紋擴展的寬度，這在材料的力學性能和壽命評估中具有重要意義。在拉伸過程中，當單晶鋁受到外力作用時，裂紋會開始擴展。在這個過程中，裂紋的擴展寬度是衡量裂紋擴展程度的一個重要指標。在相同的應變條件下，即材料受到相同程度的拉伸變形時，不同的裂紋形態會導致裂紋擴展寬度的明顯不同。圖(e)中的裂紋在拉伸過程中展現出了較大的擴展寬度d1，這意味著裂紋的擴展更為迅速和顯著。這可能是由于圖(e)中的裂紋形態更容易在拉伸過程中形成應力集中，從而促進裂紋的擴展。
展開 路徑規劃算法總結
由于局部極小點是某個或多個障礙物的斥力勢場與引力勢場共同作用產生，其位置與障礙物距離必然不遠，沿墻行走法正是利用這樣的遠離，使機器人在遇到局部極小點后參照類似BUG算法的環繞行為繞過產生局部極小點的障礙物繼續前進。這種方法可靠性高，不依賴環境的先驗信息和障礙物形狀。
本節構造人工勢場進行機器人平動的在線運動規劃，利用一種沿墻行走法對基本的人工勢場法進行改進。
2.4.1 基本人工勢場法
作用在機器人上的假想引力和斥力為勢函數的負梯度，因而人工勢函數應該具有以下特征：
非負且連續可微；
斥力勢強度距離障礙物越近其強度越大；
引力勢強度離目標位置越近其強度越小。
空間中的合勢場是引力勢場與斥力勢場之和：
其中， 是目標產生的引力勢場； 是各個障礙物產生的斥力勢場之和，即： 。
這里構造如下的引力勢函數和斥力勢函數：
其中， 表示引力勢的相對影響； 表示第 個障礙物的斥力勢的相對影響， 表示機器人當前位置， 表示目標點位置， 表示機器人距目標的距離， 的作用是在機器人距離目標較遠時，削弱目標引力勢的作用， 表示機器人距離第 個障礙物的距離， 表示第 個障礙物的斥力勢作用范圍。
和 對勢場形狀的影響很大，適當的增大 能夠增強引力勢場的作用，有助于減少產生局部極小點的可能，并加快機器人向目標運動。 影響機器人在障礙物附近的運動特性， 比較大可以使機器人距離障礙物更遠，運動路徑更安全； 比較小，機器人在避開障礙物時運動比較平滑。
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